Representasi channel

Selanjutnya, kita akan membahas representasi matematis dari channel.

Pemetaan linear dari vektor ke vektor bisa direpresentasikan dengan matriks secara familiar, di mana aksi pemetaan linear tersebut dijelaskan melalui perkalian matriks-vektor. Tapi channel adalah pemetaan linear dari matriks ke matriks, bukan vektor ke vektor. Jadi, secara umum, bagaimana cara kita mengekspresikan channel dalam istilah matematis?

Untuk beberapa channel, kita mungkin punya rumus sederhana yang menggambarkannya, seperti untuk tiga contoh channel qubit non-unitary yang sudah dibahas sebelumnya. Tapi channel sembarang mungkin tidak punya rumus yang seindah itu, jadi secara umum tidak praktis untuk mengekspresikan channel dengan cara ini.

Sebagai perbandingan, dalam formulasi sederhana informasi kuantum kita menggunakan matriks unitary untuk merepresentasikan operasi pada vektor state kuantum: setiap matriks unitary merepresentasikan operasi yang valid dan setiap operasi yang valid bisa diekspresikan sebagai matriks unitary. Intinya, pertanyaan yang diajukan adalah: Bagaimana kita bisa melakukan hal yang serupa untuk channel?

Untuk menjawab pertanyaan ini, kita perlu beberapa alat matematis tambahan. Kita akan lihat bahwa channel sebenarnya bisa dideskripsikan secara matematis dalam beberapa cara yang berbeda, termasuk representasi yang dinamai untuk menghormati tiga individu yang berperan kunci dalam pengembangannya: Stinespring, Kraus, dan Choi. Bersama-sama, berbagai cara mendeskripsikan channel ini menawarkan sudut pandang berbeda untuk melihat dan menganalisisnya.

Representasi Stinespring

Representasi Stinespring didasarkan pada gagasan bahwa setiap channel bisa diimplementasikan dengan cara standar, di mana sistem input pertama-tama digabungkan dengan sistem workspace yang sudah diinisialisasi, membentuk sistem gabungan; lalu operasi unitary dilakukan pada sistem gabungan; dan akhirnya sistem workspace dibuang (atau di-trace out), meninggalkan output dari channel.

Gambar berikut menggambarkan implementasi seperti itu, dalam bentuk diagram sirkuit, untuk channel yang sistem input dan outputnya adalah sistem yang sama, $\mathsf{X}.$

Dalam diagram ini, kabel mewakili sistem sembarang, seperti yang ditunjukkan oleh label di atas kabel, dan tidak harus qubit tunggal. Juga, simbol ground yang umum digunakan dalam teknik elektro menunjukkan secara eksplisit bahwa $\mathsf{W}$ dibuang.

Secara kata-kata, cara kerja implementasi ini adalah sebagai berikut. Sistem input $\mathsf{X}$ dimulai dalam beberapa state $\rho,$ sementara sistem workspace $\mathsf{W}$ diinisialisasi ke state basis standar $\vert 0\rangle.$ Operasi unitary $U$ dilakukan pada pasangan $(\mathsf{W},\mathsf{X}),$ dan akhirnya sistem workspace $\mathsf{W}$ di-trace out, meninggalkan $\mathsf{X}$ sebagai output.

Perlu diperhatikan bahwa kita mengasumsikan $0$ adalah state klasik dari $\mathsf{W},$ dan kita memilihnya sebagai state yang diinisialisasi dari sistem ini, yang akan membantu menyederhanakan matematika. Namun, seseorang bisa memilih state murni tetap apa pun untuk merepresentasikan state yang diinisialisasi dari $\mathsf{W}$ tanpa mengubah sifat dasar dari representasi tersebut.

Ekspresi matematis dari channel yang dihasilkan, $\Phi,$ adalah sebagai berikut.

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho) U^{\dagger} \bigr)$$

Seperti biasa, kita menggunakan konvensi pengurutan Qiskit: sistem $\mathsf{X}$ ada di atas dalam diagram, dan oleh karena itu bersesuaian dengan faktor tensor sisi kanan dalam rumus.

