Informasi kuantum

Sekarang kita siap beralih ke informasi kuantum, di mana kita membuat pilihan berbeda untuk jenis vektor yang merepresentasikan keadaan — dalam hal ini keadaan kuantum — dari sistem yang sedang dipertimbangkan. Seperti dalam pembahasan informasi klasik sebelumnya, kita akan berurusan dengan sistem yang memiliki himpunan keadaan klasik yang berhingga dan tidak kosong, dan kita akan menggunakan sebagian besar notasi yang sama.

Vektor keadaan kuantum

Keadaan kuantum dari sebuah sistem direpresentasikan oleh vektor kolom, mirip dengan keadaan probabilistik. Seperti sebelumnya, indeks vektor melabeli keadaan klasik sistem. Vektor yang merepresentasikan keadaan kuantum dicirikan oleh dua sifat ini:

1. Entri dari vektor keadaan kuantum adalah bilangan kompleks.
2. Jumlah dari kuadrat nilai absolut entri vektor keadaan kuantum adalah $1.$

Jadi, berbeda dengan keadaan probabilistik, vektor yang merepresentasikan keadaan kuantum tidak harus memiliki entri bilangan real non-negatif, dan jumlah kuadrat nilai absolut entri (bukan jumlah entri) yang harus sama dengan $1.$ Sesederhana perubahan ini, mereka menimbulkan perbedaan antara informasi kuantum dan klasik; setiap percepatan dari komputer kuantum, atau peningkatan dari protokol komunikasi kuantum, pada akhirnya berasal dari perubahan matematis sederhana ini.

Norma Euclidean dari vektor kolom

$$v = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix}$$

dinotasikan dan didefinisikan sebagai berikut:

$$\| v \| = \sqrt{\sum_{k=1}^n |\alpha_k|^2}.$$

Kondisi bahwa jumlah kuadrat nilai absolut dari vektor keadaan kuantum sama dengan $1$ karena itu setara dengan vektor tersebut memiliki norma Euclidean sama dengan $1.$ Artinya, vektor keadaan kuantum adalah vektor satuan terhadap norma Euclidean.

Contoh keadaan qubit

Istilah qubit mengacu pada sistem kuantum yang himpunan keadaan klasiknya adalah $\{0,1\}.$ Artinya, qubit sebenarnya hanyalah sebuah bit — tetapi dengan menggunakan nama ini kita secara eksplisit mengakui bahwa bit ini bisa berada dalam keadaan kuantum.

Berikut adalah contoh keadaan kuantum dari sebuah qubit:

$$\begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \vert 0\rangle \quad\text{and}\quad \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \vert 1\rangle,$$ $$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\,\vert 1\rangle, \tag{1}$$

dan

$$\begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{1+2i}{3}\,\vert 0\rangle - \frac{2}{3}\,\vert 1\rangle.$$

Dua contoh pertama, $\vert 0\rangle$ dan $\vert 1\rangle,$ mengilustrasikan bahwa elemen basis standar adalah vektor keadaan kuantum yang valid: entrinya adalah bilangan kompleks, di mana bagian imajiner dari bilangan-bilangan ini kebetulan semuanya $0,$ dan menghitung jumlah kuadrat nilai absolut dari entri menghasilkan

$$\vert 1\vert^2 + \vert 0\vert^2 = 1 \quad\text{and}\quad \vert 0\vert^2 + \vert 1\vert^2 = 1,$$

seperti yang disyaratkan. Mirip dengan pengaturan klasik, kita mengasosiasikan vektor keadaan kuantum $\vert 0\rangle$ dan $\vert 1\rangle$ dengan qubit yang berada dalam keadaan klasik $0$ dan $1,$ masing-masing.

