Fidelitas

Di bagian pelajaran ini, kita akan membahas fidelitas antara dua keadaan kuantum, yang merupakan ukuran kemiripan di antara keduanya — atau seberapa besar "tumpang tindihnya."

Diberikan dua vektor keadaan kuantum, fidelitas antara keadaan murni yang terkait dengan vektor-vektor tersebut sama dengan nilai absolut dari perkalian dalam antara kedua vektor itu. Ini memberikan cara dasar untuk mengukur kemiripan mereka: hasilnya adalah nilai antara $0$ dan $1,$ dengan nilai yang lebih besar menunjukkan kemiripan yang lebih besar. Khususnya, nilainya nol untuk keadaan-keadaan yang ortogonal (berdasarkan definisi), sedangkan nilainya $1$ untuk keadaan-keadaan yang ekuivalen hingga fase global.

Secara intuitif, fidelitas dapat dilihat sebagai perluasan ukuran kemiripan dasar ini, dari vektor keadaan kuantum ke matriks densitas.

Definisi fidelitas

Tepat kiranya untuk memulai dengan definisi fidelitas. Pada pandangan pertama, definisi berikut mungkin terlihat tidak biasa atau misterius, dan mungkin tidak mudah untuk digunakan. Namun fungsi yang didefinisikannya ternyata memiliki banyak sifat menarik dan beberapa formulasi alternatif, sehingga jauh lebih nyaman digunakan daripada yang mungkin tampak pada awalnya.

Definisi

Misalkan $\rho$ dan $\sigma$ adalah matriks densitas yang merepresentasikan keadaan kuantum dari sistem yang sama. Fidelitas antara $\rho$ dan $\sigma$ didefinisikan sebagai

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}}.$$

Catatan

Meski ini adalah definisi yang umum, juga lazim bahwa fidelitas didefinisikan sebagai kuadrat dari kuantitas yang didefinisikan di sini, yang kemudian disebut sebagai root-fidelity. Tidak ada definisi yang benar atau salah — ini pada dasarnya masalah preferensi. Namun demikian, seseorang harus selalu berhati-hati untuk memahami atau mengklarifikasi definisi mana yang sedang digunakan.

Untuk memahami formula dalam definisi tersebut, perhatikan pertama bahwa $\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}$ adalah matriks semidefinit positif:

$$\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho} = M^{\dagger} M$$

untuk $M = \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}.$ Seperti semua matriks semidefinit positif, matriks semidefinit positif ini memiliki akar kuadrat semidefinit positif yang unik, yang tracenya adalah fidelitas.

Untuk setiap matriks persegi $M,$ nilai eigen dari dua matriks semidefinit positif $M^{\dagger} M$ dan $M M^{\dagger}$ selalu sama, dan karenanya hal yang sama berlaku untuk akar kuadrat matriks-matriks tersebut. Memilih $M = \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}$ dan menggunakan fakta bahwa trace dari matriks persegi adalah jumlah nilai eigennya, kita menemukan bahwa

$$\begin{aligned} \operatorname{F}(\rho,\sigma) & = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{M^{\dagger} M} = \operatorname{Tr}\sqrt{M M^{\dagger}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\sigma} \rho \sqrt{\sigma}}\\ & = \operatorname{F}(\sigma,\rho). \end{aligned}$$

Jadi, meskipun tidak langsung terlihat dari definisi, fidelitas bersifat simetris dalam dua argumennya.

Fidelitas dalam hal trace norm

Cara ekuivalen untuk mengekspresikan fidelitas adalah dengan formula ini:

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \bigl\|\sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}\bigr\|_1.$$

Di sini kita melihat trace norm, yang kita temui di pelajaran sebelumnya dalam konteks diskriminasi keadaan. Trace norm dari matriks $M$ (yang tidak harus persegi) dapat didefinisikan sebagai

$$\| M \|_1 = \operatorname{Tr}\sqrt{M^{\dagger} M},$$

dan dengan menerapkan definisi ini pada matriks $\sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}$ kita memperoleh formula dalam definisi tersebut.

Cara alternatif untuk mengekspresikan trace norm dari matriks (persegi) $M$ adalah melalui formula ini.

$$\| M \|_1 = \max_{U\:\text{unitary}} \bigl\vert \operatorname{Tr}(M U) \bigr\vert.$$

Di sini maksimum diambil atas semua matriks uniter $U$ yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sama dengan $M.$ Menerapkan formula ini pada situasi yang sedang dihadapi mengungkapkan ekspresi lain dari fidelitas.

