Purifikasi

Definisi purifikasi

Mari kita mulai dengan definisi matematika yang tepat untuk purifikasi.

Definisi

Misalkan $\mathsf{X}$ adalah sistem dalam keadaan yang direpresentasikan oleh matriks densitas $\rho,$ dan $\vert\psi\rangle$ adalah vektor keadaan kuantum dari pasangan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ yang menghasilkan $\rho$ ketika $\mathsf{Y}$ di-trace out:

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl( \vert \psi\rangle\langle\psi\vert\bigr).$$

Vektor keadaan $\vert\psi\rangle$ kemudian disebut sebagai purifikasi dari $\rho.$

Keadaan murni $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert,$ yang dinyatakan sebagai matriks densitas alih-alih vektor keadaan kuantum, juga umum disebut sebagai purifikasi dari $\rho$ ketika persamaan dalam definisi tersebut benar, tapi kita umumnya akan menggunakan istilah ini untuk merujuk pada vektor keadaan kuantum.

Istilah purifikasi juga digunakan secara lebih umum ketika urutan sistem dibalik, ketika nama sistem dan keadaannya berbeda (tentu saja), dan ketika ada lebih dari dua sistem. Misalnya, jika $\vert \psi \rangle$ adalah vektor keadaan kuantum yang merepresentasikan keadaan murni dari sistem gabungan $(\mathsf{A},\mathsf{B},\mathsf{C}),$ dan persamaan

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr)$$

benar untuk matriks densitas $\rho$ yang merepresentasikan keadaan sistem $(\mathsf{A},\mathsf{C}),$ maka $\vert\psi\rangle$ tetap disebut sebagai purifikasi dari $\rho.$

Namun untuk keperluan pelajaran ini, kita akan fokus pada bentuk spesifik yang dijelaskan dalam definisi. Sifat dan fakta mengenai purifikasi, sesuai definisi ini, biasanya bisa digeneralisasi ke lebih dari dua sistem dengan menyusun ulang dan mempartisi sistem menjadi dua sistem gabungan, satu berperan sebagai $\mathsf{X}$ dan yang lain berperan sebagai $\mathsf{Y}.$

Eksistensi purifikasi

Misalkan $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ adalah dua sistem apa pun dan $\rho$ adalah keadaan tertentu dari $\mathsf{X}.$ Kita akan membuktikan bahwa ada vektor keadaan kuantum $\vert\psi\rangle$ dari $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ yang memurnikan $\rho$ — cara lain untuk mengatakan bahwa $\vert\psi\rangle$ adalah purifikasi dari $\rho$ — asalkan sistem $\mathsf{Y}$ cukup besar. Khususnya, jika $\mathsf{Y}$ memiliki setidaknya sebanyak keadaan klasik seperti $\mathsf{X},$ maka purifikasi dalam bentuk ini pasti ada untuk setiap keadaan $\rho.$ Lebih sedikit keadaan klasik dari $\mathsf{Y}$ diperlukan untuk beberapa keadaan $\rho;$ secara umum, $\operatorname{rank}(\rho)$ keadaan klasik dari $\mathsf{Y}$ diperlukan dan cukup untuk eksistensi vektor keadaan kuantum dari $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ yang memurnikan $\rho.$

Pertama-tama pertimbangkan ekspresi $\rho$ apa pun sebagai kombinasi konveks dari $n$ keadaan murni, untuk bilangan bulat positif $n$ apa pun.

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert$$

Dalam ekspresi ini, $(p_0,\ldots,p_{n-1})$ adalah vektor probabilitas dan $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$ adalah vektor keadaan kuantum dari $\mathsf{X}.$

Salah satu cara untuk mendapatkan ekspresi seperti itu adalah melalui teorema spektral, di mana $n$ adalah jumlah keadaan klasik dari $\mathsf{X},$ $p_0,\ldots,p_{n-1}$ adalah nilai eigen dari $\rho,$ dan $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$ adalah vektor eigen ortonormal yang sesuai dengan nilai eigen tersebut.

Sebenarnya tidak perlu menyertakan suku-suku yang sesuai dengan nilai eigen nol dari $\rho$ dalam penjumlahan, yang memungkinkan kita untuk secara alternatif memilih $n = \operatorname{rank}(\rho)$ dan $p_0,\ldots,p_{n-1}$ sebagai nilai eigen tidak nol dari $\rho.$ Ini adalah nilai minimum dari $n$ untuk ekspresi $\rho$ dalam bentuk di atas yang ada.

