Diskriminasi dan tomografi keadaan kuantum

Pada bagian terakhir pelajaran, kita akan secara singkat mempertimbangkan dua tugas yang terkait dengan pengukuran: diskriminasi keadaan kuantum dan tomografi keadaan kuantum.

1. Diskriminasi keadaan kuantum

   Untuk diskriminasi keadaan kuantum, kita memiliki koleksi keadaan kuantum yang diketahui $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1},$ bersama dengan probabilitas $p_0,\ldots,p_{m-1}$ yang terkait dengan keadaan-keadaan ini. Cara ringkas untuk mengekspresikan ini adalah dengan mengatakan bahwa kita memiliki ensemble

   $$\{(p_0,\rho_0),\ldots,(p_{m-1},\rho_{m-1})\}$$

   dari keadaan kuantum.

   Sebuah angka $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ dipilih secara acak sesuai dengan probabilitas $(p_0,\ldots,p_{m-1})$ dan sistem $\mathsf{X}$ dipersiapkan dalam keadaan $\rho_a.$ Tujuannya adalah untuk menentukan, melalui pengukuran $\mathsf{X}$ saja, nilai $a$ mana yang dipilih.

   Dengan demikian, kita memiliki sejumlah alternatif yang terbatas, bersama dengan prior — yang merupakan pengetahuan kita tentang probabilitas untuk setiap $a$ dipilih — dan tujuannya adalah menentukan alternatif mana yang sebenarnya terjadi. Ini mungkin mudah untuk beberapa pilihan keadaan dan probabilitas, dan untuk yang lain mungkin tidak mungkin tanpa beberapa kemungkinan membuat kesalahan.

2. Tomografi keadaan kuantum

   Untuk tomografi keadaan kuantum, kita memiliki keadaan kuantum yang tidak diketahui dari suatu sistem — jadi tidak seperti dalam diskriminasi keadaan kuantum biasanya tidak ada prior atau informasi apapun tentang kemungkinan alternatif.

   Kali ini, bagaimanapun, bukan satu salinan keadaan yang tersedia, tetapi banyak salinan yang independen tersedia. Artinya, $N$ sistem identik $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ masing-masing secara independen dipersiapkan dalam keadaan $\rho$ untuk beberapa (mungkin besar) angka $N.$ Tujuannya adalah menemukan aproksimasi dari keadaan yang tidak diketahui, sebagai matriks densitas, dengan mengukur sistem-sistemnya.

Mendiskriminasikan antara dua keadaan

Kasus paling sederhana untuk diskriminasi keadaan kuantum adalah ada dua keadaan, $\rho_0$ dan $\rho_1,$ yang akan didiskriminasikan.

Bayangkan situasi di mana bit $a$ dipilih secara acak: $a = 0$ dengan probabilitas $p$ dan $a = 1$ dengan probabilitas $1 - p.$ Sistem $\mathsf{X}$ dipersiapkan dalam keadaan $\rho_a,$ yaitu $\rho_0$ atau $\rho_1$ tergantung pada nilai $a,$ dan diberikan kepada kita. Tujuan kita adalah menebak nilai $a$ dengan benar melalui pengukuran pada $\mathsf{X}.$ Lebih tepatnya, kita akan berusaha memaksimalkan probabilitas tebakan kita benar.

Pengukuran optimal

Cara optimal untuk memecahkan masalah ini dimulai dengan dekomposisi spektral dari selisih berbobot antara $\rho_0$ dan $\rho_1,$ di mana bobotnya adalah probabilitas yang bersesuaian.

$$p \rho_0 - (1-p) \rho_1 = \sum_{k = 0}^{n-1} \lambda_k \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

Perhatikan bahwa kita memiliki tanda minus bukan tanda plus dalam ekspresi ini: ini adalah selisih berbobot bukan jumlah berbobot.

Kita bisa memaksimalkan probabilitas tebakan yang benar dengan memilih pengukuran proyektif $\{\Pi_0,\Pi_1\}$ sebagai berikut. Pertama mari kita partisi elemen-elemen $\{0,\ldots,n-1\}$ menjadi dua himpunan yang tidak beririsan $S_0$ dan $S_1$ tergantung pada apakah eigenvalue yang bersesuaian dari selisih berbobot non-negatif atau negatif.

$$\begin{gathered} S_0 = \{k\in\{0,\ldots,n-1\} : \lambda_k \geq 0 \}\\[2mm] S_1 = \{k\in\{0,\ldots,n-1\} : \lambda_k < 0 \} \end{gathered}$$

Kita kemudian bisa memilih pengukuran proyektif sebagai berikut.

$$\Pi_0 = \sum_{k \in S_0} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert \quad\text{and}\quad \Pi_1 = \sum_{k \in S_1} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

(Sebenarnya tidak masalah di himpunan $S_0$ atau $S_1$ mana kita memasukkan nilai-nilai $k$ di mana $\lambda_k = 0.$ Di sini kita secara arbitrer memilih untuk memasukkan nilai-nilai ini dalam $S_0.$)

Ini adalah pengukuran optimal dalam situasi yang dihadapi yang meminimalkan probabilitas penentuan keadaan yang dipilih secara tidak benar.

