Dasar-dasar channel kuantum

Dalam istilah matematis, channel adalah pemetaan linear dari matriks densitas ke matriks densitas yang memenuhi persyaratan tertentu. Sepanjang pelajaran ini kita akan menggunakan huruf Yunani kapital, termasuk $\Phi$ dan $\Psi,$ serta beberapa huruf lain dalam kasus-kasus tertentu, untuk merujuk pada channel.

Setiap channel $\Phi$ memiliki sistem masukan dan sistem keluaran, dan kita biasanya akan menggunakan nama $\mathsf{X}$ untuk merujuk pada sistem masukan dan $\mathsf{Y}$ untuk merujuk pada sistem keluaran. Adalah umum bahwa sistem keluaran dari sebuah channel sama dengan sistem masukannya, dan dalam kasus ini kita dapat menggunakan huruf yang sama $\mathsf{X}$ untuk merujuk pada keduanya.

Channel adalah pemetaan linear

Channel digambarkan oleh pemetaan linear, sama seperti operasi probabilistik dalam formulasi standar informasi klasik dan operasi uniter dalam formulasi sederhana informasi kuantum.

Jika sebuah channel $\Phi$ dilakukan pada sistem masukan $\mathsf{X}$ yang keadaannya digambarkan oleh matriks densitas $\rho,$ maka sistem keluaran dari channel digambarkan oleh matriks densitas $\Phi(\rho).$ Dalam situasi di mana sistem keluaran dari $\Phi$ juga $\mathsf{X},$ kita bisa sekadar melihat bahwa channel merepresentasikan perubahan keadaan $\mathsf{X},$ dari $\rho$ menjadi $\Phi(\rho).$ Ketika sistem keluaran dari $\Phi$ adalah sistem yang berbeda, $\mathsf{Y},$ daripada $\mathsf{X},$ harus dipahami bahwa $\mathsf{Y}$ adalah sistem baru yang dibuat oleh proses penerapan channel, dan bahwa sistem masukan, $\mathsf{X},$ tidak lagi tersedia begitu channel diterapkan — seolah-olah channel itu sendiri mengubah $\mathsf{X}$ menjadi $\mathsf{Y},$ meninggalkannya dalam keadaan $\Phi(\rho).$

Asumsi bahwa channel digambarkan oleh pemetaan linear dapat dipandang sebagai sebuah aksioma — atau dengan kata lain, postulat dasar teori dan bukan sesuatu yang dibuktikan. Namun kita dapat melihat perlunya channel untuk beraksi secara linear pada kombinasi konveks dari masukan matriks densitas agar konsisten dengan teori probabilitas dan apa yang telah kita pelajari tentang matriks densitas.

Untuk lebih spesifik, misalkan kita memiliki sebuah channel $\Phi$ dan kita menerapkannya pada sistem ketika berada dalam salah satu dari dua keadaan yang direpresentasikan oleh matriks densitas $\rho$ dan $\sigma.$ Jika kita menerapkan channel pada $\rho,$ kita mendapatkan matriks densitas $\Phi(\rho)$ dan jika kita menerapkannya pada $\sigma,$ kita mendapatkan matriks densitas $\Phi(\sigma).$ Jadi, jika kita memilih keadaan masukan $\mathsf{X}$ secara acak menjadi $\rho$ dengan probabilitas $p$ dan $\sigma$ dengan probabilitas $1-p,$ kita akan mendapatkan keadaan keluaran $\Phi(\rho)$ dengan probabilitas $p,$ dan $\Phi(\sigma)$ dengan probabilitas $1-p,$ yang kita representasikan dengan rata-rata tertimbang dari matriks densitas sebagai $p\Phi(\rho) + (1-p)\Phi(\sigma).$

Di sisi lain, kita bisa berpikir tentang keadaan masukan channel sebagai direpresentasikan oleh rata-rata tertimbang $p\rho + (1-p)\sigma,$ dan dalam kasus ini keluarannya adalah $\Phi(p\rho + (1-p)\sigma).$ Ini adalah keadaan yang sama terlepas dari cara kita memilih untuk memikirkannya, jadi kita harus memiliki

$$\Phi(p\rho + (1-p)\sigma) = p\Phi(\rho) + (1-p)\Phi(\sigma).$$

Setiap kali kita memiliki pemetaan yang memenuhi kondisi ini untuk setiap pilihan matriks densitas $\rho$ dan $\sigma$ dan skalar $p\in [0,1],$ selalu ada cara unik untuk memperluas pemetaan itu ke setiap masukan matriks (yaitu, bukan hanya masukan matriks densitas) sehingga bersifat linear.

