Sistem ganda dan state tereduksi

Sekarang kita akan beralih ke cara kerja matriks densitas untuk sistem ganda, termasuk contoh berbagai jenis korelasi yang bisa mereka ekspresikan dan bagaimana mereka bisa digunakan untuk mendeskripsikan state dari bagian-bagian terisolasi dari sistem majemuk.

Sistem ganda

Matriks densitas bisa merepresentasikan state dari beberapa sistem dengan cara yang analog dengan vektor state dalam formulasi sederhana informasi kuantum, mengikuti ide dasar yang sama bahwa beberapa sistem bisa dipandang seolah-olah merupakan sistem tunggal yang majemuk. Dalam istilah matematis, baris dan kolom dari matriks densitas yang merepresentasikan state dari beberapa sistem diletakkan berkorespondensi dengan produk Cartesian dari himpunan state klasik dari masing-masing sistem.

Sebagai contoh, ingat kembali representasi vektor state dari empat Bell state.

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[2mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[2mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[2mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

Representasi matriks densitas dari state-state ini adalah sebagai berikut.

$$\vert \phi^+ \rangle \langle \phi^+ \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2}\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ $$\vert \phi^- \rangle \langle \phi^- \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2}\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ $$\vert \psi^+ \rangle \langle \psi^+ \vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$\vert \psi^- \rangle \langle \psi^- \vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Product states

Serupa dengan apa yang kita miliki untuk vektor state, produk tensor dari matriks densitas merepresentasikan kebebasan (independence) antara state dari beberapa sistem. Misalnya, jika $\mathsf{X}$ disiapkan dalam state yang direpresentasikan oleh matriks densitas $\rho$ dan $\mathsf{Y}$ secara independen disiapkan dalam state yang direpresentasikan oleh $\sigma,$ maka matriks densitas yang mendeskripsikan state dari $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ adalah produk tensor $\rho\otimes\sigma.$

Terminologi yang sama digunakan di sini seperti dalam formulasi sederhana informasi kuantum: state-state dalam bentuk ini disebut sebagai product states.

State berkorelasi dan state terjalin

State yang tidak bisa diekspresikan sebagai product states merepresentasikan korelasi antara sistem-sistem. Sebenarnya, ada berbagai jenis korelasi yang bisa direpresentasikan oleh matriks densitas. Berikut beberapa contohnya.

1. State klasik berkorelasi. Misalnya, kita bisa mengekspresikan situasi di mana Alice dan Bob berbagi bit acak seperti ini:

   $$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

2. Ensembel state kuantum. Misalkan kita punya $m$ matriks densitas $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1},$ yang semuanya merepresentasikan state dari suatu sistem $\mathsf{X},$ dan kita secara acak memilih salah satu state tersebut sesuai dengan vektor probabilitas $(p_0,\ldots,p_{m-1}).$ Proses seperti ini direpresentasikan oleh sebuah ensembel state, yang mencakup spesifikasi matriks densitas $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1},$ serta probabilitas $(p_0,\ldots,p_{m-1}).$ Kita bisa mengaitkan ensembel state dengan satu matriks densitas tunggal, yang mendeskripsikan baik pilihan acak $k$ maupun matriks densitas yang sesuai $\rho_k,$ seperti ini:

   $$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \vert k\rangle \langle k \vert \otimes \rho_k.$$

   Untuk jelasnya, ini adalah state dari pasangan $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ di mana $\mathsf{Y}$ merepresentasikan pemilihan klasik dari $k$ — jadi kita mengasumsikan himpunan state klasiknya adalah $\{0,\ldots,m-1\}.$ State-state dalam bentuk ini kadang disebut state klasik-kuantum.

