Informasi klasik

Untuk mendeskripsikan informasi kuantum dan cara kerjanya, kita akan mulai dengan gambaran umum tentang informasi klasik. Mungkin terasa aneh mengapa begitu banyak perhatian diberikan pada informasi klasik dalam kursus tentang informasi kuantum, tapi ada alasan yang bagus untuk itu.

Pertama, meskipun informasi kuantum dan klasik berbeda dalam beberapa hal yang menakjubkan, deskripsi matematisnya sebenarnya cukup mirip. Informasi klasik juga berfungsi sebagai titik referensi yang familiar saat mempelajari informasi kuantum, serta sebagai sumber analogi yang ternyata sangat berguna. Sering kali orang mengajukan pertanyaan tentang informasi kuantum yang punya analogi klasik alami, dan seringkali pertanyaan-pertanyaan itu punya jawaban sederhana yang bisa memberikan kejelasan dan wawasan tentang pertanyaan asli mengenai informasi kuantum. Memang, sangat beralasan untuk mengklaim bahwa seseorang tidak bisa benar-benar memahami informasi kuantum tanpa memahami informasi klasik.

Beberapa pembaca mungkin sudah familiar dengan materi yang akan dibahas di bagian ini, sementara yang lain mungkin belum — tapi diskusi ini ditujukan untuk kedua kelompok. Selain menyoroti aspek-aspek informasi klasik yang paling relevan untuk pengantar informasi kuantum, bagian ini memperkenalkan notasi Dirac, yang sering digunakan untuk mendeskripsikan vektor dan matriks dalam informasi dan komputasi kuantum. Ternyata, notasi Dirac tidak spesifik untuk informasi kuantum; notasi ini juga bisa digunakan dalam konteks informasi klasik, maupun dalam berbagai pengaturan lain di mana vektor dan matriks muncul.

Status klasik dan vektor probabilitas

Misalkan kita punya sebuah sistem yang menyimpan informasi. Lebih spesifik, kita akan mengasumsikan bahwa sistem ini bisa berada dalam salah satu dari sejumlah hingga status klasik pada setiap saat. Di sini, istilah status klasik harus dipahami secara intuitif, sebagai konfigurasi yang bisa dikenali dan dideskripsikan tanpa ambiguitas.

Contoh arketipe, yang akan sering kita bahas, adalah sebuah bit, yaitu sistem yang status klasiknya adalah $0$ dan $1.$ Contoh lain termasuk dadu enam sisi standar, yang status klasiknya adalah $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ dan $6$ (diwakili oleh jumlah titik yang sesuai di sisi manapun yang menghadap ke atas); nukleobasa dalam untai DNA, yang status klasiknya adalah A, C, G, dan T; dan sakelar kipas angin listrik, yang status klasiknya (umumnya) adalah tinggi, sedang, rendah, dan mati. Dalam istilah matematika, spesifikasi status klasik suatu sistem sebenarnya merupakan titik awal: kita mendefinisikan sebuah bit sebagai sistem yang memiliki status klasik $0$ dan $1,$ dan demikian pula untuk sistem dengan