Channel mengubah matriks densitas menjadi matriks densitas

Secara alami, selain menjadi pemetaan linear, channel juga harus mengubah matriks densitas menjadi matriks densitas. Jika sebuah channel $\Phi$ diterapkan pada sistem masukan saat sistem ini berada dalam keadaan yang direpresentasikan oleh matriks densitas $\rho,$ maka kita mendapatkan sistem yang keadaannya direpresentasikan oleh $\Phi(\rho),$ yang harus menjadi matriks densitas yang valid agar dapat kita interpretasikan sebagai sebuah keadaan.

Namun sangat penting bahwa kita mempertimbangkan situasi yang lebih umum, di mana sebuah channel $\Phi$ mengubah sistem $\mathsf{X}$ menjadi sistem $\mathsf{Y}$ dengan kehadiran sistem tambahan $\mathsf{Z}$ yang tidak melakukan apa pun. Artinya, jika kita mulai dengan pasangan sistem $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ dalam keadaan yang digambarkan oleh beberapa matriks densitas, dan kemudian menerapkan $\Phi$ hanya pada $\mathsf{X},$ mengubahnya menjadi $\mathsf{Y},$ kita harus mendapatkan matriks densitas yang menggambarkan keadaan pasangan $(\mathsf{Z},\mathsf{Y}).$

Kita dapat menggambarkan secara matematis bagaimana sebuah channel $\Phi,$ yang memiliki sistem masukan $\mathsf{X}$ dan sistem keluaran $\mathsf{Y},$ mengubah keadaan pasangan $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ menjadi keadaan $(\mathsf{Z},\mathsf{Y})$ ketika tidak ada yang dilakukan pada $\mathsf{Z}.$ Untuk menyederhanakan, kita akan mengasumsikan bahwa himpunan keadaan klasik dari $\mathsf{Z}$ adalah $\{0,\ldots,m-1\}.$ Ini memungkinkan kita menuliskan matriks densitas sembarang $\rho,$ yang merepresentasikan keadaan $(\mathsf{Z},\mathsf{X}),$ dalam bentuk berikut.

$$\rho = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle b\vert \otimes \rho_{a,b} = \begin{pmatrix} \rho_{0,0} & \rho_{0,1} & \cdots & \rho_{0,m-1} \\[1mm] \rho_{1,0} & \rho_{1,1} & \cdots & \rho_{1,m-1} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \rho_{m-1,0} & \rho_{m-1,1} & \cdots & \rho_{m-1,m-1} \end{pmatrix}$$

Di sisi kanan persamaan ini kita memiliki matriks blok, yang bisa kita anggap sebagai matriks dari matriks kecuali bahwa tanda kurung dalamnya dihilangkan. Ini meninggalkan kita dengan matriks biasa yang secara alternatif dapat digambarkan menggunakan notasi Dirac seperti yang kita miliki dalam ekspresi tengah. Setiap matriks $\rho_{a,b}$ memiliki baris dan kolom yang bersesuaian dengan keadaan klasik dari $\mathsf{X},$ dan matriks-matriks ini dapat ditentukan dengan formula sederhana.

$$\rho_{a,b} = \bigl(\langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \bigr) \rho \bigl(\vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \bigr)$$

Perhatikan bahwa ini umumnya bukan matriks densitas — hanya ketika disusun bersama untuk membentuk $\rho$ kita mendapatkan matriks densitas.

