Operasi Pauli dan observabel

Matriks Pauli memainkan peran sentral dalam formalisme stabilizer. Kita akan memulai pelajaran dengan diskusi tentang matriks Pauli, termasuk beberapa sifat aljabar dasarnya, dan kita juga akan membahas bagaimana matriks Pauli (dan produk tensor dari matriks Pauli) dapat menggambarkan pengukuran.

Dasar-dasar operasi Pauli

Berikut adalah matriks Pauli, termasuk matriks identitas $2\times 2$ dan tiga matriks Pauli non-identitas.

$$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad X = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad Y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix} \qquad Z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Sifat-sifat matriks Pauli

Keempat matriks Pauli semuanya bersifat uniter dan Hermitian. Kita menggunakan nama $\sigma_x,$ $\sigma_y,$ dan $\sigma_z$ untuk merujuk pada matriks Pauli non-identitas sebelumnya dalam seri ini, tetapi lazim menggunakan huruf kapital $X,$ $Y,$ dan $Z$ dalam konteks koreksi kesalahan. Konvensi ini diikuti dalam pelajaran sebelumnya, dan kita akan terus melakukannya untuk pelajaran yang tersisa.

Matriks Pauli non-identitas yang berbeda anti-komut satu sama lain.

$$XY = -YX \qquad XZ = -ZX \qquad YZ = -ZY$$

Relasi anti-komutasi ini sederhana dan mudah diverifikasi dengan melakukan perkalian, tetapi sangat penting, dalam formalisme stabilizer dan di tempat lain. Seperti yang akan kita lihat, tanda minus yang muncul ketika urutan antara dua matriks Pauli non-identitas yang berbeda dibalik dalam hasil kali matriks bersesuaian tepat dengan deteksi kesalahan dalam formalisme stabilizer.

Kita juga memiliki aturan perkalian yang tercantum di sini.

$$XX = YY = ZZ = \mathbb{I} \qquad XY = iZ \qquad YZ = iX \qquad ZX = iY$$

Artinya, setiap matriks Pauli adalah kebalikannya sendiri (yang selalu benar untuk setiap matriks yang bersifat uniter dan Hermitian), dan mengalikan dua matriks Pauli non-identitas yang berbeda selalu menghasilkan $\pm i$ kali matriks Pauli non-identitas yang tersisa. Khususnya, hingga faktor fase, $Y$ setara dengan $X Z,$ yang menjelaskan fokus kita pada kesalahan $X$ dan $Z$ dan tampak kurangnya minat pada kesalahan $Y$ dalam koreksi kesalahan kuantum; $X$ merepresentasikan bit-flip, $Z$ merepresentasikan phase-flip, dan sehingga (hingga faktor fase global) $Y$ merepresentasikan kedua kesalahan tersebut yang terjadi secara bersamaan pada qubit yang sama.

Operasi Pauli pada beberapa qubit

Keempat matriks Pauli semuanya merepresentasikan operasi (yang bisa berupa kesalahan) pada qubit tunggal — dan dengan mentensor mereka bersama kita mendapatkan operasi pada beberapa qubit. Sebagai terminologi, ketika kita merujuk pada operasi Pauli n-qubit, kita maksudkan produk tensor dari $n$ matriks Pauli mana pun, seperti contoh yang ditampilkan di sini, untuk $n=9.$

$$\begin{gathered} \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \\[1mm] X \otimes X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \\[1mm] X \otimes Y \otimes Z \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes X \otimes Y \otimes Z \end{gathered}$$

Seringkali, istilah operasi Pauli mengacu pada produk tensor dari matriks Pauli bersama dengan faktor fase, atau terkadang hanya faktor fase tertentu seperti $\pm 1$ dan $\pm i.$ Ada alasan yang baik untuk mengizinkan faktor fase seperti ini dari sudut pandang matematis — tetapi, untuk menjaga hal-hal sesederhana mungkin, kita akan menggunakan istilah operasi Pauli dalam kursus ini untuk merujuk pada produk tensor dari matriks Pauli tanpa kemungkinan faktor fase yang berbeda dari 1.

Bobot dari operasi Pauli $n$-qubit adalah jumlah matriks Pauli non-identitas dalam produk tensor. Misalnya, contoh pertama di atas memiliki bobot $0,$ yang kedua memiliki bobot $2,$ dan yang ketiga memiliki bobot $6.$ Secara intuitif, bobot dari operasi Pauli $n$-qubit adalah jumlah qubit yang menjadi aksinya secara non-trivial. Biasanya kode koreksi kesalahan kuantum dirancang sehingga dapat mendeteksi dan mengoreksi kesalahan yang direpresentasikan oleh operasi Pauli selama bobotnya tidak terlalu tinggi.