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \max_{U\:\text{unitary}} \bigl\vert\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}\, U\bigr) \bigr\vert$$

Fidelitas untuk keadaan murni

Satu poin terakhir tentang definisi fidelitas adalah bahwa setiap keadaan murni (sebagai matriks densitas) sama dengan akar kuadratnya sendiri, yang memungkinkan formula fidelitas disederhanakan secara signifikan ketika salah satu atau kedua keadaan adalah murni. Khususnya, jika salah satu dari dua keadaan adalah murni, kita memiliki formula berikut.

$$\operatorname{F}\bigl( \vert\phi\rangle\langle\phi\vert, \sigma \bigr) = \sqrt{\langle \phi\vert \sigma \vert \phi \rangle}$$

Jika kedua keadaan adalah murni, formula tersebut disederhanakan menjadi nilai absolut dari perkalian dalam vektor keadaan kuantum yang bersesuaian, seperti yang disebutkan di awal bagian.

$$\operatorname{F}\bigl( \vert\phi\rangle\langle\phi\vert, \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigr) = \bigl\vert \langle \phi\vert \psi \rangle \bigr\vert$$

Sifat dasar fidelitas

Fidelitas memiliki banyak sifat yang luar biasa dan beberapa formulasi alternatif. Berikut adalah beberapa sifat dasar yang dicantumkan tanpa pembuktian.

1. Untuk dua matriks densitas $\rho$ dan $\sigma$ yang berukuran sama, fidelitas $\operatorname{F}(\rho,\sigma)$ berada di antara nol dan satu: $0\leq \operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq 1.$ $\operatorname{F}(\rho,\sigma)=0$ jika dan hanya jika $\rho$ dan $\sigma$ memiliki citra yang ortogonal (sehingga keduanya dapat dibedakan tanpa kesalahan), dan $\operatorname{F}(\rho,\sigma)=1$ jika dan hanya jika $\rho = \sigma.$
2. Fidelitas bersifat multiplikatif, artinya fidelitas antara dua keadaan produk sama dengan hasil kali fidelitas individual: $$\operatorname{F}(\rho_1\otimes\cdots\otimes\rho_m,\sigma_1\otimes\cdots\otimes\sigma_m) = \operatorname{F}(\rho_1,\sigma_1)\cdots \operatorname{F}(\rho_m,\sigma_m).$$
3. Fidelitas antara keadaan-keadaan tidak berkurang di bawah aksi dari channel mana pun. Artinya, jika $\rho$ dan $\sigma$ adalah matriks densitas dan $\Phi$ adalah channel yang dapat mengambil kedua keadaan ini sebagai masukan, maka diperlukan bahwa $$\operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq \operatorname{F}(\Phi(\rho),\Phi(\sigma)).$$
4. Pertidaksamaan Fuchs-van de Graaf menetapkan hubungan yang erat (meski tidak tepat) antara fidelitas dan trace distance: untuk dua keadaan $\rho$ dan $\sigma$ mana pun, kita memiliki $$1 - \frac{1}{2}\|\rho - \sigma\|_1 \leq \operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq \sqrt{1 - \frac{1}{4}\|\rho - \sigma\|_1^2}.$$

Sifat terakhir dapat diekspresikan dalam bentuk sebuah gambar:

Secara khusus, untuk setiap pilihan keadaan $\rho$ dan $\sigma$ dari sistem yang sama, garis horizontal yang melewati sumbu $y$ pada $\operatorname{F}(\rho,\sigma)$ dan garis vertikal yang melewati sumbu $x$ pada $\frac{1}{2}\|\rho-\sigma\|_1$ harus berpotongan dalam daerah abu-abu yang dibatasi di bawah oleh garis $y = 1-x$ dan di atas oleh lingkaran satuan. Wilayah yang paling menarik dari gambar ini dari sudut pandang praktis adalah sudut kiri atas daerah abu-abu: jika fidelitas antara dua keadaan mendekati satu, maka trace distance-nya mendekati nol, dan sebaliknya.