Untuk lebih jelasnya, tidak perlu ekspresi $\rho$ yang dipilih, sebagai kombinasi konveks dari keadaan murni, berasal dari teorema spektral — ini hanya salah satu cara untuk mendapatkan ekspresi seperti itu. Khususnya, $n$ bisa berupa bilangan bulat positif apa pun, vektor satuan $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_{n-1}\rangle$ tidak harus ortogonal, dan probabilitas $p_0,\ldots,p_{n-1}$ tidak harus merupakan nilai eigen dari $\rho.$

Kita sekarang bisa mengidentifikasi purifikasi dari $\rho$ sebagai berikut.

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \, \vert\phi_a\rangle \otimes \vert a \rangle$$

Di sini kita mengasumsikan bahwa keadaan klasik dari $\mathsf{Y}$ mencakup $0,\ldots,n-1.$ Jika tidak, pilihan sembarang untuk $n$ keadaan klasik berbeda dari $\mathsf{Y}$ bisa digunakan sebagai pengganti $0,\ldots,n-1.$ Memverifikasi bahwa ini memang merupakan purifikasi dari $\rho$ adalah masalah sederhana dalam menghitung partial trace, yang bisa dilakukan dengan dua cara ekuivalen berikut.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sum_{a = 0}^{n-1} (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes \langle a\vert) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes \vert a\rangle) = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert = \rho$$ $$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{p_b} \, \vert\phi_a\rangle\langle \phi_b\vert \, \operatorname{Tr}(\vert a \rangle \langle b \vert) = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \, \vert\phi_a\rangle\langle \phi_a\vert = \rho$$

Lebih umum, untuk himpunan vektor ortonormal $\{\vert\gamma_0\rangle,\ldots,\vert\gamma_{n-1}\rangle\}$ apa pun, vektor keadaan kuantum

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \, \vert\phi_a\rangle \otimes \vert \gamma_a \rangle$$

adalah purifikasi dari $\rho.$

Contoh

Misalkan $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ keduanya adalah Qubit dan

$$\rho = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}$$

adalah matriks densitas yang merepresentasikan keadaan dari $\mathsf{X}.$

Kita bisa menggunakan teorema spektral untuk mengekspresikan $\rho$ sebagai

$$\rho = \cos^2(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8}\rangle\langle\psi_{\pi/8}\vert + \sin^2(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8}\rangle\langle\psi_{5\pi/8}\vert,$$

di mana $\vert \psi_{\theta} \rangle = \cos(\theta) \vert 0\rangle + \sin(\theta)\vert 1\rangle.$ Vektor keadaan kuantum

$$\cos(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8}\rangle \otimes \vert 0\rangle + \sin(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8}\rangle \otimes \vert 1\rangle$$

yang menggambarkan keadaan murni dari pasangan $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ adalah purifikasi dari $\rho.$

Sebagai alternatif, kita bisa menulis

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert.$$

Ini adalah kombinasi konveks dari keadaan murni tapi bukan dekomposisi spektral karena $\vert 0\rangle$ dan $\vert +\rangle$ tidak ortogonal dan $1/2$ bukan nilai eigen dari $\rho.$ Meskipun demikian, vektor keadaan kuantum

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \otimes \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert + \rangle \otimes \vert 1\rangle$$

adalah purifikasi dari $\rho.$

Dekomposisi Schmidt

Selanjutnya, kita akan membahas dekomposisi Schmidt, yaitu ekspresi vektor keadaan kuantum dari pasangan sistem yang mengambil bentuk tertentu. Dekomposisi Schmidt berkaitan erat dengan purifikasi, dan sangat berguna dengan sendirinya. Memang, ketika berpikir tentang vektor keadaan kuantum $\vert\psi\rangle$ yang diberikan dari pasangan sistem, langkah pertama sering kali adalah mengidentifikasi atau mempertimbangkan dekomposisi Schmidt dari keadaan ini.

Definisi

Misalkan $\vert \psi\rangle$ adalah vektor keadaan kuantum yang diberikan dari pasangan sistem $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ Sebuah dekomposisi Schmidt dari $\vert\psi\rangle$ adalah ekspresi berbentuk

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a}\, \vert x_a\rangle \otimes \vert y_a \rangle,$$

di mana $p_0,\ldots,p_{r-1}$ adalah bilangan real positif yang berjumlah $1$ dan kedua himpunan $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ dan $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ adalah ortonormal.