Persamaan berikut menggambarkan keadaan $(\mathsf{Z},\mathsf{Y})$ yang diperoleh ketika $\Phi$ diterapkan pada $\mathsf{X}.$

$$\sum_{a,b = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle b\vert \otimes \Phi(\rho_{a,b}) = \begin{pmatrix} \Phi(\rho_{0,0}) & \Phi(\rho_{0,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{0,m-1}) \\[1mm] \Phi(\rho_{1,0}) & \Phi(\rho_{1,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{1,m-1}) \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Phi(\rho_{m-1,0}) & \Phi(\rho_{m-1,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{m-1,m-1}) \end{pmatrix}$$

Perhatikan bahwa, untuk mengevaluasi ekspresi ini untuk suatu pilihan $\Phi$ dan $\rho$ yang diberikan, kita harus memahami bagaimana $\Phi$ bekerja sebagai pemetaan linear pada masukan non-matriks densitas, karena setiap $\rho_{a,b}$ umumnya tidak akan menjadi matriks densitas sendiri. Persamaan ini konsisten dengan ekspresi $(\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}} \otimes \,\Phi)(\rho),$ di mana $\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}$ menunjukkan channel identitas pada sistem $\mathsf{Z}.$ Ini mengasumsikan bahwa kita telah memperluas gagasan tentang produk tensor ke pemetaan linear dari matriks ke matriks, yang cukup mudah — tetapi tidak benar-benar penting untuk pelajaran dan tidak akan dijelaskan lebih lanjut.

Mengulangi pernyataan yang dibuat di atas, agar sebuah pemetaan linear $\Phi$ menjadi channel yang valid, haruslah demikian bahwa, untuk setiap pilihan $\mathsf{Z}$ dan setiap matriks densitas $\rho$ dari pasangan $(\mathsf{Z},\mathsf{X}),$ kita selalu mendapatkan matriks densitas ketika $\Phi$ diterapkan pada $\mathsf{X}.$ Dalam istilah matematis, sifat yang harus dimiliki sebuah pemetaan untuk menjadi channel adalah bahwa ia harus mempertahankan trace — sehingga matriks yang kita peroleh dengan menerapkan channel memiliki trace sama dengan satu — serta benar-benar positif — sehingga matriks yang dihasilkan adalah semidefinit positif. Keduanya adalah sifat penting yang dapat dipertimbangkan dan dipelajari secara terpisah, tetapi tidak kritis bagi kepentingan pelajaran ini untuk mempertimbangkan sifat-sifat ini secara terpisah.

Ada, sebenarnya, pemetaan linear yang selalu menghasilkan matriks densitas ketika diberi matriks densitas sebagai masukan, tetapi gagal memetakan matriks densitas ke matriks densitas untuk sistem gabungan, jadi kita memang mengeliminasi beberapa pemetaan linear dari kelas channel dengan cara ini. (Pemetaan linear yang diberikan oleh transposisi matriks adalah contoh paling sederhana.)

Kita memiliki formula analog dengan salah satu di atas dalam kasus di mana dua sistem $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Z}$ dipertukarkan, sehingga $\Phi$ diterapkan pada sistem di sebelah kiri daripada kanan.

$$\bigl(\Phi\otimes\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}\bigr)(\rho) = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \Phi(\rho_{a,b}) \otimes \vert a\rangle\langle b\vert$$

Ini mengasumsikan bahwa $\rho$ adalah keadaan dari $(\mathsf{X},\mathsf{Z})$ daripada $(\mathsf{Z},\mathsf{X}).$ Kali ini deskripsi matriks blok tidak berfungsi karena matriks $\rho_{a,b}$ tidak jatuh ke baris dan kolom berurutan dalam $\rho,$ tetapi ini adalah struktur matematis yang sama.

Setiap pemetaan linear yang memenuhi persyaratan bahwa ia selalu mengubah matriks densitas menjadi matriks densitas, bahkan ketika diterapkan hanya pada satu bagian dari sistem gabungan, merepresentasikan channel yang valid. Jadi, secara abstrak, gagasan tentang channel ditentukan oleh gagasan tentang matriks densitas, bersama dengan asumsi bahwa channel bekerja secara linear. Dalam hal ini, channel analog dengan operasi uniter dalam formulasi sederhana informasi kuantum, yang merupakan tepat pemetaan linear yang selalu mengubah vektor keadaan kuantum ke vektor keadaan kuantum untuk sistem yang diberikan; serta dengan operasi probabilistik (yang direpresentasikan oleh matriks stokastik) dalam formulasi standar informasi klasik, yang merupakan tepat pemetaan linear yang selalu mengubah vektor probabilitas menjadi vektor probabilitas.