Probabilitas kebenaran

Sekarang kita akan menentukan probabilitas kebenaran untuk pengukuran $\{\Pi_0,\Pi_1\}.$

Untuk memulai kita tidak perlu benar-benar mempermasalahkan pilihan spesifik yang kita buat untuk $\Pi_0$ dan $\Pi_1,$ meskipun mungkin membantu untuk mengingatnya. Untuk pengukuran manapun $\{P_0,P_1\}$ (tidak harus proyektif) kita bisa menulis probabilitas kebenaran sebagai berikut.

$$p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)$$

Menggunakan fakta bahwa $\{P_0,P_1\}$ adalah pengukuran, sehingga $P_1 = \mathbb{I} - P_0,$ kita bisa menulis ulang ekspresi ini sebagai berikut.

$$p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}((\mathbb{I} - P_0) \rho_1)\hspace*{3cm}\\[1mm] \begin{aligned} & = p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) - (1 - p) \operatorname{Tr}(P_0 \rho_1) + (1-p) \operatorname{Tr}(\rho_1)\\[1mm] & = \operatorname{Tr}\bigl( P_0 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) + 1 - p \end{aligned}$$

Di sisi lain, kita bisa membuat substitusi $P_0 = \mathbb{I} - P_1$ sebagai gantinya. Itu tidak akan mengubah nilainya tetapi memberikan ekspresi alternatif.

$$p \operatorname{Tr}((\mathbb{I} - P_1) \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)\hspace*{3cm}\\[1mm] \begin{aligned} & = p \operatorname{Tr}(\rho_0) - p \operatorname{Tr}(P_1 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)\\[1mm] & = p - \operatorname{Tr}\bigl( P_1 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) \end{aligned}$$

Kedua ekspresi memiliki nilai yang sama, sehingga kita bisa merata-ratakannya untuk memberikan ekspresi lain untuk nilai ini. (Merata-ratakan dua ekspresi hanyalah trik untuk menyederhanakan ekspresi yang dihasilkan.)

$$\frac{1}{2} \bigl(\operatorname{Tr}\bigl( P_0 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) + 1-p\bigr) + \frac{1}{2} \bigl(p - \operatorname{Tr}\bigl( P_1 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr)\bigr)\\ = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl( (P_0-P_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1)\bigr) + \frac{1}{2}$$

Sekarang kita bisa melihat mengapa masuk akal untuk memilih proyeksi $\Pi_0$ dan $\Pi_1$ (seperti yang ditentukan di atas) untuk $P_0$ dan $P_1,$ masing-masing — karena itulah cara kita bisa membuat jejak dalam ekspresi akhir sebesar mungkin. Khususnya,

$$(\Pi_0-\Pi_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) = \sum_{k = 0}^{n-1} \vert\lambda_k\vert \cdot \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert.$$

Jadi, ketika kita mengambil jejaknya, kita mendapatkan jumlah dari nilai absolut dari eigenvalue — yang sama dengan apa yang dikenal sebagai norma jejak dari selisih berbobot.

$$\operatorname{Tr}\bigl( (\Pi_0-\Pi_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1)\bigr) = \sum_{k = 0}^{n-1} \vert\lambda_k\vert = \bigl\| p \rho_0 - (1-p)\rho_1 \bigr\|_1$$

Dengan demikian, probabilitas bahwa pengukuran $\{\Pi_0,\Pi_1\}$ mengarah ke diskriminasi yang benar dari $\rho_0$ dan $\rho_1,$ diberikan dengan probabilitas $p$ dan $1-p,$ masing-masing, adalah sebagai berikut.

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \bigl\| p \rho_0 - (1-p)\rho_1 \bigr\|_1$$

Fakta bahwa ini adalah probabilitas optimal untuk diskriminasi yang benar dari $\rho_0$ dan $\rho_1,$ diberikan dengan probabilitas $p$ dan $1-p,$ umumnya disebut sebagai teorema Helstrom–Holevo (atau kadang-kadang hanya teorema Helstrom).

Mendiskriminasikan tiga atau lebih keadaan

Untuk diskriminasi keadaan kuantum ketika ada tiga atau lebih keadaan, tidak ada solusi bentuk tertutup yang diketahui untuk pengukuran optimal, meskipun memungkinkan untuk memformulasikan masalah sebagai program semidefinit — yang memungkinkan aproksimasi numerik efisien dari pengukuran optimal dengan bantuan komputer.

Juga memungkinkan untuk memverifikasi (atau memfalsifikasi) optimalitas dari pengukuran yang diberikan dalam tugas diskriminasi keadaan melalui kondisi yang dikenal sebagai kondisi Holevo-Yuen-Kennedy-Lax. Khususnya, untuk tugas diskriminasi keadaan yang didefinisikan oleh ensemble

$$\{(p_0,\rho_0),\ldots,(p_{m-1},\rho_{m-1})\},$$

pengukuran $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ adalah optimal jika dan hanya jika matriks

$$Q_a = \sum_{b = 0}^{m-1} p_b \rho_b P_b - p_a \rho_a$$

bersifat semidefinit positif untuk setiap $a\in\{0,\ldots,m-1\}.$

Sebagai contoh, pertimbangkan tugas diskriminasi keadaan kuantum di mana salah satu dari empat keadaan tetrahedral $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_3\rangle$ dipilih secara seragam acak. Pengukuran tetrahedral $\{P_0,P_1,P_2,P_3\}$ berhasil dengan probabilitas

$$\frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_0 \vert\phi_0\rangle\langle \phi_0 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_1 \vert\phi_1\rangle\langle \phi_1 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_2 \vert\phi_2\rangle\langle \phi_2 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_3 \vert\phi_3\rangle\langle \phi_3 \vert) = \frac{1}{2}.$$

Ini adalah optimal berdasarkan kondisi Holevo-Yuen-Kennedy-Lax, karena perhitungan menunjukkan bahwa

$$Q_a = \frac{1}{4}(\mathbb{I} - \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert) \geq 0$$

untuk $a = 0,1,2,3.$

Tomografi keadaan kuantum

Akhirnya, kita akan secara singkat membahas masalah tomografi keadaan kuantum. Untuk masalah ini, kita diberikan sejumlah besar $N$ salinan independen dari keadaan kuantum yang tidak diketahui $\rho,$ dan tujuannya adalah merekonstruksi aproksimasi $\tilde{\rho}$ dari $\rho.$ Untuk lebih jelasnya, ini berarti kita ingin menemukan deskripsi klasik dari matriks densitas $\tilde{\rho}$ yang sedekat mungkin dengan $\rho.$

Kita bisa mendeskripsikan pengaturannya dengan cara berikut secara alternatif. Matriks densitas yang tidak diketahui $\rho$ dipilih, dan kita diberikan akses ke $N$ sistem kuantum $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N,$ masing-masing secara independen dipersiapkan dalam keadaan $\rho.$ Dengan demikian, keadaan dari sistem gabungan $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N)$ adalah

$$\rho^{\otimes N} = \rho \otimes \rho \otimes \cdots \otimes \rho \quad \text{($N$ times)}$$

Tujuannya adalah melakukan pengukuran pada sistem $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ dan, berdasarkan hasil pengukuran tersebut, menghitung matriks densitas $\tilde{\rho}$ yang mendekati $\rho$ dengan baik. Ini ternyata merupakan masalah yang menarik dan ada penelitian yang sedang berlangsung tentangnya.

Berbagai jenis strategi untuk mendekati masalah bisa dipertimbangkan. Misalnya, kita bisa membayangkan strategi di mana masing-masing sistem $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ diukur secara terpisah, secara bergantian, menghasilkan urutan hasil pengukuran. Pilihan spesifik yang berbeda untuk pengukuran mana yang dilakukan bisa dibuat, termasuk pilihan adaptif dan non-adaptif. Dengan kata lain, pilihan pengukuran apa yang dilakukan pada sistem tertentu mungkin atau mungkin tidak bergantung pada hasil pengukuran sebelumnya. Berdasarkan urutan hasil pengukuran, tebakan $\tilde{\rho}$ untuk keadaan $\rho$ diturunkan — dan sekali lagi ada metodologi yang berbeda untuk melakukannya.

Pendekatan alternatif adalah melakukan pengukuran bersama tunggal dari seluruh koleksi, di mana kita memikirkan $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N)$ sebagai satu sistem dan memilih pengukuran tunggal yang outputnya adalah tebakan $\tilde{\rho}$ untuk keadaan $\rho.$ Ini bisa menghasilkan estimasi yang lebih baik dari apa yang mungkin untuk pengukuran terpisah dari sistem-sistem individual, meskipun pengukuran bersama pada semua sistem sekaligus kemungkinan jauh lebih sulit untuk diimplementasikan.

Tomografi qubit menggunakan pengukuran Pauli

Kita sekarang akan mempertimbangkan tomografi keadaan kuantum dalam kasus sederhana di mana $\rho$ adalah matriks densitas qubit. Kita mengasumsikan bahwa kita diberikan qubit $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ yang masing-masing secara independen berada dalam keadaan $\rho,$ dan tujuan kita adalah menghitung aproksimasi $\tilde{\rho}$ yang dekat dengan $\rho.$

Strategi kita adalah membagi $N$ qubit $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ menjadi tiga koleksi yang kira-kira berukuran sama, satu untuk setiap dari tiga matriks Pauli $\sigma_x,$ $\sigma_y,$ dan $\sigma_z.$ Setiap qubit kemudian diukur secara independen sebagai berikut.

1. Untuk setiap qubit dalam koleksi yang terkait dengan $\sigma_x$ kita melakukan pengukuran $\sigma_x$. Ini berarti qubit diukur terhadap basis $\{\vert + \rangle, \vert -\rangle\},$ yang merupakan basis ortonormal dari eigenvector dari $\sigma_x,$ dan hasil pengukuran yang bersesuaian adalah eigenvalue yang terkait dengan dua eigenvector: $+1$ untuk keadaan $\vert + \rangle$ dan $-1$ untuk keadaan $\vert -\rangle.$ Dengan merata-ratakan hasil di semua keadaan dalam koleksi yang terkait dengan $\sigma_x,$ kita mendapatkan aproksimasi dari nilai ekspektasi

   $$\langle + \vert \rho \vert + \rangle - \langle - \vert \rho \vert - \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho).$$

2. Untuk setiap qubit dalam koleksi yang terkait dengan $\sigma_y$ kita melakukan pengukuran $\sigma_y$. Pengukuran seperti itu serupa dengan pengukuran $\sigma_x$, kecuali bahwa basis pengukurannya adalah $\{\vert\! +\!i \rangle, \vert\! -\!i \rangle\},$ eigenvector dari $\sigma_y.$ Merata-ratakan hasil di semua keadaan dalam koleksi yang terkait dengan $\sigma_y,$ kita mendapatkan aproksimasi dari nilai ekspektasi

   $$\langle +i \vert \rho \vert \!+\!i \rangle - \langle -i \vert \rho \vert \!-\!i \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho).$$

3. Untuk setiap qubit dalam koleksi yang terkait dengan $\sigma_z$ kita melakukan pengukuran $\sigma_z$. Kali ini basis pengukurannya adalah basis standar $\{\vert 0\rangle, \vert 1 \rangle\},$ eigenvector dari $\sigma_z.$ Merata-ratakan hasil di semua keadaan dalam koleksi yang terkait dengan $\sigma_z,$ kita mendapatkan aproksimasi dari nilai ekspektasi

   $$\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle - \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho).$$

Setelah kita mendapatkan aproksimasi

$$\alpha_x \approx \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho),\; \alpha_y \approx \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho),\; \alpha_z \approx \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho)$$

dengan merata-ratakan hasil pengukuran untuk setiap koleksi, kita bisa mendekati $\rho$ sebagai

$$\tilde{\rho} = \frac{\mathbb{I} + \alpha_x \sigma_x + \alpha_y \sigma_y + \alpha_z \sigma_z}{2} \approx \frac{\mathbb{I} + \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho) \sigma_x + \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho) \sigma_y + \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho) \sigma_z}{2} = \rho.$$

Dalam batas ketika $N$ mendekati tak hingga, aproksimasi ini konvergen dalam probabilitas ke matriks densitas $\rho$ yang sebenarnya berdasarkan hukum bilangan besar, dan batas statistik yang terkenal (seperti ketidaksetaraan Hoeffding) bisa digunakan untuk membatasi probabilitas bahwa aproksimasi $\tilde{\rho}$ menyimpang dari $\rho$ sebesar jumlah yang bervariasi.