Nilai-nilai

$$\sqrt{p_0},\ldots,\sqrt{p_{r-1}}$$

dalam dekomposisi Schmidt dari $\vert\psi\rangle$ dikenal sebagai koefisien Schmidt-nya, yang ditentukan secara unik (hingga urutannya) — itu adalah satu-satunya bilangan real positif yang bisa muncul dalam ekspresi $\vert\psi\rangle$ seperti itu. Himpunan-himpunan

$$\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\} \quad\text{and}\quad \{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\},$$

di sisi lain, tidak ditentukan secara unik, dan kebebasan yang dimiliki dalam memilih himpunan vektor ini akan diklarifikasi dalam penjelasan berikut.

Kita akan memverifikasi bahwa vektor keadaan kuantum $\vert\psi\rangle$ yang diberikan memang memiliki dekomposisi Schmidt, dan dalam prosesnya, kita akan belajar cara menemukannya.

Pertama-tama pertimbangkan basis (tidak harus ortogonal) $\{\vert x_0\rangle, \ldots, \vert x_{n-1}\rangle\}$ dari ruang vektor yang sesuai dengan sistem $\mathsf{X}.$ Karena ini adalah basis, akan selalu ada pilihan vektor $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ yang ditentukan secara unik yang memenuhi persamaan berikut.

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \vert x_a\rangle \otimes \vert z_a \rangle \tag{1}$$

Misalnya, misalkan $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ adalah basis standar yang terkait dengan $\mathsf{X}.$ Dengan asumsi himpunan keadaan klasik dari $\mathsf{X}$ adalah $\{0,\ldots,n-1\},$ ini berarti bahwa $\vert x_a\rangle = \vert a\rangle$ untuk setiap $a\in\{0,\ldots,n-1\},$ dan kita menemukan bahwa

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{n-1} \vert a\rangle \otimes \vert z_a\rangle$$

ketika

$$\vert z_a \rangle = ( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle$$

untuk setiap $a\in\{0,\ldots,n-1\}.$ Kita sering mempertimbangkan ekspresi seperti ini ketika memikirkan pengukuran basis standar dari $\mathsf{X}.$

Penting untuk dicatat bahwa rumus

$$\vert z_a \rangle = ( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle$$

untuk vektor $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ dalam contoh ini hanya berlaku karena $\{\vert 0\rangle,\ldots,\vert n-1\rangle\}$ adalah basis ortonormal. Secara umum, jika $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ adalah basis yang belum tentu ortonormal, maka vektor $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ masih ditentukan secara unik oleh persamaan $(1),$ tapi rumus yang berbeda diperlukan. Salah satu cara untuk menemukannya adalah dengan terlebih dahulu mengidentifikasi vektor $\vert w_0\rangle,\ldots,\vert w_{n-1}\rangle$ sehingga persamaan

$$\langle w_a \vert x_b \rangle = \begin{cases} 1 & a=b\\ 0 & a\neq b \end{cases}$$

terpenuhi untuk semua $a,b\in\{0,\ldots,n-1\},$ dan pada titik itu kita memiliki

$$\vert z_a \rangle = (\langle w_a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}) \vert \psi\rangle.$$

Untuk basis tertentu $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ dari ruang vektor yang sesuai dengan $\mathsf{X},$ vektor-vektor $\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle$ yang ditentukan secara unik yang memenuhi persamaan $(1)$ tidak harus memiliki sifat khusus apa pun, bahkan jika $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ kebetulan merupakan basis ortonormal. Namun, jika kita memilih $\{\vert x_0\rangle, \ldots, \vert x_{n-1}\rangle\}$ sebagai basis ortonormal dari vektor eigen dari keadaan tereduksi

$$\rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} \bigl( \vert \psi\rangle \langle \psi \vert \bigr),$$

maka sesuatu yang menarik terjadi. Secara khusus, untuk koleksi $\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\}$ yang ditentukan secara unik yang memenuhi persamaan $(1),$ kita menemukan bahwa koleksi ini harus ortogonal.

Lebih rinci, pertimbangkan dekomposisi spektral dari $\rho.$

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert x_a \rangle \langle x_a \vert$$

Di sini kita menyatakan nilai eigen dari $\rho$ dengan $p_0,\ldots,p_{n-1}$ untuk mengakui bahwa $\rho$ adalah matriks densitas — sehingga vektor nilai eigen $(p_0,\ldots,p_{n-1})$ membentuk vektor probabilitas — sementara $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ adalah basis ortonormal dari vektor eigen yang sesuai dengan nilai eigen tersebut. Untuk melihat bahwa koleksi unik $\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\}$ yang memenuhi persamaan $(1)$ pasti ortogonal, kita bisa mulai dengan menghitung partial trace.

