Keluarga kode lainnya

Sudah lebih dari 25 tahun sejak kode torik ditemukan, dan ada banyak penelitian tentang kode koreksi kesalahan kuantum sejak saat itu, termasuk penemuan kode kuantum topologis lainnya yang terinspirasi oleh kode torik, serta kode yang berdasarkan ide-ide berbeda. Daftar lengkap konstruksi kode koreksi kesalahan kuantum yang diketahui tidak mungkin dimasukkan di sini — tetapi kita hanya akan membahas sekilas beberapa contoh yang menonjol.

Kode permukaan

Ternyata, kode torik sebenarnya tidak harus memiliki batas periodik. Artinya, dimungkinkan untuk memotong hanya sebagian dari kode torik dan meletakkannya secara datar pada permukaan dua dimensi, daripada torus, untuk mendapatkan kode koreksi kesalahan kuantum — asalkan generator stabilizer di tepi didefinisikan dengan benar. Yang kita dapatkan disebut kode permukaan.

Misalnya, berikut adalah diagram kode permukaan, di mana kisi dipotong dengan tepi kasar di atas dan bawah dan tepi halus di samping. Kasus tepi untuk generator stabilizer didefinisikan secara alami, yaitu operasi Pauli pada qubit yang "hilang" cukup diabaikan.

Kode permukaan dalam bentuk ini meng-encode satu qubit, daripada dua, seperti kode torik. Generator stabilizer kebetulan membentuk himpunan pembangkit minimal dalam kasus ini, tanpa perlu menghapus salah satu dari setiap jenis seperti pada kode torik. Namun, terlepas dari perbedaan-perbedaan ini, karakteristik penting dari kode torik diwarisi. Khususnya, kesalahan yang tidak terdeteksi yang tidak sepele untuk kode ini bersesuaian dengan rantai kesalahan yang membentang dari tepi kiri ke tepi kanan (untuk rantai kesalahan $X$) atau dari atas ke bawah (untuk rantai kesalahan $Z$).

Juga dimungkinkan untuk memotong tepi untuk kode permukaan secara diagonal untuk mendapatkan apa yang kadang disebut kode permukaan yang diputar, yang dinamai bukan karena kodenya diputar secara bermakna, tetapi karena diagram-nya diputar (45 derajat). Misalnya, berikut adalah diagram kode permukaan yang diputar dengan jarak 5.

Untuk jenis diagram ini, kotak hitam (termasuk yang dibulatkan di tepi) menunjukkan generator stabilizer $X$, di mana operasi $X$ diterapkan ke simpul (dua atau empat) dari setiap kotak, sementara kotak putih merepresentasikan generator stabilizer $Z$. Kode permukaan yang diputar memiliki properti serupa dengan kode permukaan (yang tidak diputar), tetapi lebih ekonomis dalam hal jumlah qubit yang digunakan.

Kode warna

Kode warna adalah kelas kode menarik lainnya, yang juga masuk dalam kategori umum kode kuantum topologis. Kode ini hanya akan dijelaskan secara singkat di sini.

Salah satu cara untuk memikirkan kode warna adalah dengan melihatnya sebagai generalisasi geometris dari kode Steane 7-Qubit. Dengan mempertimbangkan ini, mari kita pertimbangkan kembali kode Steane 7-Qubit, dan misalkan tujuh qubit dinamai dan diurutkan menggunakan konvensi penomoran Qiskit sebagai $(\mathsf{Q}_6,\mathsf{Q}_5,\mathsf{Q}_4,\mathsf{Q}_3,\mathsf{Q}_2,\mathsf{Q}_1,\mathsf{Q}_0)$. Ingat bahwa generator stabilizer untuk kode ini adalah sebagai berikut.

$$\begin{array}{ccccccc} Z & Z & Z & Z & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} \\[1mm] Z & Z & \mathbb{I} & \mathbb{I} & Z & Z & \mathbb{I} \\[1mm] Z & \mathbb{I} & Z & \mathbb{I} & Z & \mathbb{I} & Z \\[1mm] X & X & X & X & \mathbb{I} & \mathbb{I} & \mathbb{I} \\[1mm] X & X & \mathbb{I} & \mathbb{I} & X & X & \mathbb{I} \\[1mm] X & \mathbb{I} & X & \mathbb{I} & X & \mathbb{I} & X \end{array}$$

Jika kita mengasosiasikan ketujuh qubit ini dengan simpul-simpul graf berikut, kita menemukan bahwa generator stabilizer cocok persis dengan muka yang dibentuk oleh sisi-sisi graf.

Artinya, untuk setiap muka, ada generator stabilizer $Z$ dan generator stabilizer $X$ yang bekerja secara tidak sepele pada qubit yang ditemukan di simpul muka tersebut. Kode Steane 7-Qubit oleh karena itu memiliki lokalitas geometris, sehingga pada prinsipnya tidak perlu memindahkan qubit dalam jarak jauh untuk mengukur generator stabilizer. Fakta bahwa generator stabilizer $Z$ dan $X$ selalu bekerja secara tidak sepele pada set qubit yang persis sama juga bagus karena alasan yang terhubung dengan komputasi kuantum toleran terhadap kesalahan, yang merupakan topik untuk pelajaran berikutnya.

Kode warna adalah kode koreksi kesalahan kuantum (lebih tepatnya kode CSS) yang menggeneralisasi pola dasar ini, kecuali bahwa graf yang mendasarinya mungkin berbeda. Misalnya, berikut adalah graf dengan 19 simpul yang cocok. Graf ini mendefinisikan kode yang meng-encode satu qubit menjadi 19 qubit dan memiliki jarak 5 (artinya, kode stabilizer $[[19,1,5]]$).

Ini bisa dilakukan dengan banyak graf lainnya, termasuk keluarga graf yang semakin besar dan memiliki struktur menarik.

Kode warna dinamai demikian karena salah satu kondisi yang diperlukan pada graf yang mendefinisikannya adalah bahwa muka-mukanya bisa diwarnai tiga, artinya muka-muka tersebut masing-masing bisa diberi salah satu dari tiga warna sedemikian rupa sehingga tidak ada dua muka dengan warna yang sama yang berbagi sisi (seperti yang kita miliki dalam diagram sebelumnya). Warna-warna sebenarnya tidak penting untuk definisi kode itu sendiri — selalu ada generator stabilizer $Z$ dan $X$ untuk setiap muka, terlepas dari warnanya — tetapi warna-warna tersebut penting untuk menganalisis bagaimana kode bekerja.

Kode lainnya

Koreksi kesalahan kuantum adalah area penelitian yang aktif dan berkembang pesat. Mereka yang tertarik untuk mengeksplorasi lebih dalam mungkin ingin berkonsultasi dengan Error Correction Zoo, yang mencantumkan banyak contoh dan kategorisasi kode koreksi kesalahan kuantum.

Contoh: Kode gross

Kode gross adalah kode stabilizer $[[144,12,12]]$ yang baru-baru ini ditemukan. Kode ini mirip dengan kode torik, kecuali setiap generator stabilizer bekerja secara tidak sepele pada dua qubit tambahan, sedikit lebih jauh dari kotak atau simpul untuk generator tersebut (sehingga setiap generator stabilizer memiliki bobot 6). Keuntungan dari kode ini adalah bahwa kode ini bisa meng-encode 12 qubit, dibandingkan hanya dua untuk kode torik.