Operasi Pauli sebagai generator

Kadang berguna untuk mempertimbangkan kumpulan operasi Pauli sebagai generator dari himpunan (lebih spesifik, grup) operasi, dalam arti aljabar yang mungkin kamu kenali jika kamu familiar dengan teori grup. Jika kamu tidak familiar dengan teori grup, tidak apa-apa — itu tidak penting untuk pelajaran. Namun keakraban dengan dasar-dasar teori grup sangat direkomendasikan bagi mereka yang tertarik menjelajahi koreksi kesalahan kuantum lebih dalam.

Misalkan $P_1, \ldots, P_r$ adalah operasi Pauli $n$-qubit. Ketika kita merujuk pada himpunan yang dibangkitkan oleh $P_1, \ldots, P_r,$ kita maksudkan himpunan semua matriks yang dapat diperoleh dengan mengalikan matriks-matriks ini bersama, dalam kombinasi apa pun dan dalam urutan apa pun yang kita pilih, mengambil masing-masing sebanyak yang kita suka. Notasi yang digunakan untuk merujuk pada himpunan ini adalah $\langle P_1, \ldots, P_r \rangle.$

Misalnya, himpunan yang dibangkitkan oleh tiga matriks Pauli non-identitas adalah sebagai berikut.

$$\langle X, Y, Z \rangle = \bigl\{\alpha P\,:\,\alpha\in\{1,i,-1,-i\},\; P\in\{\mathbb{I},X,Y,Z\} \bigr\}$$

Ini dapat ditelusuri melalui aturan perkalian yang terdaftar sebelumnya. Ada 16 matriks berbeda dalam himpunan ini, yang umumnya disebut grup Pauli.

Sebagai contoh kedua, jika kita menghapus $Y,$ kita mendapatkan setengah dari grup Pauli.

$$\langle X, Z\rangle = \{ \mathbb{I}, X, Z, -iY, -\mathbb{I}, -X, -Z, iY \}$$

Berikut adalah satu contoh terakhir (untuk saat ini), di mana kali ini kita memiliki $n=2.$

$$\langle X \otimes X, Z \otimes Z\rangle = \{ \mathbb{I}\otimes\mathbb{I}, X\otimes X, Z\otimes Z, -Y\otimes Y \}$$

Dalam kasus ini kita hanya mendapatkan empat elemen, karena fakta bahwa $X\otimes X$ dan $Z\otimes Z$ komut:

$$\begin{aligned} (X\otimes X)(Z\otimes Z) & = (XZ) \otimes (XZ)\\ & = (-ZX)\otimes (-ZX)\\ & = (ZX)\otimes (ZX)\\ & = (Z\otimes Z)(X\otimes X). \end{aligned}$$

Observabel Pauli

Matriks Pauli, dan operasi Pauli $n$-qubit secara lebih umum, bersifat uniter, dan karenanya menggambarkan operasi uniter pada qubit. Tetapi mereka juga merupakan matriks Hermitian, dan untuk alasan ini mereka menggambarkan pengukuran, seperti yang akan dijelaskan sekarang.

Observabel matriks Hermitian

Pertimbangkan pertama matriks Hermitian sembarang $A.$ Ketika kita merujuk pada $A$ sebagai observabel, kita mengasosiasikan dengan $A$ sebuah pengukuran proyektif yang terdefinisi secara unik. Dengan kata-kata, kemungkinan hasil adalah nilai eigen berbeda dari $A,$ dan proyeksi yang mendefinisikan pengukuran adalah yang memproyeksikan ke ruang yang direntangkan oleh vektor eigen yang bersesuaian dari $A.$ Jadi, hasil untuk pengukuran semacam itu ternyata adalah bilangan real — tetapi karena matriks hanya memiliki sejumlah terbatas nilai eigen, hanya akan ada sejumlah hasil pengukuran yang berbeda untuk pilihan $A$ yang diberikan.