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \vert x_a\rangle\langle x_b\vert \operatorname{Tr}(\vert z_a\rangle\langle z_b\vert)\\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \langle z_b\vert z_a\rangle \, \vert x_a\rangle\langle x_b\vert. \end{aligned}$$

Ekspresi ini harus sesuai dengan dekomposisi spektral dari $\rho.$ Karena $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ adalah basis, kita menyimpulkan bahwa himpunan matriks

$$\bigl\{ \vert x_a\rangle\langle x_b\vert \,:\, a,b\in\{0,\ldots,n-1\} \bigr\}$$

bebas linear, sehingga dapat disimpulkan bahwa

$$\langle z_b \vert z_a\rangle = \begin{cases} p_a & a=b\\[1mm] 0 & a\neq b, \end{cases}$$

yang membuktikan bahwa $\{\vert z_0\rangle,\ldots,\vert z_{n-1}\rangle\}$ ortogonal.

Kita hampir mendapatkan dekomposisi Schmidt dari $\vert\psi\rangle.$ Yang tersisa adalah membuang suku-suku dalam $(1)$ yang memiliki $p_a = 0$ dan kemudian menulis $\vert z_a\rangle = \sqrt{p_a}\vert y_a\rangle$ untuk vektor satuan $\vert y_a\rangle$ untuk setiap suku yang tersisa.

Cara yang mudah untuk melakukan ini dimulai dengan pengamatan bahwa kita bebas menomori pasangan nilai eigen/vektor eigen dalam dekomposisi spektral dari keadaan tereduksi $\rho$ sesuka kita — sehingga kita bisa mengasumsikan nilai eigen diurutkan dalam urutan menurun:

$$p_0 \geq p_1 \geq \cdots \geq p_{n-1}.$$

Dengan menetapkan $r = \operatorname{rank}(\rho),$ kita menemukan bahwa $p_0,\ldots,p_{r-1} > 0$ dan $p_r = \cdots = p_{n-1} = 0.$ Jadi, kita memiliki

$$\rho = \sum_{a = 0}^{r-1} p_a \vert x_a \rangle \langle x_a \vert,$$

dan kita bisa menulis vektor keadaan kuantum $\vert \psi \rangle$ sebagai

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \vert x_a\rangle \otimes \vert z_a\rangle.$$

Mengingat bahwa

$$\| \vert z_a \rangle \|^2 = \langle z_a \vert z_a \rangle = p_a > 0$$

untuk $a=0,\ldots,r-1,$ kita bisa mendefinisikan vektor satuan $\vert y_0 \rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle$ sebagai

$$\vert y_a\rangle = \frac{\vert z_a\rangle}{\|\vert z_a\rangle\|} = \frac{\vert z_a\rangle}{\sqrt{p_a}},$$

sehingga $\vert z_a\rangle = \sqrt{p_a}\vert y_a\rangle$ untuk setiap $a\in\{0,\ldots,r-1\}.$ Karena vektor $\{\vert z_0\rangle, \ldots, \vert z_{r-1}\rangle\}$ ortogonal dan tak nol, maka $\{\vert y_0\rangle, \ldots, \vert y_{r-1}\rangle\}$ adalah himpunan ortonormal, dan kita telah mendapatkan dekomposisi Schmidt dari $\vert\psi\rangle.$

$$\vert \psi\rangle = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a}\, \vert x_a\rangle \otimes \vert y_a \rangle$$

Mengenai pilihan vektor $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ dan $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\},$ kita bisa memilih $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ sebagai himpunan ortonormal dari vektor eigen apa pun yang sesuai dengan nilai eigen tidak nol dari keadaan tereduksi $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ (seperti yang telah kita lakukan di atas), dalam hal ini vektor $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ ditentukan secara unik.

Situasinya simetris antara dua sistem, sehingga kita secara alternatif bisa memilih $\{\vert y_0\rangle,\ldots,\vert y_{r-1}\rangle\}$ sebagai himpunan ortonormal dari vektor eigen apa pun yang sesuai dengan nilai eigen tidak nol dari keadaan tereduksi $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert),$ dalam hal ini vektor $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{r-1}\rangle\}$ akan ditentukan secara unik.

Perhatikan, namun, bahwa setelah salah satu himpunan dipilih, sebagai himpunan vektor eigen dari keadaan tereduksi yang sesuai seperti yang baru saja dijelaskan, himpunan yang lain ditentukan — sehingga keduanya tidak bisa dipilih secara independen.

