Pahami opsi open-shell versus closed-shell dan pengaruhnya terhadap konstruksi subruang

Di panduan ini, kita akan tunjukkan cara memilih dimensi subruang di paket qiskit_addon_sqd untuk pasca-proses sampel kuantum memakai teknik pemulihan konfigurasi self-consistent.

Yang lebih penting, panduan ini juga menyoroti beberapa perbedaan perilaku konstruksi subruang saat dijalankan dalam mode open_shell = False atau open_shell = True:

open_shell = False hanya bekerja jika jumlah elektron spin-up dan spin-down sama.
open_shell = True harus dipakai jika jumlah elektron spin-up dan spin-down berbeda. Mode ini juga bisa dipakai jika jumlah elektron spin-up dan spin-down sama. Namun, pada kasus terakhir ini, ukuran subruang yang dihasilkan berbeda antara open_shell = False dan open_shell = True, seperti dibahas di panduan ini.

CATATAN: Beberapa manipulasi konfigurasi elektronik (bitstring) di paket ini bertujuan menjaga simetri spin total $S^2$ . Solver Selected Configuration Interaction (SCI) standar tidak bisa memaksakan kekekalan $S^2$ secara eksak. Akibatnya, mereka melakukannya secara aproksimasi lewat pengali Lagrange.

Pilihan konfigurasi elektronik yang masuk ke eigenstate solver juga bisa sangat memengaruhi kekekalan spin. Misalnya, pada sistem (2 elektron, 2 orbital), kita bisa mensampel konfigurasi $|1001\rangle$ (yang punya satu eksitasi spin-up dari keadaan RHF $|0101\rangle$ ), yang merupakan kombinasi linear dari keadaan singlet dan triplet open-shell, masing-masing $(|1001\rangle ± |0110\rangle) /\sqrt{2}$ . Jika konfigurasi |0110⟩ tidak disampel, kita tidak bisa membangun eigenfunction spin total mana pun, sehingga terjadi kontaminasi spin atau redundansi (konfigurasi |1001⟩ ikut dalam perhitungan CI, tetapi punya koefisien 0 di vektor CI). Jika hanya satu sampel $|1001\rangle$ yang dihasilkan di komputer kuantum, beginilah cara paket sqd menangani situasi ini:

open_shell = False:
1. Bitstring $1001$ dibelah dua, mewakili konfigurasi spin-up dan spin-down: $10$ (up) dan $01$ (down).
2. Daftar konfigurasi terpolarisasi-spin yang unik dibentuk: $\mathcal{U} = [01, 10]$ .
3. Lalu kita pertimbangkan semua kombinasi yang mungkin dari elemen $\mathcal{U}$ untuk membentuk basis: $\left \{ |0101\rangle, |0110\rangle , |1001\rangle , |1010\rangle \right \}$ , yang memuat keadaan singlet dan triplet.
open_shell = True:
1. Berbeda dengan kasus open_shell = False, kita tidak menggabungkan kedua belahan bitstring untuk membentuk basis.

Kulit tertutup

Contoh ini menunjukkan cara bitstring dimanipulasi pada sistem (2 elektron, 4 orbital).

# Added by doQumentation — installs the packages this notebook needs if they are missing
import importlib.util

_needed = {"qiskit_addon_sqd": "qiskit-addon-sqd"}
_missing = [pip for module, pip in _needed.items()
            if importlib.util.find_spec(module) is None]
# One at a time, so a package that fails to install does not block the others
for _pip in _missing:
    %pip install -q {_pip}
if not _missing:
    print("\u2713 All required packages are installed")

# Specify molecule properties
num_orbitals = 4
num_elec_a = num_elec_b = 1
open_shell = False

Tentukan secara manual sebuah dictionary berisi hasil pengukuran:

counts_dict = {
    "00010010": 1 / 2.0 - 0.01,
    "01001000": 1 / 2.0 - 0.01,
    "00010001": 0.02,
}