Secara lebih rinci, berdasarkan teorema spektral, dimungkinkan untuk menulis

$$A = \sum_{k = 1}^m \lambda_k \Pi_k$$

untuk nilai eigen bilangan real berbeda $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ dan proyeksi $\Pi_1,\ldots,\Pi_m$ yang memenuhi

$$\Pi_1 + \cdots + \Pi_m = \mathbb{I}.$$

Ekspresi matriks seperti itu unik hingga pengurutan nilai eigen. Cara lain untuk mengatakannya adalah bahwa, jika kita bersikeras bahwa nilai eigen diurutkan dalam nilai yang menurun $\lambda_1 > \lambda_2 > \cdots > \lambda_m,$ maka hanya ada satu cara untuk menulis $A$ dalam bentuk di atas.

Berdasarkan ekspresi ini, pengukuran yang kita kaitkan dengan observabel $A$ adalah pengukuran proyektif yang digambarkan oleh proyeksi $\Pi_1,\ldots,\Pi_m,$ dan nilai eigen $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ dipahami sebagai hasil pengukuran yang bersesuaian dengan proyeksi ini.

Pengukuran dari operasi Pauli

Mari kita lihat seperti apa pengukuran dari jenis yang baru saja dijelaskan untuk operasi Pauli, dimulai dengan tiga matriks Pauli non-identitas. Matriks-matriks ini memiliki dekomposisi spektral sebagai berikut.

$$\begin{gathered} X = \vert {+} \rangle\langle {+} \vert - \vert {-} \rangle\langle {-} \vert\\ Y = \vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert - \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert\\ Z = \vert {0} \rangle\langle {0} \vert - \vert {1} \rangle\langle {1} \vert \end{gathered}$$

Pengukuran yang didefinisikan oleh $X,$ $Y,$ dan $Z,$ dipandang sebagai observabel, karenanya adalah pengukuran proyektif yang didefinisikan oleh himpunan proyeksi berikut, masing-masing.

$$\begin{gathered} \bigl\{\vert {+} \rangle\langle {+} \vert, \vert {-} \rangle\langle {-} \vert \bigr\} \\ \bigl\{\vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert, \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert\bigr\} \\ \bigl\{\vert {0} \rangle\langle {0} \vert, \vert {1} \rangle\langle {1} \vert\bigr\} \end{gathered}$$

Dalam ketiga kasus, dua kemungkinan hasil pengukuran adalah nilai eigen $+1$ dan $-1.$ Pengukuran semacam itu umumnya disebut pengukuran $X$, pengukuran $Y$, dan pengukuran $Z$. Kita menemukan pengukuran-pengukuran ini dalam pelajaran "Pengukuran umum" dari "Formulasi umum informasi kuantum," di mana mereka muncul dalam konteks tomografi keadaan kuantum.

Tentu saja, pengukuran $Z$ pada dasarnya hanyalah pengukuran basis standar dan pengukuran $X$ adalah pengukuran terhadap basis plus/minus dari qubit — tetapi, karena pengukuran-pengukuran ini dijelaskan di sini, kita mengambil nilai eigen $+1$ dan $-1$ sebagai hasil pengukuran yang sebenarnya.

Resep yang sama dapat diikuti untuk operasi Pauli pada $n\geq 2$ qubit, meskipun harus ditekankan bahwa masih hanya akan ada dua kemungkinan hasil untuk pengukuran yang dijelaskan dengan cara ini: $+1$ dan $-1,$ yang merupakan satu-satunya nilai eigen yang mungkin dari operasi Pauli. Dua proyeksi yang bersesuaian karenanya akan memiliki peringkat yang lebih tinggi dari satu dalam kasus ini. Lebih tepatnya, untuk setiap operasi Pauli $n$-qubit non-identitas, ruang keadaan berdimensi $2^n$ selalu terbagi menjadi dua subruang vektor eigen dengan dimensi yang sama, sehingga dua proyeksi yang mendefinisikan pengukuran yang terkait keduanya akan memiliki peringkat $2^{n-1}.$

Pengukuran yang digambarkan oleh operasi Pauli $n$-qubit, dipandang sebagai observabel, karenanya bukan hal yang sama dengan pengukuran terhadap basis ortonormal dari vektor eigen dari operasi tersebut, juga bukan hal yang sama dengan mengukur masing-masing matriks Pauli yang bersesuaian secara independen, sebagai observabel, pada $n$ qubit. Kedua alternatif tersebut akan membutuhkan $2^n$ kemungkinan hasil pengukuran, tetapi di sini kita hanya memiliki dua kemungkinan hasil $+1$ dan $-1.$

Sebagai contoh, pertimbangkan operasi Pauli 2-qubit $Z\otimes Z$ sebagai observabel. Kita dapat secara efektif mengambil produk tensor dari dekomposisi spektral untuk mendapatkan satu untuk produk tensor.

