Dasar-dasar matriks densitas

Kita akan mulai dengan mendeskripsikan apa itu matriks densitas dalam istilah matematis, kemudian kita akan melihat beberapa contoh. Setelah itu, kita akan membahas beberapa aspek dasar tentang cara kerja matriks densitas dan bagaimana hubungannya dengan vektor keadaan kuantum dalam formulasi informasi kuantum yang disederhanakan.

Definisi

Misalkan kita memiliki sistem kuantum bernama $\mathsf{X}$, dan misalkan $\Sigma$ adalah himpunan keadaan klasik (yang hingga dan tidak kosong) dari sistem ini. Di sini kita mengikuti konvensi penamaan yang digunakan dalam kursus "Dasar-dasar informasi kuantum", yang akan kita lanjutkan saat ada kesempatan.

Dalam formulasi umum informasi kuantum, keadaan kuantum dari sistem $\mathsf{X}$ digambarkan oleh matriks densitas $\rho$ yang entrinya adalah bilangan kompleks dan yang indeksnya (untuk baris dan kolomnya) telah ditempatkan sesuai dengan himpunan keadaan klasik $\Sigma$. Huruf Yunani kecil $\rho$ adalah pilihan pertama yang konvensional untuk nama matriks densitas, meskipun $\sigma$ dan $\xi$ juga merupakan pilihan yang umum.

Berikut adalah beberapa contoh matriks densitas yang mendeskripsikan keadaan qubit:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{i}{8}\\[2mm] -\frac{i}{8} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}, \quad\text{and}\quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

$\rho$ disebut matriks densitas jika kedua kondisi berikut (yang akan segera dijelaskan) terpenuhi:

1. Jejak satuan: $\operatorname{Tr}(\rho) = 1.$

2. Semidefinit positif: $\rho \geq 0.$

Jejak matriks

Kondisi pertama pada matriks densitas mengacu pada jejak dari sebuah matriks. Ini adalah fungsi yang didefinisikan, untuk semua matriks persegi, sebagai jumlah entri diagonal:

$$\operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1} & \cdots & \alpha_{0,n-1}\\[1.5mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} & \cdots & \alpha_{1,n-1}\\[1.5mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1.5mm] \alpha_{n-1,0} & \alpha_{n-1,1} & \cdots & \alpha_{n-1,n-1} \end{pmatrix} = \alpha_{0,0} + \alpha_{1,1} + \cdots + \alpha_{n-1,n-1}.$$

Jejak adalah fungsi linear: untuk dua matriks persegi $A$ dan $B$ dengan ukuran yang sama, dan dua bilangan kompleks $\alpha$ dan $\beta$ manapun, persamaan berikut selalu benar.

$$\operatorname{Tr}(\alpha A + \beta B) = \alpha \operatorname{Tr}(A) + \beta\operatorname{Tr}(B)$$

Jejak adalah fungsi yang sangat penting dan ada banyak hal lagi yang bisa dikatakan tentangnya, tetapi kita akan menunggu sampai perlu untuk mengatakannya lebih lanjut.

Matriks semidefinit positif

Kondisi kedua mengacu pada properti matriks yang bersifat semidefinit positif, yang merupakan konsep fundamental dalam teori informasi kuantum dan dalam banyak subjek lainnya. Matriks $P$ bersifat semidefinit positif jika ada matriks $M$ sedemikian sehingga

$$P = M^{\dagger} M.$$

Di sini kita bisa menuntut bahwa $M$ adalah matriks persegi dengan ukuran yang sama dengan $P$ atau mengizinkannya tidak persegi — kita mendapatkan kelas matriks yang sama dengan cara manapun.

Ada beberapa cara alternatif (tetapi setara) untuk mendefinisikan kondisi ini, termasuk:

• Matriks $P$ bersifat semidefinit positif jika dan hanya jika $P$ adalah Hermitian (yaitu, sama dengan transpos konjugatnya sendiri) dan semua eigenvaluenya adalah bilangan real non-negatif. Memeriksa apakah matriks bersifat Hermitian dan semua eigenvaluenya non-negatif adalah cara komputasi sederhana untuk memverifikasi bahwa matriks tersebut semidefinit positif.

