Teorema ambang

Topik diskusi terakhir untuk pelajaran ini adalah teorema yang sangat penting yang dikenal sebagai teorema ambang. Berikut adalah pernyataan yang agak informal dari teorema ini.

Teorema

Teorema ambang: Sebuah Circuit kuantum berukuran $N$ bisa diimplementasikan dengan akurasi tinggi oleh Circuit kuantum yang noisy, asalkan probabilitas kesalahan di setiap lokasi dalam Circuit yang noisy berada di bawah nilai ambang tetap yang bukan nol $p_{\text{th}} > 0.$ Ukuran Circuit yang noisy meningkat sebagai $O(N \log^c(N))$ untuk konstanta positif $c.$

Sederhananya, teorema ini menyatakan bahwa jika kita memiliki Circuit kuantum mana pun dengan $N$ gate, di mana $N$ bisa sebesar yang kita inginkan, maka dimungkinkan untuk mengimplementasikan Circuit tersebut dengan akurasi tinggi menggunakan Circuit kuantum yang noisy, asalkan tingkat noise berada di bawah nilai ambang tertentu yang independen dari N. Selain itu, tidak terlalu mahal untuk melakukan ini, dalam arti bahwa ukuran Circuit noisy yang diperlukan adalah dalam urutan $N$ dikalikan dengan beberapa pangkat konstan dari logaritma $N.$

Untuk menyatakan teorema secara lebih formal memerlukan kekhususan tentang model noise, yang tidak akan dilakukan dalam pelajaran ini. Misalnya, teorema ini bisa dibuktikan untuk model noise stokastik independen yang disebutkan sebelumnya, di mana kesalahan terjadi secara independen di setiap lokasi yang mungkin dalam Circuit dengan probabilitas yang secara ketat lebih kecil dari nilai ambang, tetapi juga bisa dibuktikan untuk model noise yang lebih umum di mana ada korelasi di antara kesalahan.

Ini adalah hasil teoretis, dan cara paling umum pembuktiannya tidak selalu diterjemahkan ke pendekatan praktis, tetapi tetap memiliki kepentingan praktis yang besar. Khususnya, teorema ini menetapkan bahwa tidak ada hambatan fundamental untuk melakukan komputasi kuantum menggunakan komponen yang noisy; selama tingkat kesalahan untuk komponen-komponen ini berada di bawah nilai ambang, mereka bisa digunakan untuk membangun Circuit kuantum yang andal dengan ukuran sembarangan. Cara alternatif untuk menyatakan kepentingannya adalah dengan mengamati bahwa, jika teorema ini tidak benar, akan sulit membayangkan komputasi kuantum berskala besar pernah menjadi kenyataan.

Ada banyak detail teknis yang terlibat dalam pembuktian formal dari (pernyataan formal) teorema ini, dan detail tersebut tidak akan dikomunikasikan di sini — tetapi ide-ide penting tetap bisa dijelaskan pada tingkat intuitif. Untuk membuat penjelasan ini sesederhana mungkin, mari kita bayangkan bahwa kita menggunakan kode Steane $7$-Qubit untuk koreksi kesalahan. Ini akan menjadi pilihan yang tidak praktis untuk implementasi fisik yang sebenarnya — sebagaimana tercermin dari nilai ambang yang sangat kecil $p_{\text{th}}$ — tetapi berhasil menyampaikan ide-ide utama. Penjelasan ini juga akan cukup tidak peduli tentang model noise, dengan asumsi bahwa kesalahan melanda setiap lokasi dalam implementasi toleran terhadap kesalahan secara independen dengan probabilitas $p.$

Sekarang, jika probabilitas $p$ lebih besar dari kebalikan $N$, ukuran Circuit yang ingin kita implementasikan, kemungkinan besar kesalahan akan terjadi di suatu tempat. Jadi, kita bisa mencoba menjalankan implementasi toleran terhadap kesalahan dari Circuit ini, mengikuti resep yang diuraikan dalam pelajaran. Kita kemudian bisa bertanya kepada diri sendiri pertanyaan yang disarankan sebelumnya: Apakah ini membuat segalanya lebih baik atau lebih buruk?

Jika probabilitas $p$ kesalahan di setiap lokasi terlalu besar, maka upaya kita tidak akan membantu dan bahkan mungkin memperburuk keadaan, sama seperti kode Shor $9$-Qubit tidak membantu jika probabilitas kesalahan di atas 3,23% atau lebih. Khususnya, implementasi toleran terhadap kesalahan jauh lebih besar dari Circuit asli kita, sehingga ada lebih banyak lokasi di mana kesalahan bisa terjadi.

Namun, jika $p$ cukup kecil, maka kita akan berhasil mengurangi probabilitas kesalahan untuk komputasi logis yang kita lakukan. (Dalam pembuktian formal, kita perlu sangat berhati-hati pada titik ini: kesalahan dalam komputasi logis tidak akan selalu dijelaskan secara akurat oleh model noise asli. Ini, sebenarnya, memotivasi model noise yang kurang toleran di mana kesalahan mungkin tidak independen — tetapi kita akan mengabaikan detail ini demi penjelasan ini.)