$$\begin{aligned} Z\otimes Z & = (\vert 0\rangle\langle 0\vert - \vert 1\rangle\langle 1\vert) \otimes (\vert 0\rangle\langle 0\vert - \vert 1\rangle\langle 1\vert)\\ & = \bigl( \vert 00\rangle\langle 00\vert + \vert 11\rangle\langle 11\vert \bigr) - \bigl( \vert 01\rangle\langle 01\vert + \vert 10\rangle\langle 10\vert \bigr) \end{aligned}$$

Artinya, kita memiliki $Z\otimes Z = \Pi_0 - \Pi_1$ untuk

$$\Pi_0 = \vert 00\rangle\langle 00\vert + \vert 11\rangle\langle 11\vert \quad\text{dan}\quad \Pi_1 = \vert 01\rangle\langle 01\vert + \vert 10\rangle\langle 10\vert,$$

jadi ini adalah dua proyeksi yang mendefinisikan pengukuran. Jika, misalnya, kita ingin mengukur keadaan Bell $\vert\phi^+\rangle$ secara non-destruktif menggunakan pengukuran ini, maka kita pasti mendapatkan hasil $+1,$ dan keadaan tidak akan berubah sebagai akibat dari pengukuran. Khususnya, keadaan tidak akan runtuh ke $\vert 00\rangle$ atau $\vert 11\rangle.$

Implementasi non-destruktif melalui estimasi fase

Untuk operasi Pauli $n$-qubit mana pun, kita dapat melakukan pengukuran yang terkait dengan observabel tersebut secara non-destruktif menggunakan estimasi fase.

Berikut adalah circuit berdasarkan estimasi fase yang bekerja untuk matriks Pauli $P$ mana pun, di mana pengukuran dilakukan pada qubit teratas. Hasil $0$ dan $1$ dari pengukuran basis standar dalam circuit bersesuaian dengan nilai eigen $+1$ dan $-1,$ seperti yang biasanya kita miliki untuk estimasi fase dengan satu qubit kontrol. (Perhatikan bahwa qubit kontrol ada di bagian bawah dalam diagram ini, sedangkan dalam pelajaran "Estimasi fase dan pemfaktoran" dari "Dasar-dasar algoritma kuantum" qubit kontrol digambar di bagian atas.)

Metode serupa bekerja untuk operasi Pauli pada beberapa qubit. Misalnya, diagram circuit berikut mengilustrasikan pengukuran non-destruktif dari observabel Pauli $3$-qubit $P_2\otimes P_1\otimes P_0,$ untuk pilihan $P_0,P_1,P_2 \in \{X,Y,Z\}$ mana pun.

Pendekatan ini digeneralisasikan ke observabel Pauli $n$-qubit, untuk $n$ mana pun, dengan cara alami. Tentu saja, kita hanya perlu menyertakan gate controlled-unitary untuk faktor tensor non-identitas dari observabel Pauli saat mengimplementasikan pengukuran semacam itu; gate controlled-identity hanyalah gate identitas dan karenanya dapat dihilangkan. Ini berarti observabel Pauli dengan bobot yang lebih rendah memerlukan circuit yang lebih kecil untuk diimplementasikan melalui pendekatan ini.

Perhatikan bahwa, terlepas dari $n,$ circuit estimasi fase ini hanya memiliki satu qubit kontrol, yang konsisten dengan fakta bahwa hanya ada dua kemungkinan hasil pengukuran untuk pengukuran-pengukuran ini. Menggunakan lebih banyak qubit kontrol tidak akan mengungkapkan informasi tambahan karena pengukuran-pengukuran ini sudah sempurna menggunakan satu qubit kontrol. (Satu cara untuk melihat ini adalah langsung dari prosedur umum estimasi fase: asumsi $U^2 = \mathbb{I}$ membuat qubit kontrol tambahan mana pun di luar yang pertama menjadi tidak berguna.)

Berikut adalah contoh spesifik, dari implementasi non-destruktif dari pengukuran $Z\otimes Z$, yang relevan dengan deskripsi kode repetisi 3-bit sebagai kode stabilizer yang akan kita lihat segera.

Dalam kasus ini, dan untuk produk tensor dari lebih dari dua observabel $Z$ secara lebih umum, circuit dapat disederhanakan.

Jadi, pengukuran ini setara dengan mengukur secara non-destruktif paritas (atau XOR) dari keadaan basis standar dari dua qubit.