Ubah dict counts menjadi matriks bitstring dan array probabilitas untuk pasca-proses:

from qiskit_addon_sqd.counts import counts_to_arrays

# Convert counts into bitstring and probability arrays
bitstring_matrix_full, probs_arr_full = counts_to_arrays(counts_dict)
print(bitstring_matrix_full)
print(probs_arr_full)

[[False False False  True False False  True False]
 [False  True False False  True False False False]
 [False False False  True False False False  True]]
[0.49 0.49 0.02]

Subsampling satu batch berukuran dua:

n_batches = 1: Jumlah batch konfigurasi yang dipakai oleh berbagai panggilan ke eigenstate solver
samples_per_batch = 2: Jumlah konfigurasi unik yang disertakan di setiap batch

from qiskit_addon_sqd.subsampling import (
    postselect_by_hamming_right_and_left,
    subsample,
)

n_batches = 1
samples_per_batch = 2

# seed for random number generator
rand_seed = 48

# Post-select the configurations with the correct Hamming weight on each half
bitstring_matrix_postsel, probs_arr_postsel = (
    postselect_by_hamming_right_and_left(
        bitstring_matrix_full,
        probs_arr_full,
        hamming_right=num_elec_a,
        hamming_left=num_elec_b,
    )
)

# Generate the batches
batches = subsample(
    bitstring_matrix_postsel,
    probs_arr_postsel,
    samples_per_batch,
    n_batches,
    rand_seed=rand_seed,
)

print(batches[0])

[[False False False  True False False  True False]
 [False  True False False  True False False False]]

Dapatkan representasi desimal dari bitstring spin-up dan spin-down yang dipakai oleh eigenstate solver.

Elemen pertama dalam tuple sesuai dengan representasi desimal dari konfigurasi spin-up, sedangkan elemen kedua dalam tuple sesuai dengan representasi desimal dari konfigurasi spin-down:

from qiskit_addon_sqd.fermion import bitstring_matrix_to_ci_strs

ci_strs = bitstring_matrix_to_ci_strs(batches[0], open_shell=open_shell)
print(ci_strs)

(array([1, 2, 4, 8], dtype=int64), array([1, 2, 4, 8], dtype=int64))

Perhatikan bahwa meski jumlah sampel per batch adalah dua, dan bitstring yang disampel adalah $00010010$ dan $01001000$ , empat konfigurasi elektronik dihasilkan per spesies spin. Dalam kasus ini, himpunan konfigurasi terpolarisasi-spin yang unik adalah:

\mathcal{U} = \{ 0001, 0010, 0100, 1000 \}

dengan representasi desimal basis-10

\mathcal{U}_{10} = \{ 1, 2, 4, 8 \}

Basis dari subruang:

Eigenstate solver mengambil semua pasangan mungkin dari bitstring spin-up dan spin-down untuk membangun basis $\mathcal{B}$ dari subruang:

Elemen 1: $|00010001\rangle$
Elemen 2: $|00010010\rangle$
Elemen 3: $|00010100\rangle$
Elemen 4: $|00011000\rangle$
Elemen 5: $|00100001\rangle$
Elemen 6: $|00100010\rangle$
Elemen 7: $|00100100\rangle$
Elemen 8: $|00101000\rangle$
Elemen 9: $|01000001\rangle$
Elemen 10: $|01000010\rangle$
Elemen 11: $|01000100\rangle$
Elemen 12: $|01001000\rangle$
Elemen 13: $|10000001\rangle$
Elemen 14: $|10000010\rangle$
Elemen 15: $|10000100\rangle$
Elemen 16: $|10001000\rangle$

ci_strs_up, ci_strs_dn = ci_strs

print("Basis elements of the subspace:")

for ci_str_up in ci_strs_up:
    for ci_str_dn in ci_strs_dn:
        format_name = "{0:0" + str(num_orbitals) + "b}"
        print(
            "|"
            + format_name.format(ci_str_up)
            + format_name.format(ci_str_dn)
            + ">"
        )

Basis elements of the subspace:
|00010001>
|00010010>
|00010100>
|00011000>
|00100001>
|00100010>
|00100100>
|00101000>
|01000001>
|01000010>
|01000100>
|01001000>
|10000001>
|10000010>
|10000100>
|10001000>

Dimensi subruang dibatasi dari atas oleh: $2 \cdot$ (samples_per_batch) $^2$ .