3. State separabel. Kita bisa membayangkan situasi di mana ada korelasi klasik di antara state kuantum dari dua sistem seperti ini:

   $$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \rho_k \otimes \sigma_k.$$

   Artinya, untuk setiap $k$ dari $0$ hingga $m-1,$ dengan probabilitas $p_k$ sistem di sebelah kiri berada dalam state $\rho_k$ dan sistem di sebelah kanan berada dalam state $\sigma_k.$ State-state seperti ini disebut state separabel. Konsep ini juga bisa diperluas ke lebih dari dua sistem.

4. State terjalin (entangled). Tidak semua state dari pasangan sistem bersifat separabel. Dalam formulasi umum informasi kuantum, begitulah entanglement didefinisikan: state yang tidak separabel dikatakan terjalin (entangled).

   Perhatikan bahwa terminologi ini konsisten dengan terminologi yang kita gunakan dalam kursus "Dasar-dasar informasi kuantum". Di sana kita mengatakan bahwa vektor state kuantum yang bukan product states merepresentasikan state terjalin — dan memang, untuk setiap vektor state kuantum $\vert\psi\rangle$ yang bukan product state, kita temukan bahwa state yang direpresentasikan oleh matriks densitas $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert$ tidak separabel. Entanglement jauh lebih rumit dari ini untuk state yang bukan murni (pure).

State tereduksi dan partial trace

Ada hal sederhana namun penting yang bisa kita lakukan dengan matriks densitas dalam konteks sistem ganda, yaitu mendeskripsikan state yang kita peroleh dengan mengabaikan sebagian sistem. Ketika beberapa sistem berada dalam state kuantum dan kita membuang atau memilih untuk mengabaikan satu atau lebih sistem, state dari sistem-sistem yang tersisa disebut state tereduksi dari sistem-sistem tersebut. Deskripsi matriks densitas dari state tereduksi mudah diperoleh melalui suatu pemetaan, yang dikenal sebagai partial trace, dari matriks densitas yang mendeskripsikan state keseluruhan.

Contoh: state tereduksi untuk e-bit

Misalkan kita punya sepasang Qubit $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ yang bersama-sama berada dalam state

$$\vert\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle.$$

Kita bisa membayangkan Alice memegang Qubit $\mathsf{A}$ dan Bob memegang $\mathsf{B},$ yang artinya mereka bersama-sama berbagi sebuah e-bit. Kita ingin memiliki deskripsi matriks densitas dari Qubit Alice $\mathsf{A}$ secara terpisah, seolah-olah Bob memutuskan untuk membawa Qubitnya dan pergi ke bintang-bintang, tak pernah terlihat lagi.

Pertama mari kita pikirkan apa yang akan terjadi jika Bob memutuskan di suatu tempat dalam perjalanannya untuk mengukur Qubitnya dengan pengukuran basis standar. Jika dia melakukannya, dia akan memperoleh hasil $0$ dengan probabilitas

$$\bigl\| \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle 0\vert \bigr) \vert \phi^+ \rangle \bigr\|^2 = \Bigl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \Bigr\|^2 = \frac{1}{2},$$

dalam hal ini state Qubit Alice menjadi $\vert 0\rangle;$ dan dia akan memperoleh hasil $1$ dengan probabilitas

$$\bigl\| \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle 1\vert \bigr) \vert \phi^+ \rangle \bigr\|^2 = \Bigl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle \Bigr\|^2 = \frac{1}{2},$$

dalam hal ini state Qubit Alice menjadi $\vert 1\rangle.$

Jadi, jika kita mengabaikan hasil pengukuran Bob dan berfokus pada Qubit Alice, kita menyimpulkan bahwa dia memperoleh state $\vert 0\rangle$ dengan probabilitas $1/2$ dan state $\vert 1\rangle$ dengan probabilitas $1/2.$ Hal ini membuat kita mendeskripsikan state Qubit Alice secara terpisah dengan matriks densitas

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \mathbb{I}_{\mathsf{A}}.$$

Artinya, Qubit Alice berada dalam state campuran sempurna (completely mixed state). Untuk jelasnya, deskripsi state Qubit Alice secara terpisah yang baru saja kita peroleh tidak menyertakan hasil pengukuran Bob; kita mengabaikan Bob sepenuhnya.