Operasi uniter sebagai channel

Misalkan $\mathsf{X}$ adalah sistem dan $U$ adalah matriks uniter yang merepresentasikan operasi pada $\mathsf{X}.$ Channel $\Phi$ yang menggambarkan operasi ini pada matriks densitas didefinisikan sebagai berikut untuk setiap matriks densitas $\rho$ yang merepresentasikan keadaan kuantum dari $\mathsf{X}.$

$$\Phi(\rho) = U \rho U^{\dagger} \tag{1}$$

Aksi ini, di mana kita mengalikan dengan $U$ di sebelah kiri dan $U^{\dagger}$ di sebelah kanan, umumnya disebut sebagai konjugasi oleh matriks $U.$

Deskripsi ini konsisten dengan fakta bahwa matriks densitas yang merepresentasikan vektor keadaan kuantum yang diberikan $\vert\psi\rangle$ adalah $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert.$ Khususnya, jika operasi uniter $U$ dilakukan pada $\vert\psi\rangle,$ maka keadaan keluaran direpresentasikan oleh vektor $U\vert\psi\rangle,$ sehingga matriks densitas yang menggambarkan keadaan ini sama dengan

$$(U \vert \psi \rangle )( U \vert \psi \rangle )^{\dagger} = U \vert\psi\rangle\langle\psi\vert U^{\dagger}.$$

Setelah kita mengetahui bahwa, sebagai channel, operasi $U$ memiliki aksi $\vert\psi\rangle\langle \psi\vert \mapsto U \vert\psi\rangle\langle\psi\vert U^{\dagger}$ pada keadaan murni, kita dapat menyimpulkan secara linearitas bahwa ia harus bekerja sebagaimana ditentukan oleh persamaan $(1)$ di atas untuk setiap matriks densitas $\rho.$

Channel tertentu yang kita peroleh ketika kita mengambil $U = \mathbb{I}$ adalah channel identitas$\;\operatorname{Id},$ yang juga dapat kita beri subskrip (seperti $\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}},$ seperti yang telah kita temui) ketika kita ingin menunjukkan secara eksplisit sistem apa yang menjadi aksi channel ini. Keluarannya selalu sama dengan masukannya: $\operatorname{Id}(\rho) = \rho.$ Ini mungkin tidak terlihat seperti channel yang menarik, tetapi sebenarnya sangat penting — dan tepat bahwa ini adalah contoh pertama kita. Channel identitas adalah channel yang sempurna dalam beberapa konteks, merepresentasikan memori yang ideal atau transmisi informasi yang sempurna dan tanpa kebisingan dari pengirim ke penerima.

Setiap channel yang didefinisikan oleh operasi uniter dengan cara ini memang merupakan channel yang valid: konjugasi oleh matriks $U$ memberi kita peta linear; dan jika $\rho$ adalah matriks densitas dari sistem $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ dan $U$ adalah uniter, maka hasilnya, yang dapat kita ekspresikan sebagai

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}),$$

juga merupakan matriks densitas. Secara khusus, matriks ini harus semidefinit positif, karena jika $\rho = M^{\dagger} M$ maka

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}) = K^{\dagger} K$$

untuk $K = M (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}),$ dan ia harus memiliki trace satuan berdasarkan sifat siklik dari trace.

$$\operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho \bigr) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}}) \rho \bigr) = \operatorname{Tr}(\rho) = 1$$

Kombinasi konveks dari channel

Misalkan kita memiliki dua channel, $\Phi_0$ dan $\Phi_1,$ yang memiliki sistem masukan yang sama dan sistem keluaran yang sama. Untuk bilangan real $p\in[0,1]$ mana pun, kita bisa memutuskan untuk menerapkan $\Phi_0$ dengan probabilitas $p$ dan $\Phi_1$ dengan probabilitas $1-p,$ yang memberi kita channel baru yang dapat ditulis sebagai $p \Phi_0 + (1-p) \Phi_1.$ Secara eksplisit, cara channel ini bekerja pada matriks densitas yang diberikan ditentukan oleh persamaan sederhana berikut.

$$(p \Phi_0 + (1-p) \Phi_1)(\rho) = p \Phi_0(\rho) + (1-p) \Phi_1(\rho)$$

Lebih umumnya, jika kita memiliki channel $\Phi_{0},\ldots,\Phi_{m-1}$ dan vektor probabilitas $(p_0,\ldots, p_{m-1}),$ maka kita dapat merata-ratakan channel-channel ini untuk mendapatkan channel baru.

$$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \Phi_k$$

Ini adalah kombinasi konveks dari channel, dan kita selalu mendapatkan channel yang valid melalui proses ini. Cara sederhana untuk mengatakan ini dalam istilah matematis adalah bahwa, untuk pilihan sistem masukan dan keluaran yang diberikan, himpunan semua channel adalah himpunan konveks.

