Diskretisasi kesalahan

Sejauh ini kita telah mempertimbangkan kesalahan $X$ dan kesalahan $Z$ dalam konteks kode Shor 9-Qubit, dan di bagian ini kita akan mempertimbangkan kesalahan yang sembarangan. Yang akan kita temukan adalah bahwa untuk menangani kesalahan seperti itu, kita tidak perlu melakukan sesuatu yang berbeda dari apa yang sudah kita bahas; kemampuan untuk mengoreksi kesalahan $X$, kesalahan $Z$, atau keduanya, berarti kemampuan untuk mengoreksi kesalahan yang sembarangan. Fenomena ini kadang disebut diskretisasi kesalahan.

Kesalahan Qubit uniter

Mari kita mulai dengan kesalahan uniter satu Qubit. Misalnya, kesalahan seperti itu bisa bersesuaian dengan rotasi kecil pada bola Bloch, yang mungkin merepresentasikan kesalahan yang terjadi akibat gate yang tidak sempurna. Atau bisa juga operasi uniter lainnya pada sebuah Qubit yang tidak harus dekat dengan identitas.

Mungkin terasa sulit untuk mengoreksi kesalahan seperti itu. Lagi pula, ada kemungkinan kesalahan yang tak terbatas, dan tidak terbayangkan bahwa kita bisa mengidentifikasi setiap kesalahan secara tepat dan kemudian membatalkannya. Namun, selama kita bisa mengoreksi bit-flip, phase-flip, atau keduanya, maka kita akan berhasil mengoreksi kesalahan uniter satu Qubit yang sembarangan menggunakan prosedur yang sudah dijelaskan sebelumnya dalam pelajaran.

Untuk memahami mengapa ini terjadi, mari kita sadari pertama-tama bahwa kita bisa mengekspresikan matriks uniter $2 \times 2$ yang sembarangan $U,$ yang merepresentasikan kesalahan pada satu Qubit, sebagai kombinasi linier dari empat matriks Pauli (termasuk matriks identitas).

$$U = \alpha \mathbb{I} + \beta X + \gamma Y + \delta Z$$

Seperti yang akan kita lihat, ketika Circuit deteksi kesalahan dijalankan, pengukuran yang memberikan bit sindrom secara efektif mengkolaps keadaan encoding secara probabilistik ke keadaan di mana kesalahan (atau ketiadaan kesalahan) yang direpresentasikan oleh salah satu dari empat matriks Pauli telah terjadi. (Dari fakta bahwa $U$ adalah uniter, angka $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma,$ dan $\delta$ harus memenuhi $\vert\alpha\vert^2 + \vert\beta\vert^2 + \vert\gamma\vert^2 + \vert\delta\vert^2 = 1,$ dan memang, nilai $\vert\alpha\vert^2,$ $\vert\beta\vert^2,$ $\vert\gamma\vert^2,$ dan $\vert\delta\vert^2$ adalah probabilitas dimana keadaan yang di-encode kolaps ke keadaan di mana kesalahan Pauli yang bersesuaian telah terjadi.)

Untuk menjelaskan cara kerja ini secara lebih rinci, akan berguna menggunakan subskrip untuk menunjukkan pada Qubit mana operasi uniter Qubit tertentu bekerja. Misalnya, menggunakan konvensi penomoran Qubit Qiskit $(\mathsf{Q}_8,\mathsf{Q}_7,\ldots,\mathsf{Q}_0)$ untuk menomori 9 Qubit yang digunakan untuk kode Shor, kita memiliki ekspresi-ekspresi ini untuk berbagai operasi uniter pada Qubit tunggal, di mana dalam setiap kasus kita mentensor matriks uniter dengan matriks identitas pada setiap Qubit lainnya.

$$\begin{aligned} X_0 & = \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes X \\[1.5mm] Z_4 & = \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes Z \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \\[1.5mm] U_7 & = \mathbb{I} \otimes U \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \end{aligned}$$

Jadi, khususnya, untuk operasi uniter Qubit $U$ yang diberikan, kita bisa menentukan aksi $U$ yang diterapkan pada Qubit $k$ dengan rumus berikut, yang mirip dengan sebelumnya kecuali bahwa setiap matriks merepresentasikan operasi yang diterapkan pada Qubit $k.$

$$U_k = \alpha \mathbb{I}_k + \beta X_k + \gamma Y_k + \delta Z_k$$

Sekarang misalkan $\vert\psi\rangle$ adalah encoding 9-Qubit dari sebuah keadaan Qubit. Jika kesalahan $U$ terjadi pada Qubit $k,$ kita memperoleh keadaan $U_k \vert\psi\rangle,$ yang bisa diekspresikan sebagai kombinasi linier operasi Pauli yang bekerja pada $\vert\psi\rangle$ sebagai berikut.