Sekarang, mungkin terasa seolah deskripsi matriks densitas dari Qubit Alice secara terpisah yang baru saja kita peroleh bergantung pada asumsi bahwa Bob telah mengukur Qubitnya, tetapi sebenarnya tidak begitu. Yang kita lakukan adalah menggunakan kemungkinan Bob mengukur Qubitnya untuk berargumen bahwa state campuran sempurna muncul sebagai state Qubit Alice, berdasarkan apa yang sudah kita pelajari. Tentu saja, tidak ada yang mengharuskan Bob mengukur Qubitnya — tetapi tidak ada yang mengatakan dia tidak melakukannya. Dan jika dia berada bertahun-tahun cahaya jauhnya, maka apapun yang dia lakukan atau tidak lakukan tidak mungkin mempengaruhi state Qubit Alice yang dipandang secara terpisah. Artinya, deskripsi yang kita peroleh untuk state Qubit Alice adalah satu-satunya deskripsi yang konsisten dengan ketidakmungkinan komunikasi lebih cepat dari cahaya.

Kita juga bisa mempertimbangkan state dari Qubit Bob $\mathsf{B},$ yang kebetulan juga merupakan state campuran sempurna. Memang, untuk keempat Bell state kita temukan bahwa state tereduksi dari Qubit Alice maupun Qubit Bob adalah state campuran sempurna.

State tereduksi untuk vektor state kuantum umum

Sekarang mari kita generalisasi contoh yang baru saja dibahas ke dua sistem arbitrer $\mathsf{A}$ dan $\mathsf{B},$ tidak harus Qubit dalam state $\vert \phi^+\rangle.$ Kita akan mengasumsikan himpunan state klasik dari $\mathsf{A}$ dan $\mathsf{B}$ adalah $\Sigma$ dan $\Gamma,$ masing-masing. Sebuah matriks densitas $\rho$ yang merepresentasikan state dari sistem gabungan $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ karenanya memiliki indeks baris dan kolom yang berkorespondensi dengan produk Cartesian $\Sigma\times\Gamma.$

Misalkan state dari $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ dideskripsikan oleh vektor state kuantum $\vert\psi\rangle,$ sehingga matriks densitas yang mendeskripsikan state ini adalah $\rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert.$ Kita akan memperoleh deskripsi matriks densitas dari state $\mathsf{A}$ secara terpisah, yang secara konvensional dinotasikan $\rho_{\mathsf{A}}.$ (Superscript juga kadang digunakan daripada subscript.)

Vektor state $\vert\psi\rangle$ bisa diekspresikan dalam bentuk

$$\vert\psi\rangle = \sum_{b\in\Gamma} \vert\phi_b\rangle \otimes \vert b\rangle$$

untuk kumpulan vektor $\{\vert\phi_b\rangle : b\in\Gamma\}$ yang ditentukan secara unik. Khususnya, vektor-vektor ini bisa ditentukan melalui rumus sederhana.

$$\vert\phi_b\rangle = \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr)\vert\psi\rangle$$

Dengan alasan yang serupa dengan contoh e-bit sebelumnya, jika kita mengukur sistem $\mathsf{B}$ dengan pengukuran basis standar, kita akan memperoleh setiap hasil $b\in\Gamma$ dengan probabilitas $\|\vert\phi_b\rangle\|^2,$ dalam hal ini state dari $\mathsf{A}$ menjadi

$$\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}.$$

Sebagai matriks densitas, state ini bisa dituliskan sebagai berikut.

$$\biggl(\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}\biggr) \biggl(\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}\biggr)^{\dagger} = \frac{\vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert}{\|\vert\phi_b\rangle\|^2}$$

Dengan merata-ratakan state-state yang berbeda sesuai probabilitas dari hasil masing-masing, kita sampai pada matriks densitas

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \|\vert\phi_b\rangle\|^2 \frac{\vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert}{\|\vert\phi_b\rangle\|^2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert = \sum_{b\in\Gamma} \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b\rangle\bigr)$$

The partial trace

Rumus

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b\rangle\bigr)$$

membawa kita ke deskripsi keadaan tereduksi $\mathsf{A}$ untuk sembarang matriks densitas $\rho$ dari pasangan $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ bukan hanya keadaan murni.