• Matriks $P$ bersifat semidefinit positif jika dan hanya jika $\langle \psi \vert P \vert \psi \rangle \geq 0$ untuk setiap vektor kompleks $\vert\psi\rangle$ yang memiliki indeks yang sama dengan baris dan kolom $P$.

Cara intuitif untuk memikirkan matriks semidefinit positif adalah bahwa mereka seperti analogi matriks dari bilangan real non-negatif. Artinya, kedudukan matriks semidefinit positif di antara matriks persegi kompleks sama seperti kedudukan bilangan real non-negatif di antara bilangan kompleks. Misalnya, bilangan kompleks $\alpha$ adalah bilangan real non-negatif jika dan hanya jika

$$\alpha = \overline{\beta} \beta$$

untuk suatu bilangan kompleks $\beta$, yang sesuai dengan definisi semidefinit positif ketika kita menggantikan matriks dengan skalar. Meskipun matriks adalah objek yang lebih rumit dari skalar secara umum, ini tetap merupakan cara yang berguna untuk memikirkan matriks semidefinit positif.

Ini juga menjelaskan notasi umum $P\geq 0$, yang menunjukkan bahwa $P$ bersifat semidefinit positif. Perhatikan khususnya bahwa $P\geq 0$ tidak berarti setiap entri $P$ non-negatif dalam konteks ini; ada matriks semidefinit positif yang memiliki entri negatif, serta matriks yang semua entrinya positif tetapi tidak bersifat semidefinit positif.

Interpretasi matriks densitas

Pada titik ini, definisi matriks densitas mungkin tampak agak arbitrer dan abstrak, karena kita belum mengaitkan makna apapun dengan matriks ini atau entrinya. Cara kerja dan interpretasi matriks densitas akan diperjelas seiring pelajaran berlanjut, tetapi untuk saat ini mungkin membantu untuk memikirkan entri matriks densitas dengan cara berikut (yang agak informal).

• Entri diagonal matriks densitas memberi kita probabilitas untuk setiap keadaan klasik muncul jika kita melakukan pengukuran basis standar — jadi kita bisa memikirkan entri-entri ini sebagai mendeskripsikan "bobot" atau "kemungkinan" yang terkait dengan setiap keadaan klasik.

• Entri luar-diagonal matriks densitas mendeskripsikan sejauh mana dua keadaan klasik yang bersesuaian dengan entri tersebut (yang satu bersesuaian dengan baris dan yang satu bersesuaian dengan kolom) berada dalam superposisi kuantum, serta fase relatif di antara keduanya.

Tentu saja tidak jelas a priori bahwa keadaan kuantum harus diwakili oleh matriks densitas. Memang, ada pengertian di mana pilihan untuk mewakili keadaan kuantum oleh matriks densitas secara alami mengarah ke seluruh deskripsi matematis informasi kuantum. Segala sesuatu yang lain tentang informasi kuantum sebenarnya mengikuti secara logis dari pilihan tunggal ini!

Hubungan dengan vektor keadaan kuantum

Ingat bahwa vektor keadaan kuantum $\vert\psi\rangle$ yang mendeskripsikan keadaan kuantum $\mathsf{X}$ adalah vektor kolom dengan norma Euclidean sama dengan $1$ yang entrinya telah ditempatkan sesuai dengan himpunan keadaan klasik $\Sigma$. Representasi matriks densitas $\rho$ dari keadaan yang sama didefinisikan sebagai berikut.

$$\rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert$$

Untuk lebih jelasnya, kita mengalikan vektor kolom dengan vektor baris, sehingga hasilnya adalah matriks persegi yang baris dan kolomnya bersesuaian dengan $\Sigma$. Matriks dalam bentuk ini, selain menjadi matriks densitas, selalu merupakan proyeksi dan memiliki rank sama dengan $1$.

Sebagai contoh, mari kita definisikan dua vektor keadaan qubit.

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \\[5mm] \vert {-i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Matriks densitas yang bersesuaian dengan dua vektor ini adalah sebagai berikut.

