Ketidaksetaraan CHSH

Perkiraan penggunaan: Dua menit di prosesor Heron r2 (CATATAN: Ini hanya perkiraan. Waktu eksekusi kamu bisa berbeda.)

Latar Belakang

Dalam tutorial ini, kamu akan menjalankan eksperimen di komputer kuantum untuk mendemonstrasikan pelanggaran ketidaksetaraan CHSH dengan primitif Estimator.

Ketidaksetaraan CHSH, dinamai berdasarkan para penulisnya yaitu Clauser, Horne, Shimony, dan Holt, digunakan untuk membuktikan teorema Bell secara eksperimental (1969). Teorema ini menyatakan bahwa teori variabel tersembunyi lokal tidak dapat menjelaskan beberapa konsekuensi dari keterikatan dalam mekanika kuantum. Pelanggaran ketidaksetaraan CHSH digunakan untuk menunjukkan bahwa mekanika kuantum tidak kompatibel dengan teori variabel tersembunyi lokal. Ini adalah eksperimen penting untuk memahami fondasi mekanika kuantum.

Hadiah Nobel Fisika 2022 diberikan kepada Alain Aspect, John Clauser, dan Anton Zeilinger, sebagian atas kontribusi mereka yang perintis dalam ilmu informasi kuantum, khususnya eksperimen mereka dengan foton yang saling terikat yang mendemonstrasikan pelanggaran ketidaksetaraan Bell.

Persyaratan

Sebelum memulai tutorial ini, pastikan kamu telah menginstal hal-hal berikut:

• Qiskit SDK v1.0 atau lebih baru, dengan dukungan visualisasi
• Qiskit Runtime (pip install qiskit-ibm-runtime) v0.22 atau lebih baru

Persiapan

# Added by doQumentation — required packages for this notebook
!pip install -q matplotlib numpy qiskit qiskit-ibm-runtime

# General
import numpy as np

# Qiskit imports
from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit.circuit import Parameter
from qiskit.quantum_info import SparsePauliOp
from qiskit.transpiler.preset_passmanagers import generate_preset_pass_manager

# Qiskit Runtime imports
from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService
from qiskit_ibm_runtime import EstimatorV2 as Estimator

# Plotting routines
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.ticker as tck

Langkah 1: Petakan input klasikal ke masalah kuantum

Untuk eksperimen ini, kita akan membuat pasangan yang saling terikat di mana kita mengukur setiap Qubit pada dua basis yang berbeda. Kita akan memberi label basis untuk Qubit pertama sebagai $A$ dan $a$, dan basis untuk Qubit kedua sebagai $B$ dan $b$. Ini memungkinkan kita menghitung kuantitas CHSH $S_1$:

$$S_1 = A(B-b) + a(B+b).$$

Setiap observabel bernilai $+1$ atau $-1$. Jelas, salah satu suku $B\pm b$ harus $0$, dan yang lainnya harus $\pm 2$. Oleh karena itu, $S_1 = \pm 2$. Nilai rata-rata $S_1$ harus memenuhi ketidaksetaraan:

$$|\langle S_1 \rangle|\leq 2.$$

Dengan menguraikan $S_1$ dalam bentuk $A$, $a$, $B$, dan $b$, diperoleh:

$$|\langle S_1 \rangle| = |\langle AB \rangle - \langle Ab \rangle + \langle aB \rangle + \langle ab \rangle| \leq 2$$

Kamu bisa mendefinisikan kuantitas CHSH lainnya yaitu $S_2$:

$$S_2 = A(B+b) - a(B-b),$$

Ini menghasilkan ketidaksetaraan lain:

$$|\langle S_2 \rangle| = |\langle AB \rangle + \langle Ab \rangle - \langle aB \rangle + \langle ab \rangle| \leq 2$$

Jika mekanika kuantum dapat dijelaskan oleh teori variabel tersembunyi lokal, ketidaksetaraan di atas harus berlaku. Namun, seperti yang akan didemonstrasikan dalam tutorial ini, ketidaksetaraan ini bisa dilanggar di komputer kuantum. Oleh karena itu, mekanika kuantum tidak kompatibel dengan teori variabel tersembunyi lokal. Jika kamu ingin mempelajari lebih banyak teori, jelajahi Entanglement in Action bersama John Watrous. Kamu akan membuat pasangan yang saling terikat antara dua Qubit di komputer kuantum dengan membuat keadaan Bell $|\Phi^+\rangle = \frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}}$. Dengan menggunakan primitif Estimator, kamu bisa langsung mendapatkan nilai ekspektasi yang dibutuhkan ($\langle AB \rangle, \langle Ab \rangle, \langle aB \rangle$, dan $\langle ab \rangle$) untuk menghitung nilai ekspektasi dari dua kuantitas CHSH $\langle S_1\rangle$ dan $\langle S_2\rangle$. Sebelum hadirnya primitif Estimator, kamu harus membangun nilai ekspektasi dari hasil pengukuran.

