Kode repetisi ditinjau ulang

Selanjutnya, kita akan melihat kedua kalinya kode repetisi 3-bit, kali ini menguraikannya dalam bentuk operasi Pauli. Ini akan menjadi contoh pertama kita dari sebuah kode stabilizer.

Observable Pauli untuk kode repetisi

Ingat bahwa, ketika kita menerapkan kode repetisi 3-bit pada qubit, sebuah vektor state qubit $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$ di-encode sebagai

$$\vert\psi\rangle = \alpha\vert 000\rangle + \beta\vert 111\rangle.$$

Setiap state $\vert\psi\rangle$ dalam bentuk ini adalah encoding 3-qubit yang valid dari sebuah state qubit — tapi jika kita punya sebuah state yang tidak kita yakini, kita bisa memverifikasi bahwa kita punya encoding yang valid dengan memeriksa dua persamaan berikut.

$$\begin{aligned} (Z \otimes Z \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle & = \vert\psi\rangle\\[1mm] (\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z) \vert\psi\rangle & = \vert\psi\rangle \end{aligned}$$

Persamaan pertama menyatakan bahwa menerapkan operasi $Z$ pada dua qubit paling kiri dari $\vert\psi\rangle$ tidak memiliki efek, yang artinya $\vert\psi\rangle$ adalah eigenvector dari $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ dengan eigenvalue $1.$ Persamaan kedua serupa kecuali bahwa operasi $Z$ diterapkan pada dua qubit paling kanan. Idenya adalah bahwa, jika kita memikirkan $\vert\psi\rangle$ sebagai kombinasi linear dari state basis standar, maka persamaan pertama menyiratkan bahwa kita hanya bisa punya koefisien tak-nol untuk state basis standar di mana dua bit paling kiri memiliki paritas genap (atau, ekuivalennya, sama), dan persamaan kedua menyiratkan bahwa kita hanya bisa punya koefisien tak-nol untuk state basis standar yang dua bit paling kanannya memiliki paritas genap.

Secara ekuivalen, jika kita memandang dua operasi Pauli $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ dan $\mathbb{I}\otimes Z\otimes Z$ sebagai observable, dan mengukur keduanya menggunakan Circuit yang disarankan di akhir bagian sebelumnya, maka kita pasti mendapatkan hasil pengukuran yang sesuai dengan eigenvalue $+1$, karena $\vert\psi\rangle$ adalah eigenvector dari kedua observable dengan eigenvalue $1.$ Tapi, versi disederhanakan dari Circuit (gabungan) untuk mengukur kedua observable secara independen, seperti yang ditunjukkan di sini, tidak lain adalah Circuit pengecekan paritas untuk kode repetisi 3-bit.

Kedua persamaan di atas karenanya menyiratkan bahwa Circuit pengecekan paritas mengeluarkan $00,$ yaitu sindrom yang menunjukkan bahwa tidak ada kesalahan yang terdeteksi.

Operasi Pauli 3-qubit $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ dan $\mathbb{I}\otimes Z\otimes Z$ disebut generator stabilizer untuk kode ini, dan stabilizer dari kode adalah himpunan yang dibangkitkan oleh generator stabilizer.

$$\langle Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}, \mathbb{I}\otimes Z\otimes Z\rangle = \{ \mathbb{I}\otimes\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}, Z\otimes Z\otimes\mathbb{I}, Z\otimes\mathbb{I}\otimes Z, \mathbb{I}\otimes Z\otimes Z \}$$

Stabilizer adalah objek matematis yang sangat penting yang terkait dengan kode ini, dan peran yang dimainkannya akan dibahas saat pelajaran berlanjut. Untuk sekarang, mari kita amati bahwa kita bisa membuat pilihan berbeda untuk generator dan pengecekan paritas yang sesuai, khususnya dengan mengambil $Z\otimes\mathbb{I}\otimes Z$ sebagai pengganti salah satu dari generator yang kita pilih, tapi stabilizer dan kode itu sendiri tidak akan berubah sebagai hasilnya.

Deteksi kesalahan

Selanjutnya, kita akan mempertimbangkan deteksi bit-flip untuk kode repetisi 3-bit, dengan fokus pada interaksi dan hubungan di antara operasi Pauli yang terlibat: generator stabilizer dan kesalahan itu sendiri.

Misalkan kita sudah meng-encode sebuah qubit menggunakan kode repetisi 3-bit, dan sebuah kesalahan bit-flip terjadi pada qubit paling kiri. Ini menyebabkan state $\vert\psi\rangle$ ditransformasi sesuai dengan aksi sebuah operasi $X$ (atau kesalahan $X$).

$$\vert\psi\rangle \mapsto (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle$$

Kesalahan ini bisa dideteksi dengan melakukan pengecekan paritas untuk kode repetisi 3-bit, seperti yang dibahas di pelajaran sebelumnya, yang ekuivalen dengan mengukur secara non-destruktif generator stabilizer $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ dan $\mathbb{I}\otimes Z\otimes Z$ sebagai observable.

