Bola Bloch

Ada cara geometris yang berguna untuk merepresentasikan keadaan qubit yang dikenal sebagai bola Bloch. Ini sangat praktis, tetapi sayangnya hanya berfungsi untuk qubit — representasi analognya tidak lagi bersesuaian dengan objek berbentuk bola setelah kita memiliki tiga atau lebih keadaan klasik dari sistem kita.

Keadaan qubit sebagai titik pada bola

Mari kita mulai dengan memikirkan vektor keadaan kuantum dari qubit: $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle.$ Kita bisa membatasi perhatian pada vektor di mana $\alpha$ adalah bilangan real non-negatif karena setiap vektor keadaan qubit setara sampai fase global dengan satu di mana $\alpha \geq 0.$ Ini memungkinkan kita menulis

$$\vert\psi\rangle = \cos\bigl(\theta/2\bigr) \vert 0\rangle + e^{i\phi} \sin\bigl(\theta/2\bigr) \vert 1\rangle$$

untuk dua bilangan real $\theta \in [0,\pi]$ dan $\phi\in[0,2\pi).$ Di sini, kita mengizinkan $\theta$ berkisar dari $0$ ke $\pi$ dan membaginya dengan $2$ dalam argumen sinus dan kosinus karena ini adalah cara konvensional untuk memarameterisasi vektor-vektor seperti ini, dan ini akan menyederhanakan segalanya sedikit kemudian.

Sekarang, tidak sepenuhnya benar bahwa bilangan $\theta$ dan $\phi$ ditentukan secara unik oleh vektor keadaan kuantum $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle,$ tetapi hampir demikian. Khususnya, jika $\beta = 0,$ maka $\theta = 0$ dan tidak ada bedanya nilai $\phi$ yang diambil, sehingga bisa dipilih secara arbitrer. Demikian pula, jika $\alpha = 0,$ maka $\theta = \pi,$ dan sekali lagi $\phi$ tidak relevan (karena keadaan kita setara dengan $e^{i\phi}\vert 1\rangle$ untuk $\phi$ manapun sampai fase global). Namun, jika $\alpha$ maupun $\beta$ tidak nol, maka ada pilihan unik untuk pasangan $(\theta,\phi)$ di mana $\vert\psi\rangle$ setara dengan $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$ sampai fase global.

Selanjutnya, mari kita pertimbangkan representasi matriks densitas dari keadaan ini.

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \begin{pmatrix} \cos^2(\theta/2) & e^{-i\phi}\cos(\theta/2)\sin(\theta/2)\\[2mm] e^{i\phi}\cos(\theta/2)\sin(\theta/2) & \sin^2(\theta/2) \end{pmatrix}$$

Kita bisa menggunakan beberapa identitas trigonometri,

$$\begin{gathered} \cos^2(\theta/2) = \frac{1 + \cos(\theta)}{2},\\[2mm] \sin^2(\theta/2) = \frac{1 - \cos(\theta)}{2},\\[2mm] \cos(\theta/2) \sin(\theta/2) = \frac{\sin(\theta)}{2}, \end{gathered}$$

serta rumus $e^{i\phi} = \cos(\phi) + i\sin(\phi),$ untuk menyederhanakan matriks densitas sebagai berikut.

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 + \cos(\theta) & (\cos(\phi) - i \sin(\phi)) \sin(\theta)\\[1mm] (\cos(\phi) + i \sin(\phi)) \sin(\theta) & 1 - \cos(\theta) \end{pmatrix}$$

Ini memudahkan untuk mengekspresikan matriks densitas ini sebagai kombinasi linear dari matriks Pauli:

$$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\[1mm] i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Secara khusus, kita menyimpulkan bahwa

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \frac{\mathbb{I} + \sin(\theta) \cos(\phi)\sigma_x + \sin(\theta)\sin(\phi) \sigma_y + \cos(\theta) \sigma_z}{2}.$$

Koefisien dari $\sigma_x,$ $\sigma_y,$ dan $\sigma_z$ dalam pembilang ekspresi ini semuanya adalah bilangan real, sehingga kita bisa mengumpulkan mereka untuk membentuk vektor dalam ruang Euclidean tiga-dimensi biasa.

$$\bigl(\sin(\theta) \cos(\phi), \sin(\theta)\sin(\phi), \cos(\theta)\bigr)$$

Faktanya, ini adalah vektor satuan. Menggunakan koordinat bola bisa ditulis sebagai $(1,\theta,\phi).$ Koordinat pertama, $1,$ mewakili radius atau jarak radial (yang selalu $1$ dalam kasus ini), $\theta$ mewakili sudut polar, dan $\phi$ mewakili sudut azimut.