Kamu akan mengukur Qubit kedua dalam basis $Z$ dan $X$. Qubit pertama juga akan diukur dalam basis yang ortogonal, tetapi dengan sudut terhadap Qubit kedua yang akan kita sapu antara $0$ dan $2\pi$. Seperti yang akan kamu lihat, primitif Estimator membuat eksekusi Circuit berparameter menjadi sangat mudah. Daripada membuat serangkaian Circuit CHSH, kamu hanya perlu membuat satu Circuit CHSH dengan parameter yang menentukan sudut pengukuran dan serangkaian nilai fase untuk parameter tersebut.

Terakhir, kamu akan menganalisis hasilnya dan memplotnya terhadap sudut pengukuran. Kamu akan melihat bahwa untuk rentang sudut pengukuran tertentu, nilai ekspektasi dari kuantitas CHSH $|\langle S_1\rangle| > 2$ atau $|\langle S_2\rangle| > 2$, yang mendemonstrasikan pelanggaran ketidaksetaraan CHSH.

# To run on hardware, select the backend with the fewest number of jobs in the queue
service = QiskitRuntimeService()
backend = service.least_busy(
    operational=True, simulator=False, min_num_qubits=127
)
backend.name

'ibm_kingston'

Membuat Circuit CHSH berparameter

Pertama, kita tulis Circuit dengan parameter $\theta$, yang kita sebut theta. Primitif Estimator dapat sangat menyederhanakan pembuatan Circuit dan analisis output dengan langsung memberikan nilai ekspektasi dari observabel. Banyak masalah yang menarik, terutama untuk aplikasi jangka dekat pada sistem yang berisik, dapat dirumuskan dalam bentuk nilai ekspektasi. Primitif Estimator (V2) dapat secara otomatis mengubah basis pengukuran berdasarkan observabel yang diberikan.

theta = Parameter("$\\theta$")

chsh_circuit = QuantumCircuit(2)
chsh_circuit.h(0)
chsh_circuit.cx(0, 1)
chsh_circuit.ry(theta, 0)
chsh_circuit.draw(output="mpl", idle_wires=False, style="iqp")

Membuat daftar nilai fase yang akan ditetapkan nanti

Setelah membuat Circuit CHSH berparameter, kamu akan membuat daftar nilai fase yang akan ditetapkan ke Circuit pada langkah berikutnya. Kamu bisa menggunakan kode berikut untuk membuat daftar 21 nilai fase mulai dari $0$ hingga $2 \pi$ dengan jarak yang sama, yaitu $0$, $0.1 \pi$, $0.2 \pi$, ..., $1.9 \pi$, $2 \pi$.

number_of_phases = 21
phases = np.linspace(0, 2 * np.pi, number_of_phases)
# Phases need to be expressed as list of lists in order to work
individual_phases = [[ph] for ph in phases]

Observabel

Sekarang kita perlu observabel untuk menghitung nilai ekspektasinya. Dalam kasus ini, kita melihat basis yang ortogonal untuk setiap Qubit, dengan membiarkan rotasi $Y-$ berparameter untuk Qubit pertama menyapu basis pengukuran hampir secara kontinu terhadap basis Qubit kedua. Kita akan memilih observabel $ZZ$, $ZX$, $XZ$, dan $XX$.

# <CHSH1> = <AB> - <Ab> + <aB> + <ab> -> <ZZ> - <ZX> + <XZ> + <XX>
observable1 = SparsePauliOp.from_list(
    [("ZZ", 1), ("ZX", -1), ("XZ", 1), ("XX", 1)]
)

# <CHSH2> = <AB> + <Ab> - <aB> + <ab> -> <ZZ> + <ZX> - <XZ> + <XX>
observable2 = SparsePauliOp.from_list(
    [("ZZ", 1), ("ZX", 1), ("XZ", -1), ("XX", 1)]
)

Langkah 2: Optimalkan masalah untuk eksekusi perangkat keras kuantum

Untuk mengurangi total waktu eksekusi job, primitif V2 hanya menerima Circuit dan observabel yang sesuai dengan instruksi dan konektivitas yang didukung oleh sistem target (disebut sebagai circuit dan observabel ISA — instruction set architecture).

