Algoritma variasional

Kursus ini membahas secara rinci algoritma variasional dan algoritma kuantum-klasik hibrida jangka pendek berdasarkan teorema variasional mekanika kuantum. Algoritma-algoritma ini dapat memanfaatkan utilitas yang diberikan oleh komputer kuantum non-fault-tolerant saat ini, menjadikannya kandidat ideal untuk mencapai keunggulan kuantum.

Sepanjang kursus ini, kita akan mengeksplorasi:

• Setiap langkah dalam alur kerja desain algoritma variasional

• Trade-off yang terkait dengan setiap langkah

• Cara menggunakan primitif IBM Quantum untuk mengoptimalkan kecepatan dan akurasi

Meskipun kursus ini dimaksudkan sebagai titik awal bagi peneliti dan pengembang untuk mengeksplorasi utilitas komputer kuantum, kamu bebas menjelajahi pengetahuan teoritis dan fondasi seputar komputasi kuantum secara umum di Basics of Quantum Information and Computation (juga tersedia sebagai seri video YouTube).

Alur kerja hibrida yang disederhanakan

Algoritma variasional mencakup beberapa komponen modular yang bisa dikombinasikan dan dioptimalkan berdasarkan kemajuan algoritma, perangkat lunak, dan perangkat keras. Ini mencakup fungsi biaya yang mendeskripsikan masalah tertentu dengan sekumpulan parameter, sebuah ansatz untuk mengekspresikan ruang pencarian dengan parameter-parameter ini, dan sebuah optimizer untuk mengeksplorasi ruang pencarian secara iteratif. Pada setiap iterasi, optimizer mengevaluasi fungsi biaya dengan parameter saat ini dan memilih parameter iterasi berikutnya sampai konvergen pada solusi optimal. Sifat hibrida dari keluarga algoritma ini berasal dari fakta bahwa fungsi biaya dievaluasi menggunakan sumber daya kuantum dan dioptimalkan melalui sumber daya klasik.

1. Inisialisasi masalah: Algoritma variasional dimulai dengan menginisialisasi komputer kuantum dalam state default $|0\rangle$, kemudian mengubahnya ke state yang diinginkan (non-terparameter) $|\rho\rangle$, yang kita sebut reference state.

   Transformasi ini direpresentasikan dengan penerapan operator referensi uniter $U_R$ pada state default, sehingga $U_R|0\rangle = |\rho\rangle$.

2. Persiapkan ansatz: Untuk mulai mengoptimalkan secara iteratif dari state default $|0\rangle$ ke state target $|\psi(\vec\theta)\rangle$, kita harus mendefinisikan sebuah variational form $U_V(\vec\theta)$ untuk merepresentasikan kumpulan state terparameter untuk dieksplorasi oleh algoritma variasional kita.

   Kita menyebut kombinasi tertentu dari reference state dan variational form sebagai ansatz, sehingga: $U_A(\vec\theta) := U_V(\vec\theta) U_R$. Ansatze pada akhirnya akan berbentuk Circuit kuantum terparameter yang mampu membawa state default $|0\rangle$ ke state target $|\psi(\vec\theta)\rangle$.

   Secara keseluruhan kita akan memiliki:

   $$\begin{aligned} |0\rangle \xrightarrow{U_R} U_R|0\rangle & = |\rho\rangle \xrightarrow{U_V(\vec{\theta})} U_A(\vec{\theta})|0\rangle \\[1mm] & = U_V(\vec{\theta})U_R|0\rangle \\[1mm] & = U_V(\vec{\theta})|\rho\rangle \\[1mm] & = |\psi(\vec{\theta})\rangle \\[1mm] \end{aligned}$$

3. Evaluasi fungsi biaya: Kita dapat mengodekan masalah kita ke dalam sebuah fungsi biaya $C(\vec\theta)$ sebagai kombinasi linear dari operator Pauli, yang dijalankan pada sistem kuantum. Meskipun fungsi ini bisa berupa informasi tentang sistem fisik, seperti energi atau spin, kita juga bisa mengodekan masalah non-fisik. Kita dapat memanfaatkan primitif IBM Quantum untuk mengatasi noise dengan penekanan dan mitigasi error saat mengevaluasi fungsi biaya kita.

4. Optimalkan parameter: Hasil evaluasi dikirim ke komputer klasik, tempat optimizer klasik menganalisisnya dan memilih sekumpulan nilai berikutnya untuk parameter variasional. Jika kita memiliki solusi optimal yang sudah ada, kita bisa menetapkannya sebagai initial point $\vec\theta_0$ untuk bootstrap optimasi kita. Menggunakan initial state $|\psi(\vec\theta_0)\rangle$ ini bisa membantu optimizer kita menemukan solusi yang valid lebih cepat.

5. Sesuaikan parameter ansatz dengan hasil, dan jalankan ulang: Seluruh proses diulang sampai kriteria finalisasi optimizer klasik terpenuhi, dan sekumpulan nilai parameter optimal $\vec\theta^*$ dikembalikan. State solusi yang diusulkan untuk masalah kita kemudian akan menjadi $|\psi(\vec\theta^*)\rangle = U_A(\vec\theta^*)|0\rangle$.

Teorema variasional

Tujuan umum algoritma variasional adalah menemukan state kuantum dengan nilai eigen terendah atau tertinggi dari sebuah observable tertentu. Wawasan kunci yang akan kita gunakan adalah teorema variasional mekanika kuantum. Sebelum masuk ke pernyataan lengkapnya, mari kita jelajahi intuisi matematika di baliknya.