Untuk dua contoh lainnya, kita kembali memiliki entri bilangan kompleks, dan menghitung jumlah kuadrat nilai absolut dari entri menghasilkan

$$\biggl\vert\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr\vert^2 + \biggl\vert\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr\vert^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

dan

$$\biggl\vert \frac{1+2i}{3} \biggr\vert^2 + \biggl\vert -\frac{2}{3} \biggr\vert^2 = \frac{5}{9} + \frac{4}{9} = 1.$$

Ini adalah vektor keadaan kuantum yang valid. Perhatikan bahwa keduanya adalah kombinasi linear dari keadaan basis standar $\vert 0 \rangle$ dan $\vert 1 \rangle,$ dan karena itu kita sering mengatakan bahwa keduanya adalah superposisi dari keadaan $0$ dan $1.$ Dalam konteks keadaan kuantum, superposisi dan kombinasi linear pada dasarnya sinonim.

Contoh $(1)$ dari vektor keadaan qubit di atas sangat sering ditemui — disebut keadaan plus dan dinotasikan sebagai berikut:

$$\vert {+} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle.$$

Kita juga menggunakan notasi

$$\vert {-} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle$$

untuk merujuk pada vektor keadaan kuantum terkait di mana entri kedua negatif bukan positif, dan kita menyebut keadaan ini keadaan minus.

Jenis notasi ini, di mana simbol selain yang mengacu pada keadaan klasik muncul di dalam ket, adalah umum — kita bisa menggunakan nama apa pun yang kita inginkan di dalam ket untuk menamakan sebuah vektor. Sangat umum menggunakan notasi $\vert\psi\rangle,$ atau nama berbeda sebagai pengganti $\psi,$ untuk merujuk pada vektor arbitrer yang belum tentu merupakan vektor basis standar.

Perhatikan bahwa, jika kita memiliki vektor $\vert \psi \rangle$ yang indeksnya berkoresponden dengan himpunan keadaan klasik $\Sigma,$ dan jika $a\in\Sigma$ adalah elemen dari himpunan keadaan klasik ini, maka perkalian matriks $\langle a\vert \vert \psi\rangle$ sama dengan entri vektor $\vert \psi \rangle$ yang indeksnya berkoresponden dengan $a.$ Seperti yang kita lakukan ketika $\vert \psi \rangle$ adalah vektor basis standar, kita menulis $\langle a \vert \psi \rangle$ daripada $\langle a\vert \vert \psi\rangle$ demi keterbacaan.

Misalnya, jika $\Sigma = \{0,1\}$ dan

$$\vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle = \begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix}, \tag{2}$$

maka

$$\langle 0 \vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \quad\text{and}\quad \langle 1 \vert \psi \rangle = -\frac{2}{3}.$$

Secara umum, ketika menggunakan notasi Dirac untuk vektor arbitrer, notasi $\langle \psi \vert$ mengacu pada vektor baris yang diperoleh dengan mengambil transpos-konjugat dari vektor kolom $\vert\psi\rangle,$ di mana vektor ditranspos dari vektor kolom ke vektor baris dan setiap entri diganti dengan konjugat kompleksnya. Misalnya, jika $\vert\psi\rangle$ adalah vektor yang didefinisikan dalam $(2),$ maka

$$\langle\psi\vert = \frac{1-2i}{3} \langle 0\vert - \frac{2}{3} \langle 1\vert = \begin{pmatrix} \frac{1-2i}{3} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}.$$

Alasan kita mengambil konjugat kompleks, selain transpos, akan lebih jelas nanti ketika kita membahas hasil kali dalam.

Keadaan kuantum sistem lain

Kita bisa mempertimbangkan keadaan kuantum dari sistem yang memiliki himpunan keadaan klasik arbitrer. Misalnya, berikut adalah vektor keadaan kuantum untuk sakelar kipas angin listrik:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[1mm] 0 \\[1mm] -\frac{i}{2}\\[1mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \vert\mathrm{high}\rangle - \frac{i}{2} \vert\mathrm{low}\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert\mathrm{off}\rangle.$$

Asumsi yang berlaku di sini adalah keadaan klasik diurutkan sebagai high, medium, low, off. Mungkin tidak ada alasan khusus mengapa seseorang ingin mempertimbangkan keadaan kuantum dari sakelar kipas angin listrik, tetapi itu mungkin secara prinsip.