Sebagai contoh, kita bisa memilih untuk menerapkan salah satu dari kumpulan operasi uniter pada sistem tertentu. Kita mendapatkan apa yang dikenal sebagai channel campuran uniter, yang merupakan channel yang dapat diekspresikan dalam bentuk berikut.

$$\Phi(\rho) = \sum_{k=0}^{m-1} p_k U_k \rho U_k^{\dagger}$$

Channel campuran uniter di mana semua operasi uniternya adalah matriks Pauli (atau produk tensor dari matriks Pauli) disebut channel Pauli, dan sering dijumpai dalam komputasi kuantum.

Contoh channel qubit

Sekarang kita akan melihat beberapa contoh spesifik dari channel yang bukan uniter. Untuk semua contoh ini, sistem masukan dan keluaran keduanya adalah qubit tunggal, yang berarti ini adalah contoh dari channel qubit.

Channel reset qubit

Channel ini melakukan sesuatu yang sangat sederhana: ia me-reset qubit ke keadaan $\vert 0\rangle.$ Sebagai pemetaan linear channel ini dapat diekspresikan sebagai berikut untuk setiap matriks densitas qubit $\rho.$

$$\Lambda(\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) \vert 0\rangle\langle 0\vert$$

Meskipun trace dari setiap matriks densitas $\rho$ sama dengan $1,$ menuliskan channel dengan cara ini membuat jelas bahwa itu adalah pemetaan linear yang dapat diterapkan ke matriks $2\times 2$ mana pun, bukan hanya matriks densitas. Seperti yang telah kita amati, kita perlu memahami bagaimana channel bekerja sebagai pemetaan linear pada masukan non-matriks densitas untuk menggambarkan apa yang terjadi ketika mereka diterapkan hanya pada satu bagian dari sistem gabungan.

Sebagai contoh, misalkan $\mathsf{A}$ dan $\mathsf{B}$ adalah qubit dan bersama pasangan $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ berada dalam keadaan Bell $\vert \phi^+\rangle.$ Sebagai matriks densitas, keadaan ini diberikan oleh

$$\vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

Menggunakan notasi Dirac kita dapat mengekspresikan keadaan ini secara alternatif sebagai berikut.

$$\vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 1 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert$$

Dengan menerapkan channel reset qubit pada $\mathsf{A}$ dan tidak melakukan apa pun pada $\mathsf{B},$ kita mendapatkan keadaan berikut.

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \Lambda(\vert 0 \rangle \langle 0 \vert) \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 0 \rangle \langle 1 \vert) \otimes \vert 0 \rangle \langle 1 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 1 \rangle \langle 0 \vert) \otimes \vert 1 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 1 \rangle \langle 1 \vert) \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \qquad & \\[1mm] = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \frac{\mathbb{I}}{2} & \end{aligned}$$

Mungkin tergoda untuk mengatakan bahwa me-reset $\mathsf{A}$ telah berdampak pada $\mathsf{B},$ menyebabkannya menjadi benar-benar tercampur — tetapi dalam beberapa hal sebenarnya sebaliknya. Sebelum $\mathsf{A}$ di-reset, keadaan tereduksi dari $\mathsf{B}$ adalah keadaan yang benar-benar tercampur, dan itu tidak berubah sebagai akibat dari me-reset $\mathsf{A}.$

Channel dephasing sempurna

Berikut adalah contoh channel qubit yang disebut $\Delta,$ yang digambarkan oleh aksinya pada matriks $2\times 2$:

$$\Delta \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01}\\[1mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & 0\\[1mm] 0 & \alpha_{11} \end{pmatrix}.$$

Dengan kata-kata, $\Delta$ menolkan entri di luar diagonal dari matriks $2\times 2.$ Contoh ini dapat digeneralisasikan ke sistem sembarang, bukan hanya qubit: untuk matriks densitas mana pun yang menjadi masukan, channel menolkan semua entri di luar diagonal dan membiarkan diagonal tetap ada.