Meskipun hal ini tidak akan muncul lagi dalam seri ini, perlu dicatat bahwa nilai eigen tidak nol $p_0,\ldots,p_{r-1}$ dari keadaan tereduksi $\operatorname{Tr}_{\mathsf{X}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ harus selalu sesuai dengan nilai eigen tidak nol dari keadaan tereduksi $\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert)$ untuk keadaan murni $\vert\psi\rangle$ apa pun dari pasangan sistem $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

Secara intuitif, keadaan tereduksi dari $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ memiliki jumlah keacakan yang sama ketika pasangan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ berada dalam keadaan murni. Fakta ini terungkap oleh dekomposisi Schmidt: dalam kedua kasus nilai eigen dari keadaan tereduksi harus sesuai dengan kuadrat dari koefisien Schmidt dari keadaan murni.

Kesetaraan unitari dari purifikasi

Kita bisa menggunakan dekomposisi Schmidt untuk menetapkan fakta yang sangat penting mengenai purifikasi yang dikenal sebagai kesetaraan unitari dari purifikasi.

Teorema

Kesetaraan unitari dari purifikasi: Misalkan $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ adalah sistem, dan $\vert\psi\rangle$ serta $\vert\phi\rangle$ adalah vektor keadaan kuantum dari $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ yang keduanya memurnikan keadaan yang sama dari $\mathsf{X}.$ Dalam notasi,

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) = \rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert)$$

untuk suatu matriks densitas $\rho$ yang merepresentasikan keadaan $\mathsf{X}.$ Maka pasti ada operasi unitari $U$ pada $\mathsf{Y}$ saja yang mentransformasi purifikasi pertama menjadi yang kedua:

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert\psi\rangle = \vert\phi\rangle.$$

Kita akan membahas beberapa implikasi dari teorema ini seiring berjalannya pelajaran, tapi pertama-tama mari kita lihat bagaimana teorema ini mengikuti dari pembahasan dekomposisi Schmidt sebelumnya.

Asumsi kita adalah bahwa $\vert\psi\rangle$ dan $\vert\phi\rangle$ adalah vektor keadaan kuantum dari sepasang sistem $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ yang memenuhi persamaan

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\psi\rangle\langle\psi\vert) = \rho = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert)$$

untuk suatu matriks densitas $\rho$ yang merepresentasikan keadaan $\mathsf{X}.$

Pertimbangkan dekomposisi spektral dari $\rho.$

$$\rho = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert x_a\rangle\langle x_a\vert$$

Di sini $\{\vert x_0\rangle,\ldots,\vert x_{n-1}\rangle\}$ adalah basis ortonormal dari vektor eigen $\rho.$ Dengan mengikuti resep yang telah dijelaskan sebelumnya, kita bisa memperoleh dekomposisi Schmidt untuk $\vert\psi\rangle$ dan $\vert\phi\rangle$ dalam bentuk berikut.

$$\begin{aligned} \vert\psi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert u_a\rangle\\[1mm] \vert\phi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert v_a\rangle \end{aligned}$$

Dalam ekspresi ini $r$ adalah rank dari $\rho$ dan $\{\vert u_0\rangle,\ldots,\vert u_{r-1}\rangle\}$ serta $\{\vert v_0\rangle,\ldots,\vert v_{r-1}\rangle\}$ adalah himpunan vektor ortonormal dalam ruang yang bersesuaian dengan $\mathsf{Y}.$

Untuk sembarang dua himpunan ortonormal dalam ruang yang sama dengan jumlah elemen yang sama, selalu ada matriks unitari yang mentransformasi himpunan pertama menjadi yang kedua, sehingga kita bisa memilih matriks unitari $U$ sedemikian sehingga $U \vert u_a\rangle = \vert v_a\rangle$ untuk $a = 0,\ldots,r-1.$ Secara khusus, untuk menemukan matriks $U$ tersebut, kita bisa terlebih dahulu menggunakan proses ortogonalisasi Gram-Schmidt untuk memperluas himpunan ortonormal kita menjadi basis ortonormal $\{\vert u_0\rangle,\ldots,\vert u_{m-1}\rangle\}$ dan $\{\vert v_0\rangle,\ldots,\vert v_{m-1}\rangle\},$ di mana $m$ adalah dimensi ruang yang bersesuaian dengan $\mathsf{Y},$ lalu mengambil

$$U = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert v_a\rangle\langle u_a\vert.$$

Kita sekarang menemukan bahwa

$$\begin{aligned} (\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert\psi\rangle & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes U \vert u_a\rangle\\ & = \sum_{a = 0}^{r-1} \sqrt{p_a} \, \vert x_a\rangle \otimes \vert v_a\rangle\\ & = \vert\phi\rangle, \end{aligned}$$

yang melengkapi pembuktian.