Mari kita mulai dengan generator stabilizer pertama. State $\vert\psi\rangle$ telah dipengaruhi oleh kesalahan $X$ pada qubit paling kiri, dan tujuan kita adalah memahami bagaimana pengukuran generator stabilizer ini, sebagai observable, dipengaruhi oleh kesalahan ini. Karena $X$ dan $Z$ anti-commute, sedangkan setiap matriks commute dengan matriks identitas, maka $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ anti-commute dengan $X\otimes\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}.$ Sementara itu, karena $\vert\psi\rangle$ adalah encoding valid dari sebuah qubit, $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ beraksi trivial pada $\vert\psi\rangle.$

$$\begin{aligned} (Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle & = -(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})\vert\psi\rangle \\ & = -(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle \end{aligned}$$

Oleh karena itu, $(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle$ adalah eigenvector dari $Z \otimes Z \otimes \mathbb{I}$ dengan eigenvalue $-1.$ Ketika pengukuran yang terkait dengan observable $Z \otimes Z \otimes \mathbb{I}$ dilakukan pada state $(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle,$ hasilnya pasti adalah yang terkait dengan eigenvalue $-1.$

Penalaran serupa bisa diterapkan pada generator stabilizer kedua, tapi kali ini kesalahan commute dengan generator stabilizer alih-alih anti-commute, sehingga hasil untuk pengukuran ini adalah yang terkait dengan eigenvalue $+1.$

$$\begin{aligned} (\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z)(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle & = (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z)\vert\psi\rangle\\ & = (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle \end{aligned}$$

Yang kita temukan ketika mempertimbangkan persamaan-persamaan ini adalah bahwa, terlepas dari state awal $\vert\psi\rangle$ kita, state yang rusak adalah eigenvector dari kedua generator stabilizer, dan apakah eigenvalue-nya $+1$ atau $-1$ ditentukan oleh apakah kesalahan commute atau anti-commute dengan setiap generator stabilizer. Untuk kesalahan yang direpresentasikan oleh operasi Pauli, selalu akan satu atau yang lain, karena dua operasi Pauli mana pun selalu commute atau anti-commute. Sementara itu, state aktual $\vert\psi\rangle$ tidak memainkan peran penting, kecuali fakta bahwa generator stabilizer beraksi trivial pada state ini.

Karena alasan ini, kita benar-benar tidak perlu memperhatikan secara umum state yang di-encode spesifik yang sedang kita kerjakan. Yang penting adalah apakah kesalahan commute atau anti-commute dengan setiap generator stabilizer. Secara khusus, inilah persamaan yang relevan berkaitan dengan kesalahan tertentu untuk kode ini.

$$\begin{aligned} (Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) & = -(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})\\[1mm] (\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z)(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) & = (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z) \end{aligned}$$

Berikut adalah tabel dengan satu baris untuk setiap generator stabilizer dan satu kolom untuk setiap kesalahan. Entri dalam tabel adalah $+1$ atau $-1$ tergantung pada apakah kesalahan dan generator stabilizer commute atau anti-commute. Tabel hanya mencakup kolom untuk kesalahan yang sesuai dengan satu bit-flip, serta tidak ada kesalahan sama sekali, yang dijelaskan oleh identitas yang ditensor dengan dirinya sendiri tiga kali. Kita bisa menambahkan lebih banyak kolom untuk kesalahan lain, tapi untuk sekarang fokus kita hanya pada kesalahan-kesalahan ini.

$$\begin{array}{c|cccc} & \mathbb{I}\otimes\mathbb{I} \otimes\mathbb{I} & X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} & \mathbb{I}\otimes X\otimes\mathbb{I} & \mathbb{I} \otimes\mathbb{I} \otimes X \\ \hline Z\otimes Z\otimes\mathbb{I} & +1 & -1 & -1 & +1 \\ \mathbb{I}\otimes Z\otimes Z & +1 & +1 & -1 & -1 \end{array}$$