$$U_k \vert\psi\rangle = \alpha \vert\psi\rangle + \beta X_k\vert\psi\rangle + \gamma Y_k\vert\psi\rangle + \delta Z_k\vert\psi\rangle$$

Pada titik ini mari kita substitusikan $Y = iXZ.$

$$U_k \vert\psi\rangle = \alpha \vert\psi\rangle + \beta X_k\vert\psi\rangle + i \gamma X_kZ_k\vert\psi\rangle + \delta Z_k\vert\psi\rangle$$

Sekarang pertimbangkan langkah deteksi dan koreksi kesalahan yang sudah dijelaskan sebelumnya. Kita bisa memikirkan hasil pengukuran untuk tiga pemeriksaan paritas kode dalam beserta satu untuk kode luar secara kolektif sebagai sindrom tunggal yang terdiri dari 8 bit. Tepat sebelum pengukuran basis standar aktual yang menghasilkan bit sindrom ini, keadaannya memiliki bentuk berikut.

$$\begin{gathered} \alpha\,\vert \mathbb{I} \text{ syndrome}\rangle \otimes \vert\psi\rangle \\ + \beta\,\vert X_k \text{ syndrome}\rangle \otimes X_k\vert\psi\rangle \\ + i \gamma\,\vert X_k Z_k \text{ syndrome}\rangle \otimes X_k Z_k\vert\psi\rangle \\ + \delta\,\vert Z_k \text{ syndrome}\rangle \otimes Z_k\vert\psi\rangle \end{gathered}$$

Untuk lebih jelasnya, pada titik ini kita memiliki dua sistem. Sistem di sebelah kiri adalah 8 Qubit yang akan kita ukur untuk mendapatkan sindrom, di mana $\vert \mathbb{I} \text{ syndrome}\rangle,$ $\vert X_k \text{ syndrome}\rangle,$ dan seterusnya, merujuk pada keadaan basis standar 8-Qubit mana pun yang konsisten dengan kesalahan (atau non-kesalahan) yang bersesuaian. Sistem di sebelah kanan adalah 9 Qubit yang kita gunakan untuk encoding.

Perhatikan bahwa kedua sistem ini sekarang berkorelasi (secara umum), dan inilah kunci mengapa ini berhasil. Dengan mengukur sindrom, keadaan 9 Qubit di sebelah kanan secara efektif kolaps ke keadaan di mana kesalahan Pauli yang konsisten dengan sindrom yang diukur telah diterapkan pada salah satu Qubit. Selain itu, sindrom itu sendiri memberikan cukup informasi sehingga kita bisa membatalkan kesalahan dan memulihkan encoding asli $\vert\psi\rangle.$

Khususnya, jika Qubit sindrom diukur dan koreksi yang tepat dilakukan, kita memperoleh keadaan yang bisa diekspresikan sebagai matriks densitas,

$$\xi \otimes \vert\psi\rangle\langle\psi\vert,$$

di mana

$$\begin{aligned} \xi = & \vert\alpha\vert^2 \vert \mathbb{I} \text{ syndrome}\rangle\langle \mathbb{I} \text{ syndrome}\vert \\[1mm] & + \vert\beta\vert^2 \vert X_k \text{ syndrome}\rangle\langle X_k \text{ syndrome}\vert\\[1mm] & + \vert\gamma\vert^2 \vert X_k Z_k \text{ syndrome}\rangle\langle X_k Z_k \text{ syndrome}\vert\\[1mm] & + \vert\delta\vert^2 \vert Z_k \text{ syndrome}\rangle\langle Z_k \text{ syndrome}\vert. \end{aligned}$$

Yang paling penting, ini adalah keadaan produk: kita memiliki encoding asli yang tidak rusak sebagai faktor tensor di sebelah kanan, dan di sebelah kiri kita memiliki matriks densitas $\xi$ yang mendeskripsikan sindrom kesalahan acak. Tidak ada lagi korelasi dengan sistem di sebelah kanan, yang merupakan sistem yang kita pedulikan, karena kesalahan sudah dikoreksi. Pada titik ini kita bisa membuang Qubit sindrom atau mengatur ulangnya sehingga bisa kita gunakan lagi. Inilah cara keacakan — atau entropi — yang dihasilkan oleh kesalahan dikeluarkan dari sistem.

Inilah diskretisasi kesalahan untuk kasus khusus kesalahan uniter. Pada intinya, dengan mengukur sindrom, kita secara efektif memproyeksikan kesalahan ke kesalahan yang dideskripsikan oleh matriks Pauli.