Lemma pengukuran lembut

Berikutnya kita akan melihat fakta sederhana namun penting, yang dikenal sebagai lemma pengukuran lembut, yang menghubungkan fidelitas dengan pengukuran non-destruktif. Ini adalah lemma yang sangat berguna yang muncul dari waktu ke waktu, dan juga patut dicatat karena definisi fidelitas yang tampak canggung itu sebenarnya membuat lemma ini sangat mudah dibuktikan.

Pengaturannya adalah sebagai berikut. Misalkan $\mathsf{X}$ adalah sistem dalam keadaan $\rho$ dan $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ adalah kumpulan matriks semidefinit positif yang merepresentasikan pengukuran umum dari $\mathsf{X}.$ Misalkan lebih lanjut bahwa jika pengukuran ini dilakukan pada sistem $\mathsf{X}$ saat berada dalam keadaan $\rho,$ salah satu hasil sangat mungkin terjadi. Untuk konkretnya, misalkan hasil pengukuran yang mungkin terjadi adalah $0,$ dan secara spesifik misalkan

$$\operatorname{Tr}(P_0 \rho) > 1 - \varepsilon$$

untuk suatu bilangan real positif kecil $\varepsilon > 0.$

Yang dinyatakan lemma pengukuran lembut adalah bahwa, di bawah asumsi-asumsi ini, pengukuran non-destruktif yang diperoleh dari $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ melalui teorema Naimark hanya menyebabkan gangguan kecil pada $\rho$ dalam kasus hasil pengukuran yang mungkin yaitu $0$ teramati.

Lebih khusus, lemma menyatakan bahwa kuadrat fidelitas antara $\rho$ dan keadaan yang kita peroleh dari pengukuran non-destruktif, dikondisikan pada hasil $0,$ lebih besar dari $1-\varepsilon.$

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr)^2 > 1-\varepsilon.$$

Kita memerlukan fakta dasar tentang pengukuran untuk membuktikan ini. Matriks pengukuran $P_0, \ldots, P_{m-1}$ bersifat semidefinit positif dan berjumlah sama dengan identitas, yang memungkinkan kita menyimpulkan bahwa semua nilai eigen dari $P_0$ adalah bilangan real antara $0$ dan $1.$ Hal ini mengikuti dari fakta bahwa, untuk setiap vektor satuan $\vert\psi\rangle,$ nilai $\langle \psi \vert P_a \vert \psi \rangle$ adalah bilangan real non-negatif untuk setiap $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ (karena setiap $P_a$ adalah semidefinit positif), bersama dengan jumlah bilangan-bilangan ini sama dengan satu.

$$\sum_{a = 0}^{m-1} \langle \psi \vert P_a \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \Biggr) \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \mathbb{I} \vert \psi \rangle = 1.$$

Karenanya $\langle \psi \vert P_0 \vert \psi \rangle$ selalu merupakan bilangan real antara $0$ dan $1,$ dan ini mengimplikasikan bahwa setiap nilai eigen dari $P_0$ adalah bilangan real antara $0$ dan $1$ karena kita dapat memilih $\vert\psi\rangle$ secara spesifik menjadi vektor eigen satuan yang bersesuaian dengan nilai eigen yang diminati.

Dari pengamatan ini kita dapat menyimpulkan pertidaksamaan berikut untuk setiap matriks densitas $\rho.$

$$\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{P_0} \rho\bigr) \geq \operatorname{Tr}\bigl( P_0 \rho\bigr)$$

Secara lebih rinci, mulai dari dekomposisi spektral

$$P_0 = \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k \vert\psi_k\rangle\langle\psi_k\vert$$

kita menyimpulkan bahwa

$$\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{P_0} \rho\bigr) = \sum_{k = 0}^{n-1} \sqrt{\lambda_k} \langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle \geq \sum_{k = 0}^{n-1} \lambda_k \langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle = \operatorname{Tr}\bigl( P_0 \rho\bigr)$$

dari fakta bahwa $\langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle$ adalah bilangan real non-negatif dan $\sqrt{\lambda_k} \geq \lambda_k$ untuk setiap $k = 0,\ldots,n-1.$ (Mengkuadratkan bilangan antara $0$ dan $1$ tidak pernah bisa membuatnya lebih besar.)

