Teorema Naimark

Teorema Naimark adalah fakta fundamental tentang pengukuran. Ini menyatakan bahwa setiap pengukuran umum dapat diimplementasikan dengan cara sederhana yang mengingatkan pada representasi Stinespring dari saluran:

1. Sistem yang akan diukur pertama kali digabungkan dengan sistem ruang kerja yang diinisialisasi, membentuk sistem gabungan.
2. Operasi uniter kemudian dilakukan pada sistem gabungan.
3. Akhirnya, sistem ruang kerja diukur terhadap pengukuran basis standar, menghasilkan hasil dari pengukuran umum asli.

Pernyataan dan bukti teorema

Misalkan $\mathsf{X}$ adalah sistem dan misalkan $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ adalah koleksi matriks semidefinit positif yang memenuhi

$$P_0 + \cdots + P_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}},$$

yang artinya mereka mendeskripsikan pengukuran dari $\mathsf{X}.$ Juga misalkan $\mathsf{Y}$ adalah sistem yang himpunan keadaan klasiknya adalah $\{0,\ldots,m-1\},$ yang merupakan himpunan kemungkinan hasil dari pengukuran ini.

Teorema Naimark menyatakan bahwa ada operasi uniter $U$ pada sistem gabungan $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ sehingga implementasi yang disarankan oleh gambar berikut menghasilkan hasil pengukuran yang sesuai dengan pengukuran yang diberikan $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\},$ artinya probabilitas untuk kemungkinan hasil pengukuran yang berbeda persis sesuai.

Untuk lebih jelasnya, sistem $\mathsf{X}$ dimulai dalam beberapa keadaan arbitrer $\rho$ sementara $\mathsf{Y}$ diinisialisasi ke keadaan $\vert 0\rangle.$ Operasi uniter $U$ diterapkan ke $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ dan kemudian sistem $\mathsf{Y}$ diukur dengan pengukuran basis standar, menghasilkan beberapa hasil $a\in\{0,\ldots,m-1\}.$

Sistem $\mathsf{X}$ digambarkan sebagai bagian dari output sirkuit, tetapi untuk saat ini kita tidak akan mempermasalahkan keadaan $\mathsf{X}$ setelah $U$ dilakukan, dan bisa membayangkan bahwa itu di-trace out. Kita akan tertarik pada keadaan $\mathsf{X}$ setelah $U$ dilakukan nanti dalam pelajaran.

Implementasi pengukuran dengan cara ini jelas mengingatkan pada representasi Stinespring dari saluran, dan dasar matematisnya serupa. Perbedaannya di sini adalah bahwa sistem ruang kerja diukur daripada di-trace out seperti dalam kasus representasi Stinespring.

Fakta bahwa setiap pengukuran dapat diimplementasikan dengan cara ini cukup mudah dibuktikan, tetapi kita perlu fakta tentang matriks semidefinit positif terlebih dahulu.

Fakta

Misalkan $P$ adalah matriks semidefinit positif $n \times n$. Ada matriks semidefinit positif $n\times n$ unik $Q$ di mana $Q^2 = P.$ Matriks semidefinit positif unik ini disebut akar kuadrat dari $P$ dan dinotasikan $\sqrt{P}.$

Salah satu cara untuk menemukan akar kuadrat dari matriks semidefinit positif adalah dengan pertama-tama menghitung dekomposisi spektral.

$$P = \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

Karena $P$ bersifat semidefinit positif, eigenvaluenya harus berupa bilangan real non-negatif, dan dengan menggantikannya dengan akar kuadratnya kita mendapatkan ekspresi untuk akar kuadrat $P.$

$$\sqrt{P} = \sum_{k=0}^{n-1} \sqrt{\lambda_k} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