Kulit terbuka

Contoh ini menunjukkan cara bitstring dimanipulasi pada sistem (2 elektron, 4 orbital).

# Specify molecule properties
num_orbitals = 4
num_elec_a = num_elec_b = 1
open_shell = True

Tentukan secara manual sebuah dictionary berisi hasil pengukuran:

counts_dict = {
    "00010010": 1 / 2.0 - 0.01,
    "01001000": 1 / 2.0 - 0.01,
    "00010001": 0.02,
}

Ubah dict counts menjadi matriks bitstring dan array probabilitas untuk pasca-proses:

# Convert counts into bitstring and probability arrays
bitstring_matrix_full, probs_arr_full = counts_to_arrays(counts_dict)
print(bitstring_matrix_full)
print(probs_arr_full)

[[False False False  True False False  True False]
 [False  True False False  True False False False]
 [False False False  True False False False  True]]
[0.49 0.49 0.02]

Subsampling satu batch berukuran dua:

n_batches = 1: Jumlah batch konfigurasi yang dipakai oleh berbagai panggilan ke eigenstate solver
samples_per_batch = 2: Jumlah konfigurasi unik yang disertakan di setiap batch

n_batches = 1
samples_per_batch = 2

# seed for random number generator
rand_seed = 48

# Post-select the configurations with the correct Hamming weight on each half
bitstring_matrix_postsel, probs_arr_postsel = (
    postselect_by_hamming_right_and_left(
        bitstring_matrix_full,
        probs_arr_full,
        hamming_right=num_elec_a,
        hamming_left=num_elec_b,
    )
)

# Generate the batches
batches = subsample(
    bitstring_matrix_postsel,
    probs_arr_postsel,
    samples_per_batch,
    n_batches,
    rand_seed=rand_seed,
)

print(batches[0])

[[False False False  True False False  True False]
 [False  True False False  True False False False]]

Dapatkan representasi desimal dari bitstring spin-up dan spin-down yang dipakai oleh eigenstate solver.

Elemen pertama dalam tuple sesuai dengan representasi desimal dari konfigurasi spin-up, sedangkan elemen kedua dalam tuple sesuai dengan representasi desimal dari konfigurasi spin-down:

ci_strs = bitstring_matrix_to_ci_strs(batches[0], open_shell=open_shell)
print(ci_strs)

(array([2, 8], dtype=int64), array([1, 4], dtype=int64))

Jika kita menetapkan open_shell = True, kita tidak menyertakan semua bitstring setengah yang unik sebagai konfigurasi spin-up dan spin-down, sehingga basisnya lebih kecil daripada saat menetapkan open_shell = False. Basis dari subruang:

Eigenstate solver mengambil semua pasangan mungkin dari bitstring spin-up dan spin-down untuk membangun basis $\mathcal{B}$ dari subruang:

Elemen 1: $|00010010\rangle$
Elemen 2: $|00011000\rangle$
Elemen 3: $|01000010\rangle$
Elemen 4: $|01001000\rangle$

ci_strs_up, ci_strs_dn = ci_strs

print("Basis elements of the subspace:")

for ci_str_up in ci_strs_up:
    for ci_str_dn in ci_strs_dn:
        format_name = "{0:0" + str(num_orbitals) + "b}"
        print(
            "|"
            + format_name.format(ci_str_up)
            + format_name.format(ci_str_dn)
            + ">"
        )

Basis elements of the subspace:
|00100001>
|00100100>
|10000001>
|10000100>

Dimensi subruang dibatasi dari atas oleh: (samples_per_batch) $^2$ .

Kulit tertutup​

Kulit terbuka​

Kulit tertutup

Kulit terbuka