Intuisi matematika untuk energi dan ground state

Dalam mekanika kuantum, energi hadir dalam bentuk observable kuantum yang biasanya disebut Hamiltonian, yang akan kita notasikan dengan $\hat{\mathcal{H}}$. Mari kita pertimbangkan dekomposisi spektralnya:

$$\hat{\mathcal{H}} = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\phi_k\rangle \langle \phi_k|$$

di mana $N$ adalah dimensionalitas ruang state, $\lambda_{k}$ adalah nilai eigen ke-$k$ atau, secara fisik, tingkat energi ke-$k$, dan $|\phi_k\rangle$ adalah eigenstate yang bersesuaian: $\hat{\mathcal{H}}|\phi_k\rangle = \lambda_k |\phi_k\rangle$, energi yang diharapkan dari sistem dalam state (ternormalisasi) $|\psi\rangle$ adalah:

$$\begin{aligned} \langle \psi | \hat{\mathcal{H}} | \psi \rangle & = \langle \psi |\bigg(\sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\phi_k\rangle \langle \phi_k|\bigg) | \psi \rangle \\[1mm] & = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k \langle \psi |\phi_k\rangle \langle \phi_k| \psi \rangle \\[1mm] & = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] \end{aligned}$$

Jika kita mempertimbangkan bahwa $\lambda_0\leq \lambda_k, \forall k$, kita memiliki:

$$\begin{aligned} \langle \psi | \hat{\mathcal{H}} | \psi \rangle & = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] & \geq \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_0 |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] & = \lambda_0 \sum_{k=0}^{N-1} |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] & = \lambda_0 \\[1mm] \end{aligned}$$

Karena $\{|\phi_k\rangle \}_{k=0}^{N-1}$ adalah basis ortonormal, probabilitas mengukur $|\phi_{k} \rangle$ adalah $p_k = |\langle \psi |\phi_{k} \rangle |^2$, dan jumlah semua probabilitas adalah $\sum_{k=0}^{N-1} |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 = \sum_{k=0}^{N-1}p_k = 1$. Singkatnya, energi yang diharapkan dari sistem mana pun lebih tinggi dari energi terendah atau energi ground state:

$$\langle \psi | \hat{\mathcal{H}} | \psi \rangle \geq \lambda_0.$$

Argumen di atas berlaku untuk state kuantum (ternormalisasi) yang valid mana pun $|\psi\rangle$, jadi sangat mungkin untuk mempertimbangkan state terparameter $|\psi(\vec\theta)\rangle$ yang bergantung pada vektor parameter $\vec\theta$. Di sinilah bagian "variasional" berperan. Jika kita mempertimbangkan fungsi biaya yang diberikan oleh $C(\vec\theta) := \langle \psi(\vec\theta)|\hat{\mathcal{H}}|\psi(\vec\theta)\rangle$ dan ingin meminimalkannya, minimum akan selalu memenuhi:

$$\min_{\vec\theta} C(\vec\theta) = \min_{\vec\theta} \langle \psi(\vec\theta)|\hat{\mathcal{H}}|\psi(\vec\theta)\rangle \geq \lambda_0.$$

Nilai minimum dari $C(\vec\theta)$ akan menjadi yang paling dekat dengan $\lambda_0$ menggunakan state terparameter $|\psi(\vec\theta)\rangle$, dan kesetaraan hanya akan tercapai jika ada vektor parameter $\vec\theta^*$ sehingga $|\psi(\vec\theta^*)\rangle = |\phi_0\rangle$.

Teorema variasional Mekanika Kuantum

Jika state (ternormalisasi) $|\psi\rangle$ dari sistem kuantum bergantung pada vektor parameter $\vec\theta$, maka aproksimasi optimal dari ground state (yaitu, eigenstate $|\phi_0\rangle$ dengan nilai eigen minimum $\lambda_0$) adalah yang meminimalkan nilai ekspektasi dari Hamiltonian $\hat{\mathcal{H}}$:

$$\langle \hat{\mathcal{H}} \rangle(\vec\theta) := \langle \psi(\vec\theta) |\hat{\mathcal{H}}| \psi(\vec\theta) \rangle \geq \lambda_0$$

Teorema variasional dirumuskan berdasarkan energi minimum karena teorema ini mencakup sejumlah asumsi matematika:

• Untuk alasan fisik, batas bawah terbatas pada energi $E \geq \lambda_0 > -\infty$ perlu ada, bahkan untuk $N\rightarrow\infty$.

• Batas atas umumnya tidak ada.

Namun, secara matematis, tidak ada yang istimewa dari Hamiltonian $\hat{\mathcal{H}}$ di luar asumsi-asumsi ini, sehingga teorema dapat digeneralisasikan ke observable kuantum lainnya dan eigenstate-nya asalkan mengikuti batasan yang sama. Juga perlu dicatat bahwa jika batas atas terbatas ada, argumen matematika yang sama bisa dibuat untuk memaksimalkan nilai eigen dengan menukar batas bawah dengan batas atas.

Ringkasan

Dengan pelajaran ini, kamu telah mempelajari gambaran tingkat tinggi dari algoritma variasional. Pada pelajaran-pelajaran berikutnya, kita akan mengeksplorasi setiap langkah secara lebih detail, beserta trade-off yang terkait.