Lebih rincinya, agar kesalahan logis terjadi dalam Circuit asli, setidaknya dua kesalahan harus jatuh ke blok kode yang sama dalam implementasi toleran terhadap kesalahan, mengingat bahwa kode Steane bisa mengoreksi kesalahan tunggal mana pun dalam blok kode. Mengingat bahwa ada banyak cara berbeda untuk memiliki dua atau lebih kesalahan dalam blok kode yang sama, dimungkinkan untuk berargumen bahwa probabilitas kesalahan logis di setiap lokasi dalam Circuit asli adalah paling banyak $C p^2$ untuk beberapa bilangan real positif tetap $C$ yang bergantung pada kode dan gadget yang kita gunakan, tetapi yang krusial tidak bergantung pada $N,$ ukuran Circuit asli. Jika $p$ lebih kecil dari $1/C,$ yang merupakan angka yang bisa kita ambil sebagai nilai ambang $p_{\text{th}},$ ini diterjemahkan ke pengurangan kesalahan.

Namun, tingkat kesalahan baru ini mungkin masih terlalu tinggi untuk memungkinkan seluruh Circuit bekerja dengan benar. Hal alami yang harus dilakukan pada titik ini adalah memilih kode yang lebih baik dan gadget yang lebih baik untuk mendorong tingkat kesalahan turun ke titik di mana implementasi kemungkinan akan berhasil. Secara teoretis, cara sederhana untuk berargumen bahwa ini dimungkinkan adalah dengan mengkonkatenasi. Artinya, kita bisa memikirkan implementasi toleran terhadap kesalahan dari Circuit asli seolah-olah Circuit lain mana pun, dan kemudian mengimplementasikan Circuit baru ini secara toleran terhadap kesalahan, menggunakan skema yang sama. Kita kemudian bisa melakukan ini lagi dan lagi, sebanyak yang kita butuhkan untuk mengurangi tingkat kesalahan ke tingkat yang memungkinkan komputasi asli berfungsi.

Untuk mendapatkan gambaran kasar tentang bagaimana tingkat kesalahan berkurang melalui metode ini, mari kita pertimbangkan cara kerjanya untuk beberapa iterasi. Perhatikan bahwa analisis yang ketat perlu memperhitungkan berbagai detail teknis yang kita abaikan di sini.

Kita mulai dengan probabilitas kesalahan $p$ untuk lokasi dalam Circuit asli. Dengan mengasumsikan bahwa $p < p_{\text{th}} = 1/C,$ tingkat kesalahan logis bisa dibatasi oleh $Cp^2 = (Cp) p$ setelah iterasi pertama. Dengan memperlakukan implementasi toleran terhadap kesalahan sebagai Circuit lain mana pun, dan mengimplementasikannya secara toleran terhadap kesalahan, kita memperoleh batas pada tingkat kesalahan logis sebesar

$$C \bigl((Cp) p \bigr)^2 = (Cp)^3 p.$$

Iterasi lain mengurangi batas kesalahan lebih lanjut, menjadi

$$C \bigl((Cp)^3 p \bigr)^2 = (Cp)^7 p.$$

Melanjutkan dengan cara ini untuk total $k$ iterasi menghasilkan tingkat kesalahan logis (untuk Circuit asli) yang dibatasi oleh

$$(Cp)^{2^k - 1} p,$$

yang eksponensial ganda dalam $k.$

Ini berarti kita tidak membutuhkan terlalu banyak iterasi untuk membuat tingkat kesalahan sangat kecil. Sementara itu, Circuit semakin besar dengan setiap level konkatenasi, tetapi ukurannya hanya meningkat secara eksponensial tunggal dalam jumlah level $k.$ Ini karena, dengan setiap level toleransi kesalahan, ukuran tumbuh paling banyak oleh faktor yang ditentukan oleh ukuran maksimum gadget yang digunakan. Ketika semuanya digabungkan, dan pilihan yang tepat untuk jumlah level konkatenasi dibuat, kita memperoleh teorema ambang.

Jadi, berapa nilai ambang ini dalam kenyataannya? Jawabannya bergantung pada kode dan gadget yang digunakan. Untuk kode Steane bersama dengan distilasi magic state, nilainya sangat kecil dan kemungkinan tidak bisa dicapai dalam praktik. Namun, menggunakan kode permukaan dan gadget mutakhir, ambangnya diperkirakan berada pada urutan 0,1% hingga 1%.

Seiring dengan ditemukannya kode dan metode baru, wajar untuk mengharapkan nilai ambang meningkat, sementara secara bersamaan tingkat noise dalam komponen fisik aktual akan berkurang. Mencapai titik di mana komputasi kuantum berskala besar bisa diimplementasikan secara toleran terhadap kesalahan tidak akan mudah, dan tidak akan terjadi dalam semalam. Namun, teorema ini, bersama dengan kemajuan dalam kode kuantum dan perangkat keras kuantum, memberi kita optimisme saat kita terus mendorong maju untuk mencapai tujuan akhir membangun komputer kuantum berskala besar yang toleran terhadap kesalahan.

Survei pasca-kursus

Selamat telah menyelesaikan kursus ini! Tolong luangkan waktu sebentar untuk membantu kami meningkatkan kursus ini dengan mengisi survei singkat berikut. Masukan kamu akan digunakan untuk meningkatkan konten dan pengalaman pengguna kami. Terima kasih!

Note: This survey is provided by IBM Quantum and relates to the original English content. To give feedback on doQumentation's website, translations, or code execution, please open a GitHub issue.