Dengan kata lain, memikirkan sebuah bola sebagai planet Bumi, sudut polar $\theta$ adalah seberapa jauh kita berputar ke selatan dari kutub utara untuk mencapai titik yang dijelaskan, dari $0$ hingga $\pi = 180^{\circ},$ sementara sudut azimut $\phi$ adalah seberapa jauh kita berputar ke timur dari meridian utama, dari $0$ hingga $2\pi = 360^{\circ}.$ Ini mengasumsikan bahwa kita mendefinisikan meridian utama sebagai kurva pada permukaan bola dari satu kutub ke kutub lain yang melewati sumbu $x$ positif.

Setiap titik pada bola bisa dideskripsikan dengan cara ini — yang berarti bahwa titik-titik yang kita peroleh saat kita merentang semua keadaan murni yang mungkin dari sebuah qubit bersesuaian tepat dengan bola dalam $3$ dimensi real. (Bola ini biasanya disebut bola satuan $2$ karena permukaan bola ini berdimensi dua.)

Ketika kita mengasosiasikan titik-titik pada bola satuan $2$ dengan keadaan murni qubit, kita mendapatkan representasi bola Bloch dari keadaan-keadaan ini.

Enam contoh penting

1. Basis standar $\{\vert 0\rangle,\vert 1\rangle\}.$ Mari kita mulai dengan keadaan $\vert 0\rangle.$ Sebagai matriks densitas bisa ditulis seperti ini.

   $$\vert 0 \rangle \langle 0 \vert = \frac{\mathbb{I} + \sigma_z}{2}$$

   Dengan mengumpulkan koefisien dari matriks Pauli dalam pembilang, kita melihat bahwa titik yang bersesuaian pada bola satuan $2$ menggunakan koordinat Cartesian adalah $(0,0,1).$ Dalam koordinat bola titik ini adalah $(1,0,\phi),$ di mana $\phi$ bisa berupa sudut manapun. Ini konsisten dengan ekspresi

   $$\vert 0\rangle = \cos(0) \vert 0\rangle + e^{i \phi} \sin(0) \vert 1\rangle,$$

   yang juga berlaku untuk $\phi$ manapun. Secara intuitif, sudut polar $\theta$ adalah nol, sehingga kita berada di kutub utara bola Bloch, di mana sudut azimut tidak relevan.

   Dengan cara yang sama, matriks densitas untuk keadaan $\vert 1\rangle$ dapat ditulis seperti ini.

   $$\vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \frac{\mathbb{I} - \sigma_z}{2}$$

   Kali ini koordinat Cartesian adalah $(0,0,-1).$ Dalam koordinat bola titik ini adalah $(1,\pi,\phi)$ di mana $\phi$ bisa berupa sudut manapun. Dalam kasus ini sudut polar berada di $\pi,$ sehingga kita berada di kutub selatan di mana sudut azimut kembali tidak relevan.

2. Basis $\{\vert + \rangle, \vert - \rangle\}$. Kita memiliki ekspresi-ekspresi ini untuk matriks densitas yang bersesuaian dengan keadaan-keadaan ini.

   $$\begin{aligned} \vert {+} \rangle\langle {+} \vert & = \frac{\mathbb{I} + \sigma_x}{2}\\[2mm] \vert {-} \rangle\langle {-} \vert & = \frac{\mathbb{I} - \sigma_x}{2} \end{aligned}$$

   Titik-titik yang bersesuaian pada bola satuan $2$ memiliki koordinat Cartesian $(1,0,0)$ dan $(-1,0,0),$ dan koordinat bola $(1,\pi/2,0)$ dan $(1,\pi/2,\pi),$ masing-masing.

   Dengan kata lain, $\vert +\rangle$ bersesuaian dengan titik di mana sumbu $x$ positif berpotongan dengan bola satuan $2$ dan $\vert -\rangle$ bersesuaian dengan titik di mana sumbu $x$ negatif berpotongan dengannya. Lebih intuitif, $\vert +\rangle$ berada di khatulistiwa bola Bloch tempat ia bertemu dengan meridian utama, dan $\vert - \rangle$ berada di khatulistiwa di sisi bola yang berlawanan.