Sekarang kita dapat membuktikan lemma pengukuran lembut dengan mengevaluasi fidelitas dan kemudian menggunakan pertidaksamaan kita. Pertama, mari kita sederhanakan ekspresi yang sedang kita minati.

$$\begin{aligned} \operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr) & = \operatorname{Tr}\sqrt{\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{\Biggl(\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\Biggr)^2}\\ & = \operatorname{Tr}\Biggl(\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\Biggr)\\ & = \frac{\operatorname{Tr}\bigl(\sqrt{P_0}\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} \end{aligned}$$

Perhatikan bahwa semua ini adalah persamaan — kita belum menggunakan pertidaksamaan kita (atau pertidaksamaan lain apa pun) pada titik ini, jadi kita memiliki ekspresi yang tepat untuk fidelitas. Sekarang kita dapat menggunakan pertidaksamaan kita untuk menyimpulkan

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr) = \frac{\operatorname{Tr}\bigl(\sqrt{P_0}\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} \geq \frac{\operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} = \sqrt{\operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr)}$$

dan karenanya, dengan mengkuadratkan kedua sisi,

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr)^2 \geq \operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr) > 1-\varepsilon.$$

Teorema Uhlmann

Untuk mengakhiri pelajaran, kita akan melihat teorema Uhlmann, yang merupakan fakta fundamental tentang fidelitas yang menghubungkannya dengan konsep purifikasi. Yang dinyatakan teorema ini, secara sederhana, adalah bahwa fidelitas antara dua keadaan kuantum sama dengan perkalian dalam maksimum (dalam nilai absolut) antara dua purifikasi dari keadaan-keadaan tersebut.

Teorema

Teorema Uhlmann: Misalkan $\rho$ dan $\sigma$ adalah matriks densitas yang merepresentasikan keadaan suatu sistem $\mathsf{X},$ dan misalkan $\mathsf{Y}$ adalah sistem yang memiliki setidaknya sebanyak keadaan klasik seperti $\mathsf{X}.$ Fidelitas antara $\rho$ dan $\sigma$ diberikan oleh

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \max\bigl\{ \vert \langle \phi \vert \psi \rangle \vert \,:\, \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\phi\rangle\langle\phi\vert\bigr) = \rho,\; \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sigma\bigr\},$$

di mana maksimum diambil atas semua vektor keadaan kuantum $\vert\phi\rangle$ dan $\vert\psi\rangle$ dari $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

Kita dapat membuktikan teorema ini menggunakan ekuivalensi uniter dari purifikasi — tetapi tidaklah sepenuhnya mudah dan kita akan menggunakan sebuah trik di perjalanannya.

Untuk memulai, pertimbangkan dekomposisi spektral dari dua matriks densitas $\rho$ dan $\sigma.$

$$\begin{aligned} \rho & = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert u_a\rangle\langle u_a\vert \\[2mm] \sigma & = \sum_{b = 0}^{n-1} q_b \vert v_b\rangle\langle v_b\vert \end{aligned}$$

Dua koleksi $\{\vert u_0 \rangle,\ldots,\vert u_{n-1}\rangle\}$ dan $\{\vert v_0 \rangle,\ldots,\vert v_{n-1}\rangle\}$ adalah basis ortonormal dari vektor eigen $\rho$ dan $\sigma,$ masing-masing, dan $p_0,\ldots,p_{n-1}$ serta $q_0,\ldots,q_{n-1}$ adalah nilai eigen yang bersesuaian.

Kita juga akan mendefinisikan $\vert \overline{u_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{u_{n-1}}\rangle$ dan $\vert \overline{v_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{v_{n-1}}\rangle$ sebagai vektor-vektor yang diperoleh dengan mengambil konjugat kompleks dari setiap entri $\vert u_0 \rangle,\ldots,\vert u_{n-1}\rangle$ dan $\vert v_0 \rangle,\ldots,\vert v_{n-1}\rangle.$ Yaitu, untuk sebuah vektor sembarang $\vert w\rangle$ kita dapat mendefinisikan $\vert\overline{w}\rangle$ menurut persamaan berikut untuk setiap $c\in\{0,\ldots,n-1\}.$

$$\langle c \vert \overline{w}\rangle = \overline{\langle c \vert w\rangle}$$

Perhatikan bahwa untuk dua vektor $\vert u\rangle$ dan $\vert v\rangle$ mana pun, kita memiliki $\langle \overline{u} \vert \overline{v}\rangle = \langle v\vert u\rangle.$ Secara lebih umum, untuk setiap matriks persegi $M$ kita memiliki formula berikut.