Berikut beberapa dari banyak contoh dan implikasi menarik yang terkait dengan kesetaraan unitari dari purifikasi. Kita akan melihat satu lagi yang sangat penting nanti dalam pelajaran ini, dalam konteks fidelitas, yang dikenal sebagai teorema Uhlmann.

Pengkodean superdense

Dalam protokol pengkodean superdense, Alice dan Bob berbagi sebuah e-bit, artinya Alice memegang sebuah Qubit $\mathsf{A},$ Bob memegang sebuah Qubit $\mathsf{B},$ dan pasangan $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ bersama-sama berada dalam keadaan Bell $\vert\phi^{+}\rangle$. Protokol ini menjelaskan bagaimana Alice dapat mentransformasi keadaan bersama ini menjadi salah satu dari empat keadaan Bell, $\vert\phi^+\rangle,$ $\vert\phi^-\rangle,$ $\vert\psi^+\rangle,$ dan $\vert\psi^-\rangle,$ dengan menerapkan operasi unitari pada Qubit-nya $\mathsf{A}.$ Setelah melakukan itu, ia mengirimkan $\mathsf{A}$ ke Bob, kemudian Bob melakukan pengukuran pada pasangan $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ untuk melihat keadaan Bell mana yang ia miliki.

Untuk keempat keadaan Bell, keadaan tereduksi dari Qubit Bob $\mathsf{B}$ adalah keadaan campuran sempurna.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\phi^+\rangle\langle\phi^+\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\phi^-\rangle\langle\phi^-\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi^+\rangle\langle\psi^+\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi^-\rangle\langle\psi^-\vert) = \frac{\mathbb{I}}{2}$$

Berdasarkan kesetaraan unitari dari purifikasi, kita langsung menyimpulkan bahwa untuk setiap keadaan Bell pasti ada operasi unitari pada Qubit Alice $\mathsf{A}$ saja yang mentransformasi $\vert\phi^+\rangle$ menjadi keadaan Bell yang dipilih. Meskipun ini tidak mengungkap detail tepat dari protokol tersebut, kesetaraan unitari dari purifikasi langsung mengimplikasikan bahwa pengkodean superdense adalah mungkin.

Kita juga bisa menyimpulkan bahwa generalisasi pengkodean superdense ke sistem yang lebih besar selalu mungkin, asalkan kita mengganti keadaan Bell dengan basis ortonormal purifikasi dari keadaan campuran sempurna.

Implikasi kriptografi

Kesetaraan unitari dari purifikasi memiliki implikasi mengenai implementasi primitif kriptografi menggunakan informasi kuantum. Misalnya, kesetaraan unitari dari purifikasi mengungkapkan bahwa tidak mungkin mengimplementasikan bentuk ideal dari bit commitment menggunakan informasi kuantum.

Primitif bit commitment melibatkan dua peserta, Alice dan Bob (yang tidak saling mempercayai), dan memiliki dua fase.

• Fase pertama adalah fase commit, di mana Alice berkomitmen pada nilai biner $b\in\{0,1\}.$ Komitmen ini harus binding, artinya Alice tidak bisa berubah pikiran, serta concealing, artinya Bob tidak bisa tahu nilai mana yang telah dikomitmen Alice.
• Fase kedua adalah fase reveal, di mana bit yang dikomitmen Alice menjadi diketahui Bob, yang kemudian seharusnya yakin bahwa nilai yang terungkap benar-benar merupakan nilai yang dikomitmen.

Secara intuitif dan operasional, fase pertama bit commitment seharusnya berfungsi seolah-olah Alice menulis nilai biner di selembar kertas, mengunci kertas itu di dalam brankas, dan memberikan brankas itu kepada Bob sambil menyimpan kunci untuk dirinya sendiri. Alice telah berkomitmen pada nilai biner yang tertulis di kertas karena brankas ada di tangan Bob (sehingga bersifat binding), tetapi karena Bob tidak bisa membuka brankas ia tidak bisa tahu nilai mana yang dikomitmen Alice (sehingga bersifat concealing). Fase kedua seharusnya berjalan seolah-olah Alice menyerahkan kunci brankas kepada Bob, sehingga ia bisa membuka brankas untuk mengungkapkan nilai yang dikomitmen Alice.

Ternyata, tidak mungkin mengimplementasikan protokol bit commitment yang sempurna dengan menggunakan informasi kuantum saja, karena ini bertentangan dengan kesetaraan unitari dari purifikasi. Berikut adalah ringkasan tingkat tinggi dari argumen yang menetapkan hal ini.