3. Basis $\{\vert {+i} \rangle, \vert {-i} \rangle\}.$ Seperti yang kita lihat sebelumnya dalam pelajaran, dua keadaan ini didefinisikan seperti ini:

   $$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle\\[2mm] \vert {-i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle. \end{aligned}$$

   Kali ini kita memiliki ekspresi-ekspresi ini.

   $$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert & = \frac{\mathbb{I} + \sigma_y}{2}\\[2mm] \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert & = \frac{\mathbb{I} - \sigma_y}{2} \end{aligned}$$

   Titik-titik yang bersesuaian pada bola satuan $2$ memiliki koordinat Cartesian $(0,1,0)$ dan $(0,-1,0),$ dan koordinat bola $(1,\pi/2,\pi/2)$ dan $(1,\pi/2,3\pi/2),$ masing-masing.

   Dengan kata lain, $\vert {+i} \rangle$ bersesuaian dengan titik di mana sumbu $y$ positif berpotongan dengan bola satuan $2$ dan $\vert {-i} \rangle$ bersesuaian dengan titik di mana sumbu $y$ negatif berpotongan dengannya.

Berikut adalah kelas lain dari vektor keadaan kuantum yang telah muncul dari waktu ke waktu sepanjang seri ini, termasuk sebelumnya dalam pelajaran ini.

$$\vert \psi_{\alpha} \rangle = \cos(\alpha) \vert 0\rangle + \sin(\alpha) \vert 1\rangle \qquad \text{(for $\alpha \in [0,\pi)$)}$$

Representasi matriks densitas dari masing-masing keadaan ini adalah sebagai berikut.

$$\vert \psi_{\alpha} \rangle \langle \psi_{\alpha} \vert = \begin{pmatrix} \cos^2(\alpha) & \cos(\alpha)\sin(\alpha)\\[2mm] \cos(\alpha)\sin(\alpha) & \sin^2(\alpha) \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} + \sin(2\alpha) \sigma_x + \cos(2\alpha) \sigma_z}{2}$$

Gambar berikut mengilustrasikan titik-titik yang bersesuaian pada bola Bloch untuk beberapa pilihan $\alpha.$

Kombinasi konveks dari titik-titik

Mirip dengan apa yang sudah kita bahas untuk matriks densitas, kita bisa mengambil kombinasi konveks dari titik-titik pada bola Bloch untuk mendapatkan representasi dari matriks densitas qubit. Secara umum, ini menghasilkan titik-titik di dalam bola Bloch, yang mewakili matriks densitas dari keadaan yang tidak murni. Kadang-kadang kita menyebut bola Bloch ketika kita ingin eksplisit tentang penyertaan titik-titik di dalam bola Bloch sebagai representasi dari matriks densitas qubit.

Misalnya, kita sudah melihat bahwa matriks densitas $\frac{1}{2}\mathbb{I},$ yang mewakili keadaan campuran sempurna dari sebuah qubit, bisa ditulis dalam dua cara alternatif ini:

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert \quad\text{and}\quad \frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert + \frac{1}{2} \vert -\rangle\langle -\vert.$$

Kita juga memiliki

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert {+i}\rangle\langle {+i} \vert + \frac{1}{2} \vert {-i} \rangle\langle {-i}\vert,$$

dan lebih umumnya kita bisa menggunakan dua vektor keadaan qubit ortogonal manapun (yang akan selalu bersesuaian dengan dua titik antipodal pada bola Bloch). Jika kita merata-rata titik-titik yang bersesuaian pada bola Bloch dengan cara yang sama, kita mendapatkan titik yang sama, yang dalam kasus ini berada di pusat bola. Ini konsisten dengan observasi bahwa

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{\mathbb{I} + 0 \cdot \sigma_x + 0 \cdot \sigma_y + 0 \cdot \sigma_z}{2},$$

memberi kita koordinat Cartesian $(0,0,0).$

Contoh berbeda tentang kombinasi konveks dari titik-titik bola Bloch adalah yang dibahas dalam subbagian sebelumnya.

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle + \vert = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \cos^2(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8} \rangle \langle \psi_{\pi/8}\vert + \sin^2(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8} \rangle \langle \psi_{5\pi/8}\vert$$

Gambar berikut mengilustrasikan dua cara berbeda untuk mendapatkan matriks densitas ini sebagai kombinasi konveks dari keadaan murni.