Berikut contoh lain, kali ini digit desimal kuantum yang keadaan klasiknya adalah $0, 1, \ldots, 9:$

$$\frac{1}{\sqrt{385}} \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ 4\\ 5\\ 6\\ 7\\ 8\\ 9\\ 10 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{385}}\sum_{k = 0}^9 (k+1) \vert k \rangle.$$

Contoh ini menggambarkan kenyamanan penulisan vektor keadaan menggunakan notasi Dirac. Untuk contoh khusus ini, representasi vektor kolom hanya merepotkan — tetapi jika ada jauh lebih banyak keadaan klasik, itu akan menjadi tidak bisa digunakan. Notasi Dirac, sebaliknya, mendukung deskripsi yang tepat dari vektor yang besar dan rumit dalam bentuk yang ringkas.

Notasi Dirac juga memungkinkan ekspresi vektor di mana aspek berbeda dari vektor bersifat tidak tentu, artinya tidak diketahui atau belum ditetapkan. Misalnya, untuk himpunan keadaan klasik arbitrer $\Sigma,$ kita bisa mempertimbangkan vektor keadaan kuantum

$$\frac{1}{\sqrt{|\Sigma|}} \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle,$$

di mana notasi $\sqrt{|\Sigma|}$ mengacu pada norma Euclidean dari $\Sigma,$ dan $\vert\Sigma\vert$ dalam kasus ini adalah jumlah elemen dalam $\Sigma.$ Dengan kata lain, ini adalah superposisi seragam atas keadaan klasik dalam $\Sigma.$

Kita akan menemui ekspresi vektor keadaan kuantum yang jauh lebih rumit dalam pelajaran selanjutnya, di mana penggunaan vektor kolom tidak praktis atau tidak mungkin. Bahkan, kita akan sebagian besar meninggalkan representasi vektor kolom dari vektor keadaan, kecuali untuk vektor yang memiliki sejumlah kecil entri (sering dalam konteks contoh), di mana mungkin berguna untuk menampilkan dan memeriksa entri secara eksplisit.

Berikut satu alasan lagi mengapa mengekspresikan vektor keadaan menggunakan notasi Dirac itu nyaman: ini menghilangkan kebutuhan untuk secara eksplisit menentukan urutan keadaan klasik (atau, setara, koresponden antara keadaan klasik dan indeks vektor).

Misalnya, vektor keadaan kuantum untuk sistem yang memiliki himpunan keadaan klasik $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\},$ seperti

$$\frac{1}{2} \vert\clubsuit\rangle + \frac{i}{2} \vert\diamondsuit\rangle - \frac{1}{2} \vert\heartsuit\rangle - \frac{i}{2} \vert\spadesuit\rangle,$$

dideskripsikan secara tidak ambigu oleh ekspresi ini, dan sebenarnya tidak perlu memilih atau menentukan urutan himpunan keadaan klasik ini untuk memahami ekspresi tersebut. Dalam kasus ini, tidak sulit untuk menentukan urutan setelan kartu standar — misalnya, kita mungkin memilih untuk mengurutkannya seperti ini: $\clubsuit,$ $\diamondsuit,$ $\heartsuit,$ $\spadesuit.$ Jika kita memilih urutan khusus ini, vektor keadaan kuantum di atas akan direpresentasikan oleh vektor kolom

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} \end{pmatrix}.$$

Secara umum, bagaimanapun, sangat nyaman untuk bisa mengabaikan begitu saja masalah bagaimana himpunan keadaan klasik diurutkan.

Mengukur keadaan kuantum

Selanjutnya mari kita pertimbangkan apa yang terjadi ketika keadaan kuantum diukur, dengan fokus pada jenis pengukuran sederhana yang dikenal sebagai pengukuran basis standar. (Ada pengertian pengukuran yang lebih umum yang akan kita bahas nanti.)