Pertama, kita bisa mengasumsikan Alice dan Bob hanya melakukan operasi unitari atau memperkenalkan sistem baru yang diinisialisasi seiring protokol dijalankan. Fakta bahwa setiap kanal memiliki representasi Stinespring memungkinkan kita membuat asumsi ini.

Di akhir fase commit protokol, Bob memegang dalam kepemilikannya beberapa sistem majemuk yang harus berada dalam salah satu dari dua keadaan kuantum: $\rho_0$ jika Alice berkomitmen pada nilai $0$ dan $\rho_1$ jika Alice berkomitmen pada nilai $1.$ Agar protokol bersifat sempurna concealing, Bob seharusnya tidak bisa membedakan kedua keadaan ini — sehingga harus berlaku $\rho_0 = \rho_1.$ (Jika tidak, ada pengukuran yang bisa membedakan keadaan-keadaan ini secara probabilistik.)

Namun, karena Alice dan Bob hanya menggunakan operasi unitari, keadaan semua sistem yang terlibat dalam protokol secara bersama-sama setelah fase commit harus berada dalam keadaan murni. Secara khusus, misalkan $\vert\psi_0\rangle$ adalah keadaan murni dari semua sistem yang terlibat dalam protokol ketika Alice berkomitmen pada $0,$ dan $\vert\psi_1\rangle$ adalah keadaan murni dari semua sistem yang terlibat dalam protokol ketika Alice berkomitmen pada $1.$ Jika kita tulis $\mathsf{A}$ dan $\mathsf{B}$ untuk menunjukkan sistem (yang mungkin majemuk) milik Alice dan Bob, maka

$$\begin{aligned} \rho_0 & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi_0\rangle\langle\psi_0\vert)\\[1mm] \rho_1 & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\vert\psi_1\rangle\langle\psi_1\vert). \end{aligned}$$

Mengingat syarat bahwa $\rho_0 = \rho_1$ untuk protokol yang sempurna concealing, kita menemukan bahwa $\vert\psi_0\rangle$ dan $\vert\psi_1\rangle$ adalah purifikasi dari keadaan yang sama — sehingga, berdasarkan kesetaraan unitari dari purifikasi, pasti ada operasi unitari $U$ pada $\mathsf{A}$ saja sedemikian sehingga

$$(U\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}})\vert\psi_0\rangle = \vert\psi_1\rangle.$$

Alice oleh karena itu bebas mengubah komitmennya dari $0$ menjadi $1$ dengan menerapkan $U$ pada $\mathsf{A},$ atau dari $1$ menjadi $0$ dengan menerapkan $U^{\dagger},$ sehingga protokol hipotetis yang dipertimbangkan sama sekali gagal bersifat binding.

Teorema Hughston-Jozsa-Wootters

Implikasi terakhir dari kesetaraan unitari dari purifikasi yang akan kita bahas di bagian pelajaran ini adalah teorema berikut yang dikenal sebagai teorema Hughston-Jozsa-Wootters. (Ini sebenarnya adalah pernyataan yang sedikit disederhanakan dari teorema yang dikenal dengan nama ini.)

Teorema

Hughston-Jozsa-Wootters: Misalkan $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ adalah sistem dan $\vert\phi\rangle$ adalah vektor keadaan kuantum dari pasangan $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ Juga misalkan $N$ adalah bilangan bulat positif sembarang, $(p_0,\ldots,p_{N-1})$ adalah vektor probabilitas, dan $\vert\psi_0\rangle,\ldots,\vert\psi_{N-1}\rangle$ adalah vektor keadaan kuantum yang merepresentasikan keadaan $\mathsf{X}$ sedemikian sehingga

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\phi\rangle\langle\phi\vert\bigr) = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert.$$

Ada (pengukuran umum) $\{P_0,\ldots,P_{N-1}\}$ pada $\mathsf{Y}$ sedemikian sehingga dua pernyataan berikut benar ketika pengukuran ini dilakukan pada $\mathsf{Y}$ saat $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ berada dalam keadaan $\vert\phi\rangle:$

1. Setiap hasil pengukuran $a\in\{0,\ldots,N-1\}$ muncul dengan probabilitas $p_a$.
2. Dengan syarat mendapatkan hasil pengukuran $a,$ keadaan $\mathsf{X}$ menjadi $\vert\psi_a\rangle.$

Secara intuitif, teorema ini menyatakan bahwa selama kita memiliki keadaan murni dari dua sistem, maka untuk sembarang cara memikirkan keadaan tereduksi dari sistem pertama sebagai kombinasi cembung dari keadaan murni, ada pengukuran terhadap sistem kedua yang secara efektif mewujudkan cara berpikir tentang sistem pertama tersebut. Perhatikan bahwa bilangan $N$ tidak harus dibatasi oleh jumlah keadaan klasik dari $\mathsf{X}$ atau $\mathsf{Y}.$ Misalnya, bisa saja $N = 1.000.000$ sementara $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ adalah Qubit.