Dengan konsep ini di tangan, kita siap membuktikan teorema Naimark. Dengan asumsi bahwa $\mathsf{X}$ memiliki $n$ keadaan klasik, operasi uniter $U$ pada pasangan $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ dapat direpresentasikan oleh matriks $nm\times nm$, yang bisa kita lihat sebagai matriks blok $m\times m$ yang bloknya berukuran $n\times n.$ Kunci pembuktian adalah mengambil $U$ sebagai matriks uniter manapun yang cocok dengan pola berikut.

$$U = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \sqrt{P_1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

Agar mungkin mengisi blok-blok yang ditandai dengan tanda tanya sehingga $U$ uniter, syarat yang diperlukan dan cukup adalah bahwa $n$ kolom pertama, yang dibentuk oleh blok $\sqrt{P_0},\ldots,\sqrt{P_{m-1}},$ bersifat ortonormal. Kita kemudian bisa menggunakan proses ortonormalisasi Gram-Schmidt untuk mengisi kolom-kolom yang tersisa, seperti yang kita temui dalam pelajaran sebelumnya.

$n$ kolom pertama dari $U$ dapat dinyatakan sebagai vektor dengan cara berikut, di mana $c = 0,\ldots,n-1$ mengacu pada nomor kolom mulai dari $0.$

$$\vert\gamma_c\rangle = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert a \rangle \otimes \sqrt{P_a} \vert c\rangle$$

Kita bisa menghitung hasil kali dalam antara dua di antaranya sebagai berikut.

$$\langle \gamma_c \vert \gamma_d \rangle = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \langle a \vert b \rangle \cdot \langle c \vert \sqrt{P_a}\sqrt{P_b}\, \vert d\rangle = \langle c \vert \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \Biggr) \vert d\rangle = \langle c \vert d\rangle$$

Ini menunjukkan bahwa kolom-kolom ini sebenarnya bersifat ortonormal, sehingga kita bisa mengisi kolom-kolom yang tersisa dari $U$ dengan cara yang menjamin seluruh matriks adalah uniter.

Yang tersisa adalah memeriksa bahwa probabilitas hasil pengukuran untuk simulasi konsisten dengan pengukuran aslinya. Untuk keadaan awal $\rho$ dari $\mathsf{X},$ pengukuran yang dijelaskan oleh koleksi $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ menghasilkan setiap hasil $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ dengan probabilitas $\operatorname{Tr}(P_a \rho).$

Untuk mendapatkan probabilitas hasil untuk simulasi, mari kita beri nama $\sigma$ untuk keadaan $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ setelah $U$ dilakukan. Keadaan ini dapat dinyatakan sebagai berikut.

$$\sigma = U \bigl(\vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \rho\bigr) U^{\dagger} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}$$

Setara, dalam bentuk matriks blok, kita memiliki persamaan berikut.

$$\begin{aligned} \sigma & = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \sqrt{P_1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \rho & 0 & \cdots & 0 \\[1mm] 0 & 0 & \cdots & 0 \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \sqrt{P_1} & \cdots & \sqrt{P_{m-1}} \\[1mm] \fbox{?} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \fbox{?} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}\\[5mm] & = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0} & \cdots & \sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_{m-1}} \\[1mm] \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}}\rho\sqrt{P_0} & \cdots & \sqrt{P_{m-1}}\rho\sqrt{P_{m-1}} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Perhatikan bahwa entri $U$ yang jatuh ke dalam blok yang ditandai dengan tanda tanya tidak berpengaruh pada hasilnya karena kita mengkonjugasikan matriks berbentuk $\vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \rho$ — sehingga entri tanda tanya selalu dikalikan dengan entri nol dari $\vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \rho$ ketika perkalian matriks dihitung.