Mirip dengan pengaturan probabilistik, ketika sistem dalam keadaan kuantum diukur, pengamat hipotetis yang melakukan pengukuran tidak akan melihat vektor keadaan kuantum, melainkan akan melihat beberapa keadaan klasik. Dalam pengertian ini, pengukuran bertindak sebagai antarmuka antara informasi kuantum dan klasik, di mana informasi klasik diekstraksi dari keadaan kuantum.

Aturannya sederhana: jika keadaan kuantum diukur, setiap keadaan klasik sistem muncul dengan probabilitas yang sama dengan kuadrat nilai absolut dari entri dalam vektor keadaan kuantum yang berkoresponden dengan keadaan klasik tersebut. Ini dikenal sebagai aturan Born dalam mekanika kuantum. Perhatikan bahwa aturan ini konsisten dengan persyaratan bahwa kuadrat nilai absolut dari entri dalam vektor keadaan kuantum berjumlah $1,$ karena ini mengimplikasikan bahwa probabilitas dari hasil pengukuran keadaan klasik yang berbeda berjumlah $1.$

Misalnya, mengukur keadaan plus

$$\vert {+} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

menghasilkan dua kemungkinan hasil, $0$ dan $1,$ dengan probabilitas sebagai berikut.

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$ $$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$

Menariknya, mengukur keadaan minus

$$\vert {-} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

menghasilkan probabilitas yang persis sama untuk kedua hasil.

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$ $$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert -\frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$

Ini menunjukkan bahwa, sejauh menyangkut pengukuran basis standar, keadaan plus dan minus tidak berbeda. Mengapa, kalau begitu, kita perlu membuat perbedaan antara keduanya? Jawabannya adalah bahwa kedua keadaan ini berperilaku berbeda ketika operasi dilakukan pada keduanya, seperti yang akan kita bahas di subbagian berikutnya.

Tentu saja, mengukur keadaan kuantum $\vert 0\rangle$ menghasilkan keadaan klasik $0$ dengan pasti, dan demikian pula mengukur keadaan kuantum $\vert 1\rangle$ menghasilkan keadaan klasik $1$ dengan pasti. Ini konsisten dengan identifikasi keadaan kuantum ini dengan sistem yang berada dalam keadaan klasik yang sesuai, seperti yang disarankan sebelumnya.

Sebagai contoh terakhir, mengukur keadaan

$$\vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle$$

menyebabkan dua kemungkinan hasil muncul dengan probabilitas sebagai berikut:

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1+2i}{3} \biggr\vert^2 = \frac{5}{9},$$

dan

$$\operatorname{Pr}(\text{outcome is 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert -\frac{2}{3} \biggr\vert^2 = \frac{4}{9}.$$

Operasi uniter

Sampai sini, mungkin belum jelas mengapa informasi kuantum secara fundamental berbeda dari informasi klasik. Artinya, ketika sebuah keadaan kuantum diukur, probabilitas untuk mendapatkan setiap keadaan klasik diberikan oleh nilai absolut kuadrat dari entri vektor yang bersesuaian — jadi kenapa tidak cukup mencatat probabilitas-probabilitas ini dalam vektor probabilitas?

Jawabannya, setidaknya sebagian, adalah bahwa himpunan operasi yang boleh dilakukan pada keadaan kuantum berbeda dari operasi pada informasi klasik. Mirip dengan kasus probabilistik, operasi pada keadaan kuantum adalah pemetaan linear — tetapi alih-alih direpresentasikan oleh matriks stokastik seperti pada kasus klasik, operasi pada vektor keadaan kuantum direpresentasikan oleh matriks uniter.