Untuk setiap kesalahan dalam tabel, kolom yang sesuai karenanya mengungkapkan bagaimana kesalahan tersebut mentransformasi encoding apa pun menjadi eigenvector $+1$ atau $-1$ dari setiap generator stabilizer. Secara ekuivalen, kolom-kolom tersebut menggambarkan sindrom yang akan kita dapatkan dari pengecekan paritas, yang ekuivalen dengan pengukuran non-destruktif dari generator stabilizer sebagai observable. Tentu saja, tabelnya memiliki entri $+1$ dan $-1$ alih-alih entri $0$ dan $1$ — dan umum untuk memikirkan sindrom sebagai string biner alih-alih kolom entri $+1$ dan $-1$ — tapi kita bisa sama-sama memikirkan vektor-vektor ini dengan entri $+1$ dan $-1$ sebagai sindrom untuk menghubungkannya langsung ke eigenvalue dari generator stabilizer. Secara umum, sindrom memberi tahu kita sesuatu tentang kesalahan yang terjadi, dan jika kita tahu bahwa salah satu dari empat kemungkinan kesalahan yang tercantum dalam tabel terjadi, sindrom menunjukkan mana yang terjadi.

Sindrom

Encoding untuk kode repetisi 3-bit adalah state 3-qubit, sehingga mereka adalah vektor unit dalam ruang vektor kompleks 8-dimensi. Empat kemungkinan sindrom secara efektif membagi ruang 8-dimensi ini menjadi empat subruang 2-dimensi, di mana vektor state kuantum di setiap subruang selalu menghasilkan sindrom yang sama. Diagram berikut mengilustrasikan secara khusus bagaimana ruang 8-dimensi dibagi oleh dua generator stabilizer.

Setiap generator stabilizer membagi ruang menjadi dua subruang dengan dimensi yang sama, yaitu ruang eigenvector $+1$ dan ruang eigenvector $-1$ untuk observable tersebut. Misalnya, eigenvector $+1$ dari $Z\otimes Z\otimes\mathbb{I}$ adalah kombinasi linear dari state basis standar di mana dua bit paling kiri memiliki paritas genap, dan eigenvector $-1$ adalah kombinasi linear dari state basis standar di mana dua bit paling kiri memiliki paritas ganjil. Situasinya serupa untuk generator stabilizer lainnya, kecuali bahwa untuk yang satu ini adalah dua bit paling kanan alih-alih dua bit paling kiri.

Empat subruang 2-dimensi yang sesuai dengan empat kemungkinan sindrom mudah dijelaskan dalam kasus ini, mengingat fakta bahwa ini adalah kode yang sangat sederhana. Secara khusus, subruang yang sesuai dengan sindrom $(+1,+1)$ adalah ruang yang direntangkan oleh $\vert 000\rangle$ dan $\vert 111\rangle$, yang merupakan ruang encoding yang valid (juga dikenal sebagai ruang kode), dan secara umum ruang-ruang tersebut direntangkan oleh basis standar yang ditunjukkan dalam kotak yang sesuai.

Sindrom juga mempartisi semua operasi Pauli 3-qubit menjadi 4 koleksi berukuran sama, tergantung pada sindrom mana yang akan disebabkan oleh operasi tersebut (sebagai kesalahan). Misalnya, operasi Pauli mana pun yang commute dengan kedua generator stabilizer menghasilkan sindrom $(+1,+1),$ dan di antara 64 kemungkinan operasi Pauli 3-qubit, ada tepat 16 di antaranya dalam kategori ini (termasuk $\mathbb{I}\otimes \mathbb{I}\otimes Z,$ $Z\otimes Z\otimes Z,$ dan $X\otimes X\otimes X$ misalnya), dan demikian juga untuk 3 sindrom lainnya.

Kedua properti ini — bahwa sindrom mempartisi baik ruang state tempat encoding berada maupun semua operasi Pauli pada ruang ini menjadi koleksi berukuran sama — berlaku secara umum untuk kode stabilizer, yang akan kita definisikan secara tepat di bagian selanjutnya.

Meskipun ini terutama sebagai tambahan pada titik ini, perlu disebutkan bahwa operasi Pauli yang commute dengan kedua generator stabilizer, atau ekuivalennya operasi Pauli yang menghasilkan sindrom $(+1,+1),$ tapi bukan sendiri proporsional dengan elemen stabilizer, ternyata berperilaku seperti operasi Pauli qubit tunggal pada qubit yang di-encode (yaitu, qubit logis) untuk kode ini. Misalnya, $X\otimes X \otimes X$ commute dengan kedua generator stabilizer, tapi itu sendiri tidak proporsional dengan elemen mana pun dalam stabilizer, dan memang efek dari operasi ini pada encoding setara dengan Gate $X$ pada qubit logis yang di-encode.

$$(X\otimes X \otimes X)(\alpha \vert 000\rangle + \beta \vert 111\rangle) = \alpha \vert 111\rangle + \beta \vert 000\rangle$$

Sekali lagi, ini adalah fenomena yang berlaku untuk semua kode stabilizer.