Pada pandangan pertama mungkin terasa terlalu bagus untuk menjadi kenyataan bahwa kita bisa mengoreksi kesalahan uniter yang sembarangan seperti ini, bahkan kesalahan yang sangat kecil dan hampir tidak terasa sendiri. Namun, yang penting untuk disadari di sini adalah bahwa ini adalah kesalahan uniter pada sebuah Qubit tunggal, dan berdasarkan desain kode, operasi satu Qubit tidak bisa mengubah keadaan Qubit logis yang telah di-encode. Yang bisa dilakukannya hanyalah memindahkan keadaan keluar dari subruang encoding yang valid, tetapi kemudian deteksi kesalahan mengkolaps keadaan dan koreksi membawanya kembali ke posisi semula.

Kesalahan Qubit sembarangan

Akhirnya, mari kita pertimbangkan kesalahan yang sembarangan yang tidak harus uniter. Lebih tepatnya, kita akan mempertimbangkan kesalahan yang dideskripsikan oleh channel Qubit sembarangan $\Phi.$ Misalnya, ini bisa berupa channel dephasing atau depolarizing, channel reset, atau channel aneh yang belum pernah kita pikirkan sebelumnya.

Langkah pertama adalah mempertimbangkan representasi Kraus mana pun dari $\Phi.$

$$\Phi(\sigma) = \sum_j A_j \sigma A_j^{\dagger}$$

Ini adalah channel Qubit, jadi setiap $A_j$ adalah matriks $2\times 2$, yang bisa kita ekspresikan sebagai kombinasi linier matriks Pauli.

$$A_j = \alpha_j \mathbb{I} + \beta_j X + \gamma_j Y + \delta_j Z$$

Hal ini memungkinkan kita mengekspresikan aksi kesalahan $\Phi$ pada Qubit terpilih $k$ dalam bentuk matriks Pauli sebagai berikut.

$$\Phi_k \bigl( \vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sum_j (\alpha_j \mathbb{I}_k + \beta_j X_k + \gamma_j Y_k + \delta_j Z_k) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert (\alpha_j \mathbb{I}_k + \beta_j X_k + \gamma_j Y_k + \delta_j Z_k)^{\dagger}$$

Singkatnya, kita hanya mengekspansi semua matriks Kraus kita sebagai kombinasi linier matriks Pauli.

Jika sekarang kita menghitung dan mengukur sindrom kesalahan, dan mengoreksi kesalahan yang terungkap, kita akan memperoleh keadaan yang mirip dengan yang kita miliki dalam kasus kesalahan uniter:

$$\xi \otimes \vert\psi\rangle\langle\psi\vert,$$

di mana kali ini kita memiliki

$$\begin{aligned} \xi = & \sum_j \Bigl(\vert\alpha_j\vert^2 \vert \mathbb{I} \text{ syndrome}\rangle\langle \mathbb{I} \text{ syndrome}\vert \\[-3mm] & \qquad + \vert\beta_j\vert^2 \vert X_k \text{ syndrome}\rangle\langle X_k \text{ syndrome}\vert\\[2mm] & \qquad + \vert\gamma_j\vert^2 \vert X_k Z_k \text{ syndrome}\rangle\langle X_k Z_k \text{ syndrome}\vert\\[2mm] & \qquad + \vert\delta_j\vert^2 \vert Z_k \text{ syndrome}\rangle\langle Z_k \text{ syndrome}\vert \Bigr). \end{aligned}$$

Detailnya sedikit lebih rumit dan tidak ditampilkan di sini. Secara konseptual, idenya identik dengan kasus uniter.

Generalisasi

Diskretisasi kesalahan menggeneralisasi ke kode koreksi kesalahan kuantum lainnya, termasuk yang bisa mendeteksi dan mengoreksi kesalahan pada beberapa Qubit. Dalam kasus tersebut, kesalahan pada beberapa Qubit bisa diekspresikan sebagai produk tensor matriks Pauli, dan sindrom yang berbeda menentukan koreksi operasi Pauli yang mungkin dilakukan pada beberapa Qubit daripada hanya satu Qubit.

Sekali lagi, dengan mengukur sindrom, kesalahan secara efektif diproyeksikan atau dikolaps ke sekumpulan kemungkinan diskrit yang direpresentasikan oleh produk tensor matriks Pauli, dan dengan mengoreksi kesalahan Pauli tersebut, kita bisa memulihkan keadaan yang di-encode semula. Sementara itu, keacakan apa pun yang dihasilkan dalam proses tersebut dipindahkan ke Qubit sindrom, yang dibuang atau diatur ulang, sehingga mengeluarkan keacakan yang dihasilkan dalam proses ini dari sistem yang menyimpan encoding.