Sebuah matriks persegi $U$ dengan entri bilangan kompleks disebut uniter jika memenuhi persamaan

$$\begin{aligned} U U^{\dagger} &= \mathbb{I} \\ U^{\dagger} U &= \mathbb{I}. \end{aligned} \tag{3}$$

Di sini, $\mathbb{I}$ adalah matriks identitas, dan $U^{\dagger}$ adalah transpose konjugat dari $U,$ yaitu matriks yang diperoleh dengan mentransposisi $U$ dan mengambil konjugat kompleks dari setiap entri.

$$U^{\dagger} = \overline{U^T}$$

Jika salah satu dari dua persamaan bernomor $(3)$ di atas benar, maka yang lainnya juga pasti benar. Kedua persamaan itu setara dengan $U^{\dagger}$ adalah invers dari $U:$

$$U^{-1} = U^{\dagger}.$$

(Perhatian: jika $M$ bukan matriks persegi, maka bisa saja $M^{\dagger} M = \mathbb{I}$ dan $M M^{\dagger} \neq \mathbb{I},$ misalnya. Kesetaraan dua persamaan dalam persamaan pertama di atas hanya berlaku untuk matriks persegi.)

Syarat bahwa $U$ adalah uniter setara dengan syarat bahwa perkalian dengan $U$ tidak mengubah norma Euclidean dari vektor mana pun. Artinya, matriks $n\times n$ $U$ adalah uniter jika dan hanya jika $\| U \vert \psi \rangle \| = \|\vert \psi \rangle \|$ untuk setiap vektor kolom berdimensi $n$ $\vert \psi \rangle$ dengan entri bilangan kompleks. Dengan demikian, karena himpunan semua vektor keadaan kuantum sama dengan himpunan vektor yang memiliki norma Euclidean sama dengan $1,$ mengalikan matriks uniter ke vektor keadaan kuantum menghasilkan vektor keadaan kuantum lainnya.

Memang, matriks uniter adalah tepat himpunan pemetaan linear yang selalu mengubah vektor keadaan kuantum menjadi vektor keadaan kuantum lainnya. Perhatikan di sini kemiripan dengan kasus probabilistik klasik di mana operasi dikaitkan dengan matriks stokastik, yang merupakan matriks yang selalu mengubah vektor probabilitas menjadi vektor probabilitas.

Contoh operasi uniter pada qubit

Daftar berikut mendeskripsikan beberapa operasi uniter yang sering ditemui pada qubit.

1. Operasi Pauli. Empat matriks Pauli adalah sebagai berikut:

   $$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

   Notasi alternatif yang umum adalah $X = \sigma_x,$ $Y = \sigma_y,$ dan $Z = \sigma_z$ (tetapi perlu diingat bahwa huruf $X,$ $Y,$ dan $Z$ juga sering digunakan untuk tujuan lain). Operasi $X$ juga disebut bit flip atau operasi NOT karena menginduksi aksi ini pada bit:

   $$X \vert 0\rangle = \vert 1\rangle \quad \text{and} \quad X \vert 1\rangle = \vert 0\rangle.$$

   Operasi $Z$ juga disebut phase flip, dan memiliki aksi berikut:

   $$Z \vert 0\rangle = \vert 0\rangle \quad \text{and} \quad Z \vert 1\rangle = - \vert 1\rangle.$$

2. Operasi Hadamard. Operasi Hadamard dideskripsikan oleh matriks ini:

   $$H = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

3. Operasi fase. Operasi fase adalah operasi yang dideskripsikan oleh matriks

   $$P_{\theta} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & e^{i\theta} \end{pmatrix}$$

   untuk setiap pilihan bilangan riil $\theta.$ Operasi

   $$S = P_{\pi/2} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & i \end{pmatrix} \quad \text{and} \quad T = P_{\pi/4} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

   adalah contoh yang sangat penting. Contoh lain termasuk $\mathbb{I} = P_0$ dan $Z = P_{\pi}.$

Semua matriks yang baru saja didefinisikan adalah uniter, dan karenanya merepresentasikan operasi kuantum pada satu qubit. Sebagai contoh, berikut adalah perhitungan yang memverifikasi bahwa $H$ adalah uniter:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}^{\dagger} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} & \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Dan berikut adalah aksi operasi Hadamard pada beberapa vektor keadaan qubit yang sering ditemui.