Kita akan membuktikan teorema ini menggunakan kesetaraan unitari dari purifikasi, dimulai dengan pengenalan sistem baru $\mathsf{Z}$ yang himpunan keadaan klasiknya adalah $\{0,\ldots,N-1\}.$ Pertimbangkan dua vektor keadaan kuantum berikut dari triple $(\mathsf{X},\mathsf{Y},\mathsf{Z}).$

$$\begin{aligned} \vert\gamma_0\rangle & = \vert\phi\rangle_{\mathsf{XY}}\otimes\vert 0\rangle_{\mathsf{Z}}\\[1mm] \vert\gamma_1\rangle & = \sum_{a = 0}^{N-1} \sqrt{p_a}\, \vert\psi_a\rangle_{\mathsf{X}} \otimes \vert 0\rangle_{\mathsf{Y}} \otimes \vert a\rangle_{\mathsf{Z}} \end{aligned}$$

Vektor pertama $\vert\gamma_0\rangle$ hanyalah vektor keadaan kuantum $\vert\phi\rangle$ yang dikalikan tensor dengan $\vert 0\rangle$ untuk sistem baru $\mathsf{Z}.$ Untuk vektor kedua $\vert\gamma_1\rangle,$ pada dasarnya kita memiliki vektor keadaan kuantum yang akan membuat teorema menjadi trivial — setidaknya jika $\mathsf{Y}$ diganti dengan $\mathsf{Z}$ — karena pengukuran basis standar yang dilakukan pada $\mathsf{Z}$ jelas menghasilkan setiap hasil $a$ dengan probabilitas $p_a,$ dan dengan syarat mendapatkan hasil ini keadaan $\mathsf{X}$ menjadi $\vert\psi_a\rangle.$

Dengan memikirkan pasangan $(\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ sebagai satu sistem majemuk yang bisa ditrace out untuk meninggalkan $\mathsf{X},$ kita menemukan bahwa kita telah mengidentifikasi dua purifikasi berbeda dari keadaan

$$\rho = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert.$$

Secara khusus, untuk yang pertama kita memiliki

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{YZ}} (\vert\gamma_0\rangle\langle\gamma_0\vert) = \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}} (\vert\phi\rangle\langle\phi\vert) = \rho$$

dan untuk yang kedua kita memiliki

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{YZ}} (\vert\gamma_1\rangle\langle\gamma_1\vert) & = \sum_{a,b = 0}^{N-1} \sqrt{p_a}\sqrt{p_b} \, \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert \operatorname{Tr}(\vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert a\rangle\langle b\vert)\\ & = \sum_{a = 0}^{N-1} p_a \, \vert\psi_a\rangle\langle\psi_a\vert\\ & = \rho. \end{aligned}$$

Oleh karena itu pasti ada operasi unitari $U$ pada $(\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ yang memenuhi

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U) \vert \gamma_0 \rangle = \vert\gamma_1\rangle$$

berdasarkan kesetaraan unitari dari purifikasi.

Menggunakan operasi unitari $U$ ini, kita bisa mengimplementasikan pengukuran yang memenuhi persyaratan teorema seperti yang diilustrasikan diagram berikut. Dengan kata lain, kita memperkenalkan sistem baru $\mathsf{Z}$ yang diinisialisasi ke keadaan $\vert 0\rangle,$ menerapkan $U$ pada $(\mathsf{Y},\mathsf{Z}),$ yang mentransformasi keadaan $(\mathsf{X},\mathsf{Y},\mathsf{Z})$ dari $\vert\gamma_0\rangle$ menjadi $\vert\gamma_1\rangle,$ lalu mengukur $\mathsf{Z}$ dengan pengukuran basis standar, yang sudah kita amati memberikan perilaku yang diinginkan.

Kotak bertitik dalam gambar merepresentasikan implementasi pengukuran ini, yang dapat dideskripsikan sebagai kumpulan matriks semidefinit positif $\{P_0,\ldots,P_{N-1}\}$ sebagai berikut.

$$P_a = (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \langle 0\vert) U^{\dagger} (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \vert a\rangle\langle a \vert)U (\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes \vert 0\rangle)$$