Secara umum, sistem input dan output dari suatu channel tidak harus sama. Berikut adalah gambar yang menggambarkan implementasi dari channel $\Phi$ yang sistem inputnya adalah $\mathsf{X}$ dan sistem outputnya adalah $\mathsf{Y}.$

Kali ini operasi unitary mengubah $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ menjadi pasangan $(\mathsf{G},\mathsf{Y}),$ di mana $\mathsf{G}$ adalah sistem "sampah" baru yang di-trace out, meninggalkan $\mathsf{Y}$ sebagai sistem output. Agar $U$ bersifat unitary, ia harus berupa matriks persegi. Ini mengharuskan pasangan $(\mathsf{G},\mathsf{Y})$ memiliki jumlah state klasik yang sama dengan pasangan $(\mathsf{W},\mathsf{X}),$ sehingga sistem $\mathsf{W}$ dan $\mathsf{G}$ harus dipilih sedemikian rupa agar hal ini bisa terpenuhi.

Kita mendapatkan ekspresi matematis dari channel yang dihasilkan, $\Phi,$ yang mirip dengan sebelumnya.

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( U (\vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho) U^{\dagger} \bigr)$$

Ketika sebuah channel dideskripsikan dengan cara ini, sebagai operasi unitary beserta spesifikasi bagaimana sistem workspace diinisialisasi dan bagaimana sistem output dipilih, kita menyebutnya diekspresikan dalam bentuk Stinespring atau itu adalah representasi Stinespring dari channel tersebut.

Ini sama sekali tidak jelas, tapi setiap channel memang punya representasi Stinespring, seperti yang akan kita lihat di akhir pelajaran. Kita juga akan melihat bahwa representasi Stinespring tidak unik; akan selalu ada cara berbeda untuk mengimplementasikan channel yang sama dengan cara yang sudah dijelaskan.

Catatan

Dalam konteks informasi kuantum, istilah representasi Stinespring umumnya mengacu pada ekspresi channel yang sedikit lebih umum dengan bentuk

$$\Phi(\rho) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{G}} \bigl( A \rho A^{\dagger} \bigr)$$

untuk suatu isometri $A,$ yaitu matriks yang kolomnya ortonormal tetapi mungkin bukan matriks persegi. Untuk representasi Stinespring dengan bentuk yang sudah kita adopsi sebagai definisi, kita bisa mendapatkan ekspresi dari bentuk lain ini dengan mengambil

$$A = U (\vert 0\rangle_{\mathsf{W}} \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}}).$$

Channel completely dephasing

Berikut adalah representasi Stinespring dari channel dephasing qubit $\Delta.$ Dalam diagram ini, kedua kabel mewakili qubit tunggal — jadi ini adalah diagram sirkuit kuantum biasa.

Untuk melihat bahwa efek yang dimiliki sirkuit ini pada qubit input memang dijelaskan oleh channel completely dephasing, kita bisa mengikuti sirkuit satu langkah sekaligus, menggunakan representasi matriks eksplisit dari partial trace yang dibahas dalam pelajaran sebelumnya. Kita akan menyebut qubit atas sebagai $\mathsf{X}$ — ini adalah input dan output dari channel — dan kita akan mengasumsikan bahwa $\mathsf{X}$ dimulai dalam beberapa state sembarang $\rho.$

Langkah pertama adalah pengenalan workspace qubit, $\mathsf{W}.$ Sebelum gate controlled-NOT dilakukan, state dari pasangan $(\mathsf{W},\mathsf{X})$ direpresentasikan oleh matriks densitas berikut.

$$\begin{aligned} \vert 0\rangle \langle 0 \vert_{\mathsf{W}} \otimes \rho & = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Sesuai konvensi pengurutan Qiskit, qubit atas $\mathsf{X}$ ada di kanan dan qubit bawah $\mathsf{W}$ ada di kiri. Kita menggunakan matriks densitas daripada vektor state kuantum, tapi mereka di-tensor bersama dengan cara yang mirip dengan yang dilakukan dalam formulasi sederhana informasi kuantum.