$$\langle \overline{u} \vert M \vert \overline{v}\rangle = \langle v\vert M^T \vert u\rangle$$

Dari sini mengikuti bahwa $\vert u\rangle$ dan $\vert v\rangle$ ortogonal jika dan hanya jika $\vert \overline{u}\rangle$ dan $\vert \overline{v}\rangle$ ortogonal, dan karenanya $\{\vert \overline{u_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{u_{n-1}}\rangle\}$ dan $\{\vert \overline{v_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{v_{n-1}}\rangle\}$ keduanya merupakan basis ortonormal.

Sekarang pertimbangkan dua vektor $\vert\phi\rangle$ dan $\vert\psi\rangle$ berikut, yang merupakan purifikasi dari $\rho$ dan $\sigma,$ masing-masing.

$$\begin{aligned} \vert\phi\rangle & = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a}\, \vert u_a\rangle \otimes \vert \overline{u_a}\rangle \\[2mm] \vert\psi\rangle & = \sum_{b = 0}^{n-1} \sqrt{q_b}\, \vert v_b\rangle \otimes \vert \overline{v_b}\rangle \end{aligned}$$

Inilah trik yang disebutkan sebelumnya. Tidak ada yang menunjukkan secara eksplisit pada titik ini bahwa ini adalah ide yang baik untuk membuat pilihan purifikasi $\rho$ dan $\sigma$ ini, tetapi keduanya adalah purifikasi yang valid, dan konjugasi kompleks akan memungkinkan aljabar berjalan seperti yang kita butuhkan.

Dengan ekuivalensi uniter dari purifikasi, kita tahu bahwa setiap purifikasi dari $\rho$ untuk pasangan sistem $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ harus berbentuk $(\mathbb{I}_{\mathsf{X}}\otimes U)\vert\phi\rangle$ untuk suatu matriks uniter $U,$ dan demikian pula setiap purifikasi dari $\sigma$ untuk pasangan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ harus berbentuk $(\mathbb{I}_{\mathsf{X}}\otimes V)\vert\psi\rangle$ untuk suatu matriks uniter $V.$ Perkalian dalam dari dua purifikasi tersebut dapat disederhanakan sebagai berikut.

$$\begin{aligned} \langle \phi \vert (\mathbb{I}\otimes U^{\dagger}) (\mathbb{I}\otimes V) \vert \psi \rangle \hspace{-2.5cm}\\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \langle u_a \vert v_b \rangle \langle \overline{u_a} \vert U^{\dagger} V \vert \overline{v_b} \rangle \\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \langle u_a \vert v_b \rangle \langle v_b \vert (U^{\dagger} V)^T \vert u_a \rangle \\ & = \operatorname{Tr}\Biggl( \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \vert u_a \rangle\langle u_a \vert v_b \rangle \langle v_b \vert (U^{\dagger} V)^T\Biggr)\\ & = \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, (U^{\dagger} V)^T\Bigr) \end{aligned}$$

Saat $U$ dan $V$ bergerak di atas semua matriks uniter yang mungkin, matriks $(U^{\dagger} V)^T$ juga bergerak di atas semua matriks uniter yang mungkin. Dengan demikian, memaksimalkan nilai absolut dari perkalian dalam dua purifikasi dari $\rho$ dan $\sigma$ menghasilkan persamaan berikut.

$$\begin{aligned} \max_{U,V\:\text{unitary}} \biggl\vert \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, (U^{\dagger} V)^T\Bigr)\biggr\vert & = \max_{W\:\text{unitary}} \biggl\vert \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, W\Bigr)\biggr\vert\\[2mm] & = \bigl\| \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma} \bigr\|_1\\[2mm] & = \operatorname{F}(\rho,\sigma) \end{aligned}$$

Survei pasca kursus

Selamat telah menyelesaikan kursus ini! Luangkan waktu sejenak untuk membantu kami meningkatkan kursus dengan mengisi survei singkat berikut. Masukan kamu akan digunakan untuk meningkatkan konten dan pengalaman pengguna kami. Terima kasih!

Note: This survey is provided by IBM Quantum and relates to the original English content. To give feedback on doQumentation's website, translations, or code execution, please open a GitHub issue.