Channel ini disebut channel dephasing sempurna, dan dapat dianggap sebagai mewakili bentuk ekstrem dari proses yang dikenal sebagai dekoherensi — yang pada dasarnya merusak superposisi kuantum dan mengubahnya menjadi keadaan probabilistik klasik.

Cara lain untuk memikirkan channel ini adalah bahwa ia menggambarkan pengukuran basis standar pada qubit, di mana qubit masukan diukur dan kemudian dibuang, dan di mana keluaran adalah matriks densitas yang menggambarkan hasil pengukuran. Sebagai alternatif, tetapi setara, kita dapat membayangkan bahwa hasil pengukuran dibuang, meninggalkan qubit dalam keadaan pasca-pengukurannya.

Mari kita pertimbangkan lagi e-bit, dan lihat apa yang terjadi ketika $\Delta$ diterapkan hanya pada salah satu dari dua qubit. Secara khusus, kita memiliki qubit $\mathsf{A}$ dan $\mathsf{B}$ di mana $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ berada dalam keadaan $\vert\phi^+\rangle,$ dan kali ini mari kita terapkan channel pada qubit kedua. Berikut adalah keadaan yang kita peroleh.

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \Delta(\vert 0 \rangle \langle 0 \vert) + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 1 \vert \otimes \Delta(\vert 0 \rangle \langle 1 \vert) + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 0 \vert \otimes \Delta(\vert 1 \rangle \langle 0 \vert) + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \Delta(\vert 1 \rangle \langle 1 \vert) \qquad & \\[1mm] = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert & \end{aligned}$$

Sebagai alternatif kita dapat mengekspresikan persamaan ini menggunakan matriks blok.

$$\begin{pmatrix} \Delta\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \Delta\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \\[4mm] \Delta\begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} & \Delta\begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

Kita juga dapat mempertimbangkan channel qubit yang hanya sedikit mendephase qubit, berbeda dengan mendephase sepenuhnya, yang merupakan bentuk dekoherensi yang kurang ekstrem dibandingkan yang direpresentasikan oleh channel dephasing sempurna. Khususnya, misalkan $\varepsilon \in (0,1)$ adalah bilangan real kecil namun bukan nol. Kita dapat mendefinisikan sebuah channel

$$\Delta_{\varepsilon} = (1 - \varepsilon) \operatorname{Id} + \varepsilon \Delta,$$

yang mengubah matriks densitas qubit yang diberikan $\rho$ seperti ini:

$$\Delta_{\varepsilon}(\rho) = (1 - \varepsilon) \rho + \varepsilon \Delta(\rho).$$

Artinya, tidak ada yang terjadi dengan probabilitas $1-\varepsilon,$ dan dengan probabilitas $\varepsilon,$ qubit mendephase. Dalam hal matriks, aksi ini dapat diekspresikan sebagai berikut, di mana entri diagonal dibiarkan dan entri di luar diagonal dikalikan dengan $1-\varepsilon.$

$$\rho = \begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0\vert \rho \vert 1 \rangle \\[1mm] \langle 1\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1\vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle & (1-\varepsilon) \langle 0\vert \rho \vert 1 \rangle \\[1mm] (1-\varepsilon) \langle 1\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1\vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

Channel depolarisasi sempurna

Berikut adalah contoh lain dari channel qubit yang disebut $\Omega.$

$$\Omega(\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2}$$

Di sini $\mathbb{I}$ menunjukkan matriks identitas $2\times 2.$ Dengan kata-kata, untuk masukan matriks densitas $\rho$ mana pun, channel $\Omega$ menghasilkan keadaan yang benar-benar tercampur. Tidak ada yang lebih berisik dari ini! Channel ini disebut channel depolarisasi sempurna, dan seperti channel dephasing sempurna, ia dapat digeneralisasikan ke sistem sembarang sebagai pengganti qubit.

Kita juga dapat mempertimbangkan varian yang kurang ekstrem dari channel ini di mana depolarisasi terjadi dengan probabilitas $\varepsilon,$ mirip dengan yang kita lihat untuk channel dephasing.

$$\Omega_{\varepsilon}(\rho) = (1 - \varepsilon) \rho + \varepsilon \Omega(\rho).$$