Langkah berikutnya adalah melakukan operasi controlled-NOT, di mana $\mathsf{X}$ adalah kontrol dan $\mathsf{W}$ adalah target. Tetap mengingat konvensi pengurutan Qiskit, representasi matriks dari gate ini adalah sebagai berikut.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Ini adalah operasi unitary, dan untuk menerapkannya pada matriks densitas kita melakukan konjugasi dengan matriks unitary tersebut. Konjugat-transposes kebetulan tidak mengubah matriks khusus ini, sehingga hasilnya adalah sebagai berikut.

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\\[3mm] = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

Terakhir, partial trace dilakukan pada $\mathsf{W}.$ Mengingat kembali aksi operasi ini pada matriks $4\times 4,$ yang sudah dijelaskan dalam pelajaran sebelumnya, kita mendapatkan output matriks densitas berikut.

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 & 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[3mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \Delta(\rho) \end{aligned}$$

Kita juga bisa menghitung partial trace dengan terlebih dahulu mengkonversi ke notasi Dirac.

$$\begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0\rangle & 0 & 0 & \langle 0\vert \rho \vert 1\rangle\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] \langle 1\vert \rho \vert 0\rangle & 0 & 0 & \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \end{pmatrix} = \begin{array}{r} \langle 0\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 0\vert \\[1mm] +\, \langle 0\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 0\rangle\langle 1\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 1\vert \\[1mm] +\, \langle 1\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 1\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 1\rangle\langle 0\vert \\[1mm] +\, \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1\vert \otimes \vert 1\rangle\langle 1\vert \end{array}$$

Menelusuri keluar qubit di sisi kiri menghasilkan jawaban yang sama seperti sebelumnya.

$$\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0\vert +\, \langle 1\vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1\vert = \Delta(\rho)$$

Cara intuitif untuk memikirkan sirkuit ini adalah bahwa operasi controlled-NOT secara efektif menyalin state klasik dari qubit input, dan ketika salinannya dibuang ke tempat sampah, qubit input "runtuh" secara probabilistik ke salah satu dari dua kemungkinan state klasik, yang setara dengan complete dephasing.

Channel completely dephasing (alternatif)

Sirkuit yang dijelaskan di atas bukan satu-satunya cara untuk mengimplementasikan channel completely dephasing. Berikut adalah cara yang berbeda untuk melakukannya.

Berikut adalah analisis singkat yang menunjukkan bahwa implementasi ini berhasil. Setelah gate Hadamard dilakukan, kita memiliki state dua-qubit ini sebagai matriks densitas:

$$\begin{aligned} \vert + \rangle\langle + \vert \otimes \rho & = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 1 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Gate controlled-$\sigma_z$ beroperasi melalui konjugasi sebagai berikut.

$$\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\\[3mm] = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

Terakhir, sistem workspace $\mathsf{W}$ di-trace out.

$$\frac{1}{2} \operatorname{Tr}_{\mathsf{W}} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle & -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[3mm] \begin{aligned} & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0\\[2mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Implementasi ini didasarkan pada ide sederhana: dephasing setara dengan tidak melakukan apa-apa (yaitu, menerapkan operasi identitas) atau menerapkan gate $\sigma_z,$ masing-masing dengan probabilitas $1/2.$

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \rho + \frac{1}{2} \sigma_z \rho \sigma_z & = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] \langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & -\langle 0 \vert \rho \vert 1 \rangle\\[1mm] -\langle 1 \vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[4mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0\\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}\\[2mm] & = \Delta(\rho) \end{aligned}$$

Artinya, channel completely dephasing adalah contoh dari channel mixed-unitary, dan lebih khusus lagi, channel Pauli.

Channel reset qubit

Channel reset qubit bisa diimplementasikan sebagai berikut.

Gate swap hanya memindahkan state yang diinisialisasi $\vert 0\rangle$ dari workspace qubit sehingga menjadi output, sementara state input $\rho$ dipindahkan ke qubit bawah dan kemudian di-trace out.

Sebagai alternatif, jika kita tidak mengharuskan output dari channel ada di atas, kita bisa mengambil sirkuit yang sangat sederhana ini sebagai representasi kita.

Dengan kata-kata, mereset qubit ke state $\vert 0\rangle$ setara dengan membuang qubit ke tempat sampah dan mendapatkan yang baru.