Sekarang kita bisa menganalisis apa yang terjadi ketika pengukuran basis standar dilakukan pada $\mathsf{Y}.$ Probabilitas dari kemungkinan hasil diberikan oleh entri diagonal dari keadaan tereduksi $\sigma_{\mathsf{Y}}$ dari $\mathsf{Y}.$

$$\sigma_{\mathsf{Y}} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \operatorname{Tr}\Bigl(\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}\Bigr) \vert a\rangle \langle b \vert$$

Khususnya, menggunakan sifat siklik dari jejak, kita melihat bahwa probabilitas untuk mendapatkan hasil tertentu $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ adalah sebagai berikut.

$$\langle a \vert \sigma_{\mathsf{Y}} \vert a \rangle = \operatorname{Tr}\Bigl(\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}\Bigr) = \operatorname{Tr}(P_a \rho)$$

Ini cocok dengan pengukuran aslinya, membuktikan kebenaran simulasi.

Pengukuran non-destruktif

Sejauh ini dalam pelajaran, kita telah mempermasalahkan pengukuran destruktif, di mana outputnya hanya terdiri dari hasil pengukuran klasik saja dan tidak ada spesifikasi tentang keadaan kuantum pasca-pengukuran dari sistem yang diukur.

Pengukuran non-destruktif, di sisi lain, melakukan hal ini dengan tepat. Secara khusus, pengukuran non-destruktif mendeskripsikan bukan hanya probabilitas hasil pengukuran klasik, tetapi juga keadaan sistem yang diukur yang dikondisikan pada setiap kemungkinan hasil pengukuran. Perhatikan bahwa istilah non-destruktif mengacu pada sistem yang diukur tetapi tidak harus keadaannya, yang bisa berubah secara signifikan sebagai akibat dari pengukuran.

Secara umum, untuk pengukuran destruktif yang diberikan, akan ada beberapa (faktanya tak terbatas banyaknya) pengukuran non-destruktif yang kompatibel dengan pengukuran destruktif yang diberikan, artinya probabilitas hasil pengukuran klasik cocok persis dengan pengukuran destruktif. Jadi, tidak ada cara unik untuk mendefinisikan keadaan kuantum pasca-pengukuran dari suatu sistem untuk pengukuran yang diberikan.

Sebenarnya memungkinkan untuk menggeneralisasi pengukuran non-destruktif lebih jauh, sehingga mereka menghasilkan hasil pengukuran klasik bersama dengan keadaan kuantum keluaran dari sistem yang tidak harus sama dengan sistem input.

Gagasan pengukuran non-destruktif adalah abstraksi yang menarik dan berguna. Namun, harus diakui bahwa pengukuran non-destruktif selalu dapat digambarkan sebagai komposisi dari saluran dan pengukuran destruktif — sehingga ada pengertian di mana gagasan pengukuran destruktif adalah yang lebih fundamental.

Dari teorema Naimark

Pertimbangkan simulasi pengukuran umum seperti yang kita miliki dalam teorema Naimark. Cara sederhana untuk mendapatkan pengukuran non-destruktif dari simulasi ini terungkap dari gambar sebelumnya, di mana sistem $\mathsf{X}$ tidak di-trace out, tetapi merupakan bagian dari output. Ini menghasilkan baik hasil pengukuran klasik $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ maupun keadaan kuantum pasca-pengukuran dari $\mathsf{X}.$

Mari kita deskripsikan keadaan-keadaan ini dalam istilah matematis. Kita mengasumsikan bahwa keadaan awal $\mathsf{X}$ adalah $\rho,$ sehingga setelah sistem $\mathsf{Y}$ yang diinisialisasi diperkenalkan dan $U$ dilakukan, kita memiliki bahwa $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ berada dalam keadaan

$$\sigma = U \bigl(\vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \rho\bigr) U^{\dagger} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}.$$

Probabilitas untuk hasil klasik yang berbeda muncul adalah sama seperti sebelumnya — mereka tidak bisa berubah sebagai akibat dari kita memutuskan untuk mengabaikan atau tidak mengabaikan $\mathsf{X}.$ Artinya, kita mendapatkan setiap $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ dengan probabilitas $\operatorname{Tr}(P_a \rho).$

Dikondisikan pada mendapatkan hasil pengukuran tertentu $a,$ keadaan yang dihasilkan dari $\mathsf{X}$ diberikan oleh ekspresi ini.