$$\begin{aligned} H \vert 0 \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \vert + \rangle\\[6mm] H \vert 1 \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \vert - \rangle\\[6mm] H \vert + \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \vert 0 \rangle\\[6mm] H \vert - \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \vert 1 \rangle \end{aligned}$$

Lebih ringkasnya, kita mendapatkan empat persamaan ini.

$$\begin{aligned} H \vert 0 \rangle = \vert {+} \rangle & \qquad H \vert {+} \rangle = \vert 0 \rangle \\[1mm] H \vert 1 \rangle = \vert {-} \rangle & \qquad H \vert {-} \rangle = \vert 1 \rangle \end{aligned}$$

Perlu direnungkan fakta bahwa $H\vert {+} \rangle = \vert 0\rangle$ dan $H\vert {-} \rangle = \vert 1\rangle,$ mengingat pertanyaan yang diajukan di bagian sebelumnya mengenai perbedaan antara keadaan $\vert {+} \rangle$ dan $\vert {-} \rangle.$

Bayangkan situasi di mana sebuah qubit disiapkan dalam salah satu dari dua keadaan kuantum $\vert {+} \rangle$ dan $\vert {-} \rangle,$ tetapi kita tidak tahu yang mana. Mengukur keadaan mana pun menghasilkan distribusi output yang sama dengan yang lainnya, seperti yang sudah kita amati: $0$ dan $1$ keduanya muncul dengan probabilitas yang sama $1/2,$ yang tidak memberikan informasi apa pun tentang keadaan mana yang disiapkan.

Namun, jika kita pertama kali menerapkan operasi Hadamard lalu mengukur, kita mendapatkan hasil $0$ dengan kepastian jika keadaan awal adalah $\vert {+} \rangle,$ dan kita mendapatkan hasil $1,$ lagi dengan kepastian, jika keadaan awal adalah $\vert {-} \rangle.$ Keadaan kuantum $\vert {+} \rangle$ dan $\vert {-} \rangle$ karenanya dapat dibedakan dengan sempurna. Ini mengungkapkan bahwa perubahan tanda, atau lebih umumnya perubahan pada fase (yang secara tradisional juga disebut argumen) dari entri bilangan kompleks suatu vektor keadaan kuantum, dapat mengubah keadaan tersebut secara signifikan.

Berikut contoh lain, menunjukkan bagaimana operasi Hadamard bekerja pada vektor keadaan yang disebutkan sebelumnya.

$$H \biggl(\frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle\biggr) = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-1+2i}{3\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{3+2i}{3\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{-1+2i}{3\sqrt{2}} | 0 \rangle + \frac{3+2i}{3\sqrt{2}} | 1 \rangle$$

Selanjutnya, mari kita pertimbangkan aksi operasi $T$ pada keadaan plus.

$$T \vert {+} \rangle = T \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr) = \frac{1}{\sqrt{2}} T\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} T\vert 1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} \vert 1\rangle$$

Perhatikan di sini bahwa kita tidak repot mengonversi ke bentuk matriks/vektor yang setara, dan sebaliknya menggunakan linearitas perkalian matriks bersama dengan rumus

$$T \vert 0\rangle = \vert 0\rangle \quad\text{and}\quad T \vert 1\rangle = \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle.$$

Dengan cara yang serupa, kita dapat menghitung hasil penerapan operasi Hadamard pada vektor keadaan kuantum yang baru saja diperoleh:

$$\begin{aligned} H\, \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} \vert 1\rangle\biggr) & = \frac{1}{\sqrt{2}} H \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} H \vert 1\rangle\\ & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert +\rangle + \frac{1+i}{2} \vert -\rangle \\ & = \biggl(\frac{1}{2} \vert 0\rangle + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\biggr) + \biggl(\frac{1+i}{2\sqrt{2}} \vert 0\rangle - \frac{1+i}{2\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr)\\ & = \biggl(\frac{1}{2} + \frac{1+i}{2\sqrt{2}}\biggr) \vert 0\rangle + \biggl(\frac{1}{2} - \frac{1+i}{2\sqrt{2}}\biggr) \vert 1\rangle. \end{aligned}$$