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle\langle{+i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\\[5mm] \vert {-i} \rangle\langle{-i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Berikut adalah tabel yang mencantumkan keadaan-keadaan ini bersama beberapa contoh dasar lainnya: $\vert 0\rangle,$ $\vert 1\rangle,$ $\vert {+}\rangle,$ dan $\vert {-}\rangle.$ Kita akan melihat enam keadaan ini lagi nanti dalam pelajaran.

Vektor keadaan	Matriks densitas
$\vert 0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\[1mm] 0 \end{pmatrix}$	$\vert 0\rangle\langle 0\vert = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\vert 1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\[1mm] 1 \end{pmatrix}$	$\vert 1\rangle\langle 1\vert = \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\vert {+}\rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+}\rangle\langle {+}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-}\rangle\langle {-}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {+i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

Sebagai satu contoh lagi, berikut adalah keadaan dari pelajaran Sistem tunggal dalam kursus "Dasar-dasar informasi kuantum", termasuk representasi vektor keadaan dan matriks densitasnya.

$$\vert v\rangle = \frac{1 + 2 i}{3}\,\vert 0\rangle - \frac{2}{3}\,\vert 1\rangle \qquad \vert v\rangle\langle v\vert = \begin{pmatrix} \frac{5}{9} & \frac{-2 - 4 i}{9}\\[2mm] \frac{-2 + 4 i}{9} & \frac{4}{9} \end{pmatrix}$$

Matriks densitas yang berbentuk $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$ untuk vektor keadaan kuantum $\vert \psi \rangle$ dikenal sebagai keadaan murni. Tidak setiap matriks densitas dapat ditulis dalam bentuk ini; beberapa keadaan tidak murni.

Sebagai matriks densitas, keadaan murni selalu memiliki satu eigenvalue sama dengan $1$ dan semua eigenvalue lainnya sama dengan $0$. Ini konsisten dengan interpretasi bahwa eigenvalue dari matriks densitas mendeskripsikan keacakan atau ketidakpastian yang melekat pada keadaan tersebut. Pada dasarnya, tidak ada ketidakpastian untuk keadaan murni $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$ — keadaannya pasti $\vert \psi \rangle$.

Secara umum, untuk vektor keadaan kuantum

$$\vert\psi\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_0\\ \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_{n-1} \end{pmatrix}$$

untuk sistem dengan $n$ keadaan klasik, representasi matriks densitas dari keadaan yang sama adalah sebagai berikut.

$$\begin{aligned} \vert\psi\rangle\langle\psi\vert & = \begin{pmatrix} \alpha_0 \overline{\alpha_0} & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \alpha_1 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_{n-1}} \end{pmatrix}\\[10mm] & = \begin{pmatrix} \vert\alpha_0\vert^2 & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \vert\alpha_1\vert^2 & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \vert\alpha_{n-1}\vert^2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Jadi, untuk kasus khusus keadaan murni, kita bisa memverifikasi bahwa entri diagonal matriks densitas mendeskripsikan probabilitas bahwa pengukuran basis standar akan mengeluarkan setiap keadaan klasik yang mungkin.

Catatan akhir tentang keadaan murni adalah bahwa matriks densitas menghilangkan degenerasi terkait fase global yang ditemukan untuk vektor keadaan kuantum. Misalkan kita memiliki dua vektor keadaan kuantum yang berbeda dalam fase global: $\vert \psi \rangle$ dan $\vert \phi \rangle = e^{i \theta} \vert \psi \rangle,$ untuk suatu bilangan real $\theta.$ Karena mereka berbeda dalam fase global, vektor-vektor ini mewakili keadaan kuantum yang persis sama, meskipun vektornya mungkin berbeda. Matriks densitas yang kita peroleh dari dua vektor keadaan ini, di sisi lain, adalah identik.

$$\vert \phi \rangle \langle \phi \vert = \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr) \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = e^{i(\theta - \theta)} \vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$$

Secara umum, matriks densitas memberikan representasi unik dari keadaan kuantum: dua keadaan kuantum adalah identik, menghasilkan statistik hasil yang persis sama untuk setiap pengukuran yang mungkin dilakukan pada keduanya, jika dan hanya jika representasi matriks densitasnya sama. Dengan menggunakan bahasa matematis, kita bisa mengekspresikan ini dengan mengatakan bahwa matriks densitas menawarkan representasi yang setia dari keadaan kuantum.