Circuit ISA

target = backend.target
pm = generate_preset_pass_manager(target=target, optimization_level=3)

chsh_isa_circuit = pm.run(chsh_circuit)
chsh_isa_circuit.draw(output="mpl", idle_wires=False, style="iqp")

Observabel ISA

Demikian pula, kita perlu mentransformasi observabel agar kompatibel dengan Backend sebelum menjalankan job dengan Runtime Estimator V2. Kita bisa melakukan transformasi ini menggunakan metode apply_layout dari objek SparsePauliOp.

isa_observable1 = observable1.apply_layout(layout=chsh_isa_circuit.layout)
isa_observable2 = observable2.apply_layout(layout=chsh_isa_circuit.layout)

Langkah 3: Eksekusi menggunakan primitif Qiskit

Untuk mengeksekusi seluruh eksperimen dalam satu panggilan ke Estimator. Kita bisa membuat primitif Qiskit Runtime Estimator untuk menghitung nilai ekspektasi kita. Metode EstimatorV2.run() menerima iterable dari primitive unified blocs (PUBs). Setiap PUB adalah iterable dengan format (circuit, observables, parameter_values: Optional, precision: Optional).

# To run on a local simulator:
# Use the StatevectorEstimator from qiskit.primitives instead.

estimator = Estimator(mode=backend)

pub = (
    chsh_isa_circuit,  # ISA circuit
    [[isa_observable1], [isa_observable2]],  # ISA Observables
    individual_phases,  # Parameter values
)

job_result = estimator.run(pubs=[pub]).result()

Langkah 4: Pasca-proses dan kembalikan hasil dalam format klasikal yang diinginkan

Estimator mengembalikan nilai ekspektasi untuk kedua observabel, $\langle ZZ \rangle - \langle ZX \rangle + \langle XZ \rangle + \langle XX \rangle$ dan $\langle ZZ \rangle + \langle ZX \rangle - \langle XZ \rangle + \langle XX \rangle$.

chsh1_est = job_result[0].data.evs[0]
chsh2_est = job_result[0].data.evs[1]

fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))

# results from hardware
ax.plot(phases / np.pi, chsh1_est, "o-", label="CHSH1", zorder=3)
ax.plot(phases / np.pi, chsh2_est, "o-", label="CHSH2", zorder=3)

# classical bound +-2
ax.axhline(y=2, color="0.9", linestyle="--")
ax.axhline(y=-2, color="0.9", linestyle="--")

# quantum bound, +-2√2
ax.axhline(y=np.sqrt(2) * 2, color="0.9", linestyle="-.")
ax.axhline(y=-np.sqrt(2) * 2, color="0.9", linestyle="-.")
ax.fill_between(phases / np.pi, 2, 2 * np.sqrt(2), color="0.6", alpha=0.7)
ax.fill_between(phases / np.pi, -2, -2 * np.sqrt(2), color="0.6", alpha=0.7)

# set x tick labels to the unit of pi
ax.xaxis.set_major_formatter(tck.FormatStrFormatter("%g $\\pi$"))
ax.xaxis.set_major_locator(tck.MultipleLocator(base=0.5))

# set labels, and legend
plt.xlabel("Theta")
plt.ylabel("CHSH witness")
plt.legend()
plt.show()

Pada gambar, garis-garis dan area abu-abu menunjukkan batas-batasnya; garis paling luar (titik-titik-garis) membatasi batas kuantum ($\pm 2$), sedangkan garis dalam (putus-putus) membatasi batas klasikal ($\pm 2\sqrt{2}$). Kamu bisa melihat bahwa ada rentang di mana kuantitas saksi CHSH melampaui batas klasikal. Selamat! Kamu telah berhasil mendemonstrasikan pelanggaran ketidaksetaraan CHSH dalam sistem kuantum nyata!

Survei tutorial

Silakan ikuti survei singkat ini untuk memberikan umpan balik tentang tutorial ini. Masukan kamu akan membantu kami meningkatkan konten dan pengalaman pengguna.

Link ke survei

Note: This survey is provided by IBM Quantum and relates to the original English content. To give feedback on doQumentation's website, translations, or code execution, please open a GitHub issue.