Kedua pendekatan — satu di mana kita secara eksplisit mengonversi ke representasi matriks dan yang lainnya di mana kita menggunakan linearitas dan memasukkan aksi suatu operasi pada keadaan basis standar — adalah setara. Kita bisa menggunakan mana pun yang lebih nyaman dalam kasus yang dihadapi.

Komposisi operasi uniter qubit

Komposisi operasi uniter direpresentasikan oleh perkalian matriks, seperti yang kita miliki dalam kasus probabilistik.

Sebagai contoh, misalkan kita pertama menerapkan operasi Hadamard, diikuti oleh operasi $S,$ diikuti oleh operasi Hadamard lainnya. Operasi yang dihasilkan, yang kita namai $R$ untuk keperluan contoh ini, adalah sebagai berikut:

$$R = H S H = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\[2mm] \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \end{pmatrix}.$$

Operasi uniter $R$ ini adalah contoh yang menarik. Dengan menerapkan operasi ini dua kali, yang setara dengan mengkuadratkan representasi matriksnya, kita mendapatkan operasi NOT:

$$R^2 = \begin{pmatrix} \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\[2mm] \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[2mm] 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Artinya, $R$ adalah operasi akar kuadrat dari NOT. Perilaku seperti itu, di mana operasi yang sama diterapkan dua kali menghasilkan operasi NOT, tidak mungkin terjadi untuk operasi klasik pada satu bit.

Operasi uniter pada sistem yang lebih besar

Dalam pelajaran berikutnya, kita akan melihat banyak contoh operasi uniter pada sistem yang memiliki lebih dari dua keadaan klasik. Contoh operasi uniter pada sistem dengan tiga keadaan klasik diberikan oleh matriks berikut.

$$A = \begin{pmatrix} {0} & {0} & {1} \\ {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \end{pmatrix}$$

Dengan asumsi bahwa keadaan klasik sistem adalah $0,$ $1,$ dan $2,$ kita dapat mendeskripsikan operasi ini sebagai penjumlahan modulo $3.$

$$A \vert 0\rangle = \vert 1\rangle, \quad A \vert 1\rangle = \vert 2\rangle, \quad\text{and}\quad A \vert 2\rangle = \vert 0\rangle$$

Matriks $A$ adalah contoh dari matriks permutasi, yaitu matriks di mana setiap baris dan kolom memiliki tepat satu angka $1.$ Matriks seperti itu hanya menyusun ulang, atau mempermutas, entri dari vektor yang mereka kenai. Matriks identitas mungkin adalah contoh paling sederhana dari matriks permutasi, dan contoh lainnya adalah operasi NOT pada sebuah bit atau qubit. Setiap matriks permutasi, dalam dimensi bilangan bulat positif apa pun, adalah uniter. Ini adalah satu-satunya contoh matriks yang merepresentasikan baik operasi klasik maupun operasi kuantum: sebuah matriks adalah stokastik sekaligus uniter jika dan hanya jika itu adalah matriks permutasi.

Contoh lain dari matriks uniter, kali ini berupa matriks $4\times 4,$ adalah yang berikut ini:

$$U = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\[1mm] 1 & i & -1 & -i \\[1mm] 1 & -1 & 1 & -1 \\[1mm] 1 & -i & -1 & i \end{pmatrix}.$$

Matriks ini mendeskripsikan operasi yang dikenal sebagai transformasi Fourier kuantum, khususnya dalam kasus $4\times 4.$ Transformasi Fourier kuantum dapat didefinisikan secara lebih umum, untuk dimensi bilangan bulat positif $n$ apa pun, dan memainkan peran kunci dalam algoritma kuantum.