$$\frac{\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}$$

Satu cara untuk melihat ini adalah dengan merepresentasikan pengukuran basis standar dari $\mathsf{Y}$ dengan saluran dephasing sempurna $\Delta_m,$ di mana output saluran mendeskripsikan hasil pengukuran klasik sebagai matriks densitas (diagonal). Ekspresi dari keadaan yang kita peroleh adalah sebagai berikut.

$$\sum_{a,b=0}^{m-1} \Delta_m(\vert a\rangle \langle b \vert) \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b} = \sum_{a=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}.$$

Kita kemudian bisa menulis keadaan ini sebagai kombinasi konveks dari keadaan produk,

$$\sum_{a=0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \rho)\, \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \frac{\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)},$$

yang konsisten dengan ekspresi yang kita peroleh untuk keadaan $\mathsf{X}$ yang dikondisikan pada setiap kemungkinan hasil pengukuran.

Dari representasi Kraus

Ada pilihan alternatif untuk $U$ dalam konteks teorema Naimark yang menghasilkan probabilitas hasil pengukuran yang sama tetapi memberikan keadaan output $\mathsf{X}$ yang sepenuhnya berbeda.

Misalnya, satu opsi adalah menggantikan $(\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes V) U$ untuk $U,$ di mana $V$ adalah operasi uniter manapun pada $\mathsf{X}.$ Penerapan $V$ ke $\mathsf{X}$ komut dengan pengukuran $\mathsf{Y}$ sehingga probabilitas hasil klasik tidak berubah, tetapi sekarang keadaan $\mathsf{X}$ yang dikondisikan pada hasil $a$ menjadi

$$\frac{V \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}V^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}.$$

Lebih umumnya, kita bisa menggantikan $U$ dengan matriks uniter

$$\Biggl(\sum_{a=0}^{m-1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes V_a\Biggr) U$$

untuk pilihan operasi uniter $V_0,\ldots,V_{m-1}$ manapun pada $\mathsf{X}.$ Sekali lagi, probabilitas hasil klasik tidak berubah, tetapi sekarang keadaan $\mathsf{X}$ yang dikondisikan pada hasil $a$ menjadi

$$\frac{V_a \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}V_a^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}.$$

Cara setara untuk mengekspresikan kebebasan ini terhubung dengan representasi Kraus. Artinya, kita bisa mendeskripsikan pengukuran non-destruktif $m$-hasil dari sistem dengan $n$ keadaan klasik dengan memilih $n\times n$ matriks Kraus $A_0,\ldots,A_{m-1}$ yang memenuhi kondisi tipikal untuk matriks Kraus.

$$\sum_{a = 0}^{m-1} A_a^{\dagger} A_a = \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \tag{1}$$

Dengan asumsi bahwa keadaan awal $\mathsf{X}$ adalah $\rho,$ hasil pengukuran klasiknya adalah $a$ dengan probabilitas

$$\operatorname{Tr}\bigl(A_a \rho A_a^{\dagger}\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl(A_a^{\dagger} A_a \rho \bigr)$$

dan dikondisikan pada hasilnya adalah $a$, keadaan $\mathsf{X}$ menjadi

$$\frac{A_a \rho A_a^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(A_a^{\dagger}A_a \rho)}.$$

Perhatikan bahwa ini setara dengan memilih operasi uniter $U$ dalam teorema Naimark sebagai berikut.

$$U = \begin{pmatrix} A_{0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] A_{1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] A_{m-1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

Dalam pelajaran sebelumnya kita mengamati bahwa kolom yang dibentuk oleh blok $A_0,\ldots,A_{m-1}$ pasti ortogonal, berdasarkan kondisi $(1).$

Generalisasi

Ada cara yang bahkan lebih umum untuk memformulasikan pengukuran non-destruktif daripada cara yang sudah kita bahas. Gagasan tentang instrumen kuantum (yang tidak akan dijelaskan di sini) mewakili salah satu cara untuk melakukannya.