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr)$$

Rumus ini pasti berlaku, cukup dengan linearitas bersama fakta bahwa setiap matriks densitas dapat ditulis sebagai kombinasi konveks dari keadaan murni.

Operasi yang dilakukan pada $\rho$ untuk mendapatkan $\rho_{\mathsf{A}}$ dalam persamaan ini dikenal sebagai partial trace, dan lebih tepatnya kita katakan bahwa partial trace dilakukan pada $\mathsf{B},$ atau bahwa $\mathsf{B}$ di-trace out. Operasi ini dinotasikan $\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}},$ sehingga kita bisa menulis

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} (\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr).$$

Kita juga bisa mendefinisikan partial trace pada $\mathsf{A},$ sehingga sistem $\mathsf{A}$ yang di-trace out bukan $\mathsf{B},$ seperti ini.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} (\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \bigl(\langle a \vert\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr) \rho \bigl(\vert a \rangle\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr)$$

Ini memberikan kita deskripsi matriks densitas $\rho_{\mathsf{B}}$ dari keadaan $\mathsf{B}$ secara terpisah alih-alih $\mathsf{A}.$

Untuk merangkum, jika $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ adalah sembarang pasangan sistem dan kita punya matriks densitas $\rho$ yang mendeskripsikan keadaan $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ keadaan tereduksi dari sistem $\mathsf{A}$ dan $\mathsf{B}$ adalah sebagai berikut.

$$\begin{aligned} \rho_{\mathsf{A}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr)\\[2mm] \rho_{\mathsf{B}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \bigl( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr) \rho \bigl( \vert a \rangle\otimes \mathbb{I}_{\mathsf{B}} \bigr) \end{aligned}$$

Jika $\rho$ adalah matriks densitas, maka $\rho_{\mathsf{A}}$ dan $\rho_{\mathsf{B}}$ juga pasti akan menjadi matriks densitas.

Konsep-konsep ini dapat digeneralisasi ke jumlah sistem berapa pun sebagai pengganti dua sistem dengan cara yang alami. Secara umum, kita bisa meletakkan nama sistem apa pun yang kita pilih di subscript matriks densitas $\rho$ untuk mendeskripsikan keadaan tereduksi hanya dari sistem-sistem tersebut. Misalnya, jika $\mathsf{A},$ $\mathsf{B},$ dan $\mathsf{C}$ adalah sistem dan $\rho$ adalah matriks densitas yang mendeskripsikan keadaan $(\mathsf{A},\mathsf{B},\mathsf{C}),$ maka kita dapat mendefinisikan

$$\begin{aligned} \rho_{\mathsf{AC}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \\[2mm] \rho_{\mathsf{C}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{AB}}(\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \langle a \vert \otimes \langle b \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \rho \bigl( \vert a \rangle \otimes \vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \end{aligned}$$

dan demikian pula untuk pilihan sistem lainnya.

Alternative description of the partial trace

Cara alternatif untuk mendeskripsikan pemetaan partial trace $\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}$ dan $\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}$ adalah bahwa keduanya merupakan pemetaan linear unik yang memenuhi rumus

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(M \otimes N) & = \operatorname{Tr}(M) N \\[2mm] \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(M \otimes N) & = \operatorname{Tr}(N) M. \end{aligned}$$

Dalam rumus-rumus ini, $N$ dan $M$ adalah matriks persegi berukuran yang sesuai: baris dan kolom dari $M$ berkorespondensi dengan keadaan klasik $\mathsf{A}$ dan baris dan kolom dari $N$ berkorespondensi dengan keadaan klasik $\mathsf{B}.$

Karakterisasi partial trace ini bukan hanya fundamental dari sudut pandang matematika, tetapi juga memungkinkan perhitungan cepat dalam beberapa situasi. Sebagai contoh, pertimbangkan keadaan pasangan qubit $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ ini.