Hal penting yang perlu diakui, bagaimanapun, adalah bahwa matriks $\tilde{\rho}$ yang diperoleh dengan cara ini mungkin gagal menjadi matriks densitas. Khususnya, meskipun akan selalu memiliki jejak sama dengan $1,$ mungkin gagal menjadi semidefinit positif. Ada berbagai strategi yang diketahui untuk "membulatkan" aproksimasi $\tilde{\rho}$ seperti itu ke matriks densitas, salah satunya adalah menghitung dekomposisi spektral, menggantikan eigenvalue negatif manapun dengan $0,$ dan kemudian menormalisasi ulang (dengan membagi matriks yang kita peroleh dengan jejaknya).

Tomografi qubit menggunakan pengukuran tetrahedral

Opsi lain untuk melakukan tomografi qubit adalah mengukur setiap qubit $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ menggunakan pengukuran tetrahedral $\{P_0,P_1,P_2,P_3\}$ yang dijelaskan sebelumnya. Artinya,

$$P_0 = \frac{\vert \phi_0 \rangle \langle \phi_0 \vert}{2}, \quad P_1 = \frac{\vert \phi_1 \rangle \langle \phi_1 \vert}{2}, \quad P_2 = \frac{\vert \phi_2 \rangle \langle \phi_2 \vert}{2}, \quad P_3 = \frac{\vert \phi_3 \rangle \langle \phi_3 \vert}{2}$$

untuk

$$\begin{aligned} \vert \phi_0 \rangle & = \vert 0 \rangle\\ \vert \phi_1 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} \vert 1 \rangle\\ \vert \phi_2 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{2\pi i/3} \vert 1 \rangle\\ \vert \phi_3 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{-2\pi i/3} \vert 1 \rangle. \end{aligned}$$

Setiap hasil diperoleh beberapa kali, yang akan kita notasikan sebagai $n_a$ untuk setiap $a\in\{0,1,2,3\},$ sehingga $n_0 + n_1 + n_2 + n_3 = N.$ Rasio angka-angka ini dengan $N$ memberikan estimasi probabilitas yang terkait dengan setiap kemungkinan hasil:

$$\frac{n_a}{N} \approx \operatorname{Tr}(P_a \rho).$$

Akhirnya, kita akan menggunakan rumus yang luar biasa berikut:

$$\rho = \sum_{a=0}^3 \Bigl( 3 \operatorname{Tr}(P_a \rho) - \frac{1}{2}\Bigr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert.$$

Untuk membuktikan rumus ini, kita bisa menggunakan persamaan berikut untuk nilai absolut kuadrat dari hasil kali dalam dari keadaan tetrahedral, yang bisa diperiksa melalui perhitungan langsung.

$$\bigl\vert \langle \phi_a \vert \phi_b \rangle \bigr\vert^2 = \begin{cases} 1 & a=b\\ \frac{1}{3} & a\neq b. \end{cases}$$

Empat matriks

$$\begin{aligned} \vert\phi_0\rangle \langle \phi_0 \vert & = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[2mm] 0 & 0\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_1\rangle \langle \phi_1 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_2\rangle \langle \phi_2 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}e^{-2\pi i/3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3}e^{2\pi i/3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_3\rangle \langle \phi_3 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}e^{2\pi i/3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3}e^{-2\pi i/3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix} \end{aligned}$$

adalah bebas linear, sehingga cukup untuk membuktikan bahwa rumusnya benar ketika $\rho = \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert$ untuk $b = 0,1,2,3.$ Khususnya,

$$3 \operatorname{Tr}(P_a \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert) - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \vert \langle \phi_a \vert \phi_b \rangle \vert^2 - \frac{1}{2} = \begin{cases} 1 & a=b\\ 0 & a\neq b \end{cases}$$

dan oleh karena itu

$$\sum_{a=0}^3 \biggl( 3 \operatorname{Tr}(P_a \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert) - \frac{\operatorname{Tr}(\vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert)}{2}\biggr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert = \vert \phi_b\rangle\langle \phi_b \vert.$$

Kita mendapatkan aproksimasi dari $\rho:$

$$\tilde{\rho} = \sum_{a=0}^3 \Bigl( \frac{3 n_a}{N} - \frac{1}{2}\Bigr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert.$$

Aproksimasi ini akan selalu menjadi matriks Hermitian dengan jejak sama dengan satu, tetapi mungkin gagal menjadi semidefinit positif. Dalam kasus ini, aproksimasi harus "dibulatkan" ke matriks densitas, mirip dengan strategi yang melibatkan pengukuran Pauli.