Representasi Kraus

Sekarang kita akan membahas representasi Kraus, yang menawarkan cara formulaik yang praktis untuk mengekspresikan aksi sebuah channel melalui perkalian dan penjumlahan matriks. Secara khusus, representasi Kraus adalah spesifikasi sebuah channel, $\Phi,$ dalam bentuk berikut.

$$\Phi(\rho) = \sum_{k = 0}^{N-1} A_k \rho A_k^{\dagger}$$

Di sini, $A_0,\ldots,A_{N-1}$ adalah matriks-matriks yang semuanya memiliki dimensi yang sama: kolomnya bersesuaian dengan state klasik dari sistem input, $\mathsf{X},$ dan barisnya bersesuaian dengan state klasik dari sistem output, baik itu $\mathsf{X}$ maupun sistem lain $\mathsf{Y}.$ Agar $\Phi$ menjadi channel yang valid, matriks-matriks ini harus memenuhi kondisi berikut.

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

Kondisi ini setara dengan kondisi bahwa $\Phi$ mempertahankan trace. Properti lain yang diperlukan dari sebuah channel — yaitu complete positivity — mengikuti dari bentuk umum persamaan untuk $\Phi,$ sebagai jumlah dari konjugasi.

Kadang-kadang lebih praktis untuk menamai matriks $A_0,\ldots,A_{N-1}$ dengan cara yang berbeda. Misalnya, kita bisa menomorinya mulai dari $1,$ atau kita bisa menggunakan state dari suatu himpunan state klasik arbitrer $\Gamma$ sebagai pengganti angka sebagai subskrip:

$$\Phi(\rho) = \sum_{a\in\Gamma} A_a \rho A_a^{\dagger} \quad \text{where} \quad \sum_{a\in\Gamma} A_a^{\dagger} A_a = \mathbb{I}.$$

Berbagai cara penamaan matriks-matriks ini, yang disebut matriks Kraus, semuanya umum dan bisa praktis dalam situasi berbeda — tapi kita akan tetap menggunakan nama $A_0,\ldots,A_{N-1}$ dalam pelajaran ini demi kesederhanaan.

Angka $N$ bisa berupa bilangan bulat positif arbitrer, tapi tidak perlu terlalu besar: jika sistem input $\mathsf{X}$ memiliki $n$ state klasik dan sistem output $\mathsf{Y}$ memiliki $m$ state klasik, maka setiap channel dari $\mathsf{X}$ ke $\mathsf{Y}$ akan selalu memiliki representasi Kraus di mana $N$ paling banyak adalah hasil kali $nm.$

Channel completely dephasing

Kita memperoleh representasi Kraus dari channel completely dephasing dengan mengambil $A_0 = \vert 0\rangle\langle 0\vert$ dan $A_1 = \vert 1\rangle\langle 1\vert.$

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \vert 0\rangle\langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \vert 1\rangle\langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle\langle 1 \vert\\ & = \langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 1\rangle\langle 1 \vert \\[2mm] & = \begin{pmatrix} \langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle & 0 \\[1mm] 0 & \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Matriks-matriks ini memenuhi kondisi yang diperlukan.

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \vert 0\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert 1\rangle\langle 1\vert = \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert = \mathbb{I}$$

Atau kita bisa mengambil $A_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}\mathbb{I}$ dan $A_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\sigma_z,$ sehingga

$$\sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} = \frac{1}{2} \rho + \frac{1}{2} \sigma_z \rho \sigma_z = \Delta(\rho),$$

seperti yang sudah dihitung sebelumnya. Kali ini kondisi yang diperlukan bisa diverifikasi sebagai berikut.

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \frac{1}{2} \mathbb{I} + \frac{1}{2} \sigma_z^2 = \frac{1}{2} \mathbb{I} + \frac{1}{2} \mathbb{I} = \mathbb{I}$$

Channel reset Qubit

Kita memperoleh representasi Kraus dari channel reset Qubit dengan mengambil $A_0 = \vert 0\rangle\langle 0\vert$ dan $A_1 = \vert 0\rangle\langle 1\vert.$

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^1 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \vert 0\rangle\langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \vert 0\rangle\langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle\langle 0 \vert\\ & = \langle 0 \vert \rho \vert 0\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \langle 1 \vert \rho \vert 1\rangle \, \vert 0\rangle\langle 0 \vert\\[2mm] & = \operatorname{Tr}(\rho) \vert 0\rangle \langle 0 \vert \end{aligned}$$

Matriks-matriks ini memenuhi kondisi yang diperlukan.

$$\sum_{k = 0}^1 A_k^{\dagger} A_k = \vert 0\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 0\vert 0\rangle\langle 1\vert = \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert = \mathbb{I}$$

Channel completely depolarizing

Salah satu cara untuk memperoleh representasi Kraus untuk channel completely depolarizing adalah dengan memilih matriks Kraus $A_0,\ldots,A_3$ sebagai berikut.

$$A_0 = \frac{\vert 0\rangle\langle 0\vert}{\sqrt{2}} \quad A_1 = \frac{\vert 0\rangle\langle 1\vert}{\sqrt{2}} \quad A_2 = \frac{\vert 1\rangle\langle 0\vert}{\sqrt{2}} \quad A_3 = \frac{\vert 1\rangle\langle 1\vert}{\sqrt{2}}$$

Untuk sembarang matriks densitas Qubit $\rho$ kita kemudian mendapatkan

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^3 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \frac{1}{2} \bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle\langle 0\vert + \vert 0\rangle\langle 1\vert \rho \vert 1\rangle\langle 0\vert + \vert 1\rangle\langle 0\vert \rho \vert 0\rangle\langle 1\vert + \vert 1\rangle\langle 1\vert \rho \vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr)\\ & = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2}\\[1mm] & = \Omega(\rho). \end{aligned}$$

Representasi Kraus alternatif diperoleh dengan memilih matriks Kraus seperti ini.

$$A_0 = \frac{\mathbb{I}}{2} \quad A_1 = \frac{\sigma_x}{2} \quad A_2 = \frac{\sigma_y}{2} \quad A_3 = \frac{\sigma_z}{2}$$

Untuk memverifikasi bahwa matriks Kraus ini memang merepresentasikan channel completely depolarizing, mari kita pertama-tama amati bahwa mengkonjugasi matriks $2\times 2$ arbitrer dengan matriks Pauli bekerja sebagai berikut.

$$\begin{aligned} \sigma_x \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_x & = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{1,0}\\[1mm] \alpha_{0,1} & \alpha_{0,0} \end{pmatrix}\\[5mm] \sigma_y \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_y & = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & -\alpha_{1,0}\\[1mm] -\alpha_{0,1} & \alpha_{0,0} \end{pmatrix}\\[5mm] \sigma_z \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1}\\[1mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \sigma_z & = \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & -\alpha_{0,1}\\[1mm] -\alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Ini memungkinkan kita untuk memverifikasi kebenaran representasi Kraus kita.

$$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^3 A_k \rho A_k^{\dagger} & = \frac{\rho + \sigma_x \rho \sigma_x + \sigma_y \rho \sigma_y + \sigma_z \rho \sigma_z}{4} \\ & = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle & \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle - \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle - \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle \\[2mm] \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle - \langle 0\vert\rho\vert 1\rangle - \langle 1\vert\rho\vert 0\rangle & \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 0\vert\rho\vert 0\rangle + \langle 1\vert\rho\vert 1\rangle \end{pmatrix} \\[4mm] & = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2} \end{aligned}$$

Representasi Kraus ini mengekspresikan ide penting, yaitu bahwa state sebuah Qubit bisa sepenuhnya diacak dengan mengaplikasikan padanya salah satu dari empat matriks Pauli (termasuk matriks identitas) yang dipilih secara seragam secara acak. Dengan demikian, channel completely depolarizing adalah contoh lain dari Pauli channel.

Tidak mungkin menemukan representasi Kraus untuk channel completely depolarizing $\Omega$ yang memiliki tiga atau lebih sedikit matriks Kraus; setidaknya empat diperlukan untuk channel ini.

Channel uniter

Jika kita memiliki matriks uniter $U$ yang merepresentasikan operasi pada sistem $\mathsf{X},$ kita bisa mengekspresikan aksi operasi uniter ini sebagai channel:

$$\Phi(\rho) = U \rho U^{\dagger}.$$

Ekspresi ini sudah merupakan representasi Kraus yang valid dari channel $\Phi$ di mana kita kebetulan hanya memiliki satu matriks Kraus $A_0 = U.$ Dalam kasus ini, kondisi yang diperlukan

$$\sum_{k = 0}^{N-1} A_k^{\dagger} A_k = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}$$

mengambil bentuk yang jauh lebih sederhana $U^{\dagger} U = \mathbb{I}_{\mathsf{X}},$ yang kita tahu benar karena $U$ adalah uniter.

Representasi Choi

Sekarang kita akan membahas cara ketiga di mana channel bisa dideskripsikan, melalui representasi Choi. Cara kerjanya adalah setiap channel direpresentasikan oleh satu matriks yang dikenal sebagai matriks Choi-nya. Jika sistem input memiliki $n$ state klasik dan sistem output memiliki $m$ state klasik, maka matriks Choi dari channel tersebut akan memiliki $nm$ baris dan $nm$ kolom.

Matriks Choi memberikan representasi faithful dari channel, artinya dua channel adalah sama jika dan hanya jika mereka memiliki matriks Choi yang sama. Salah satu alasan mengapa ini penting adalah bahwa ini memberi kita cara untuk menentukan apakah dua deskripsi berbeda bersesuaian dengan channel yang sama atau channel yang berbeda: kita cukup menghitung matriks Choi dan membandingkannya untuk melihat apakah mereka sama. Sebaliknya, representasi Stinespring dan Kraus tidak unik dengan cara ini, seperti yang telah kita lihat.

Matriks Choi juga berguna dalam hal lain untuk mengungkap berbagai properti matematis dari channel.

Definisi

Misalkan $\Phi$ adalah channel dari sistem $\mathsf{X}$ ke sistem $\mathsf{Y},$ dan asumsikan bahwa himpunan state klasik dari sistem input $\mathsf{X}$ adalah $\Sigma.$ Representasi Choi dari $\Phi,$ yang dinotasikan $J(\Phi),$ didefinisikan oleh persamaan berikut.

$$J(\Phi) = \sum_{a,b\in\Sigma} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Phi\bigl( \vert a\rangle\langle b \vert\bigr)$$

Jika kita mengasumsikan bahwa $\Sigma = \{0,\ldots, n-1\}$ untuk suatu bilangan bulat positif $n,$ maka kita bisa mengekspresikan $J(\Phi)$ secara alternatif sebagai matriks blok:

$$J(\Phi) = \begin{pmatrix} \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert 0\rangle\langle n-1\vert\bigr) \\[1mm] \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert 1\rangle\langle n-1\vert\bigr) \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle 0\vert\bigr) & \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle 1\vert\bigr) & \cdots & \Phi\bigl(\vert n-1\rangle\langle n-1\vert\bigr) \end{pmatrix}$$

Artinya, sebagai matriks blok, matriks Choi dari sebuah channel memiliki satu blok $\Phi(\vert a\rangle\langle b\vert)$ untuk setiap pasangan $(a,b)$ state klasik dari sistem input, dengan blok-blok tersusun secara natural.

Perhatikan bahwa himpunan $\{\vert a\rangle\langle b\vert \,:\, 0\leq a,b < n\}$ membentuk basis untuk ruang semua matriks $n\times n.$ Karena $\Phi$ bersifat linier, maka aksinya bisa dipulihkan dari matriks Choi-nya dengan mengambil kombinasi linier dari blok-blok tersebut.

State Choi dari sebuah channel

Cara lain untuk memikirkan matriks Choi dari sebuah channel adalah bahwa itu adalah matriks densitas jika kita membaginya dengan $n = \vert\Sigma\vert.$ Mari kita fokus pada situasi di mana $\Sigma = \{0,\ldots,n-1\}$ untuk kesederhanaan, dan bayangkan bahwa kita memiliki dua salinan identik dari $\mathsf{X}$ yang bersama-sama berada dalam state terjalin

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{a = 0}^{n-1} \vert a \rangle \otimes \vert a \rangle.$$

Sebagai matriks densitas, state ini adalah sebagai berikut.

$$\vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \frac{1}{n} \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \vert a\rangle\langle b \vert$$

Jika kita mengaplikasikan $\Phi$ pada salinan $\mathsf{X}$ di sisi kanan, kita mendapatkan matriks Choi dibagi dengan $n.$

$$(\operatorname{Id}\otimes \,\Phi) \bigl(\vert \psi \rangle \langle \psi \vert\bigr) = \frac{1}{n} \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Phi\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) = \frac{J(\Phi)}{n}$$

Dengan kata lain, hingga faktor normalisasi $1/n,$ matriks Choi dari $\Phi$ adalah matriks densitas yang kita peroleh dengan mengevaluasi $\Phi$ pada setengah dari pasangan sistem input yang terjalin maksimal, seperti yang digambarkan pada gambar berikut.

Perhatikan secara khusus bahwa ini mengimplikasikan bahwa matriks Choi dari sebuah channel harus selalu bersifat positive semidefinite.

Kita juga melihat bahwa, karena channel $\Phi$ diaplikasikan hanya pada sistem kanan/atas, ia tidak bisa mempengaruhi reduced state dari sistem kiri/bawah. Dalam kasus ini, state tersebut adalah completely mixed state $\mathbb{I}_{\mathsf{X}}/n,$ dan oleh karena itu

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \biggl(\frac{J(\Phi)}{n}\biggr) = \frac{\mathbb{I}_{\mathsf{X}}}{n}.$$

Menghapus penyebut $n$ dari kedua sisi menghasilkan $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}.$

Kita juga bisa menarik kesimpulan yang sama dengan menggunakan fakta bahwa channel harus selalu mempertahankan trace, dan oleh karena itu

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) & = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\Phi( \vert a\rangle\langle b \vert)\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert \\ & = \sum_{a,b\in\Sigma} \operatorname{Tr}\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \, \vert a\rangle\langle b \vert \\ & = \sum_{a\in\Sigma} \vert a\rangle\langle a \vert \\ & = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}. \end{aligned}$$

Kesimpulannya, representasi Choi $J(\Phi)$ untuk sembarang channel $\Phi$ harus bersifat positive semidefinite dan harus memenuhi

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (J(\Phi)) = \mathbb{I}_{\mathsf{X}}.$$

Seperti yang akan kita lihat di akhir pelajaran, dua kondisi ini tidak hanya perlu tetapi juga cukup, artinya setiap pemetaan linier $\Phi$ dari matriks ke matriks yang memenuhi persyaratan ini haruslah, pada kenyataannya, sebuah channel.

Channel completely dephasing

Representasi Choi dari channel completely dephasing $\Delta$ adalah

$$\begin{aligned} J(\Delta) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Delta\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \vert a\rangle\langle a \vert \\[4mm] & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Channel completely depolarizing

Representasi Choi dari channel completely depolarizing adalah

$$\begin{aligned} J(\Omega) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Omega\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr)\\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \frac{1}{2} \mathbb{I} \\[4mm] & = \frac{1}{2} \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}\\[3mm] & = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Channel reset Qubit

Representasi Choi dari channel reset Qubit $\Phi$ adalah

$$\begin{aligned} J(\Lambda) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \Lambda\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr)\\ & = \sum_{a = 0}^{1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes \vert 0\rangle \langle 0\vert\\[4mm] & = \mathbb{I} \otimes \vert 0\rangle \langle 0\vert\\[3mm] & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Channel identitas

Representasi Choi dari channel identitas Qubit $\operatorname{Id}$ adalah

$$\begin{aligned} J(\operatorname{Id}) & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a\rangle\langle b \vert \otimes \operatorname{Id}\bigl(\vert a\rangle\langle b \vert\bigr) \\ & = \sum_{a,b = 0}^{1} \vert a \rangle\langle b \vert \otimes \vert a\rangle \langle b \vert \\ & = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. \end{aligned}$$

Perhatikan secara khusus bahwa $J(\operatorname{Id})$ bukan matriks identitas. Representasi Choi tidak secara langsung mendeskripsikan aksi sebuah channel dengan cara biasa di mana sebuah matriks merepresentasikan pemetaan linier.