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert \otimes \vert +\rangle\langle +\vert$$

Untuk menghitung keadaan tereduksi $\rho_{\mathsf{A}}$ misalnya, kita dapat menggunakan linearitas bersama fakta bahwa $\vert 0\rangle\langle 0\vert$ dan $\vert +\rangle\langle +\vert$ memiliki trace satuan.

$$\rho_{\mathsf{A}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr)\, \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert +\rangle\langle +\vert\bigr) \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert$$

Keadaan tereduksi $\rho_{\mathsf{B}}$ dapat dihitung dengan cara serupa.

$$\rho_{\mathsf{B}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\rho) = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr)\, \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr) \vert +\rangle\langle +\vert = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert$$

The partial trace for two qubits

Partial trace juga dapat dideskripsikan secara eksplisit dalam bentuk matriks. Di sini kita akan melakukan ini hanya untuk dua qubit, tetapi ini juga bisa digeneralisasi ke sistem yang lebih besar. Anggap kita punya dua qubit $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ sehingga setiap matriks densitas yang mendeskripsikan keadaan dua qubit ini dapat ditulis sebagai

$$\rho = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

untuk suatu pilihan bilangan kompleks $\{\alpha_{jk} : 0\leq j,k\leq 3\}.$

Partial trace atas sistem pertama memiliki rumus berikut.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} \\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} + \alpha_{22} & \alpha_{01} + \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{10} + \alpha_{32} & \alpha_{11} + \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

Satu cara untuk memahai rumus ini dimulai dengan memandang matriks $4\times 4$ sebagai matriks blok $2\times 2,$ di mana setiap blok berukuran $2\times 2.$ Yaitu,

$$\rho = \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix}$$

untuk

$$M_{0,0} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} \\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix}, \quad M_{0,1} = \begin{pmatrix} \alpha_{02} & \alpha_{03} \\[2mm] \alpha_{12} & \alpha_{13} \end{pmatrix}, \quad M_{1,0} = \begin{pmatrix} \alpha_{20} & \alpha_{21} \\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} \end{pmatrix}, \quad M_{1,1} = \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23} \\[2mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix}.$$

Kita kemudian punya

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}\begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix} = M_{0,0} + M_{1,1}.$$

Berikut adalah rumusnya ketika sistem kedua yang di-trace out alih-alih sistem pertama.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01}\\[1mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[1mm] \alpha_{12} & \alpha_{13} \end{pmatrix} \\[4mm] \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{20} & \alpha_{21}\\[1mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[1mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} + \alpha_{11} & \alpha_{02} + \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} + \alpha_{31} & \alpha_{22} + \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

Dalam bentuk matriks blok yang serupa dengan sebelumnya, kita punya rumus ini.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr}(M_{0,0}) & \operatorname{Tr}(M_{0,1}) \\[1mm] \operatorname{Tr}(M_{1,0}) & \operatorname{Tr}(M_{1,1}) \end{pmatrix}$$

Deskripsi matriks blok dari fungsi-fungsi ini dapat diperluas ke sistem yang lebih besar dari qubit dengan cara yang alami dan langsung.

Untuk mengakhiri pelajaran ini, mari kita terapkan rumus-rumus ini pada keadaan yang sama yang kita pertimbangkan di atas.

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0\rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle \langle 1 \vert \otimes \vert +\rangle \langle + \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$

Keadaan tereduksi dari sistem pertama $\mathsf{A}$ adalah

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \\[4mm] \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

dan keadaan tereduksi dari sistem kedua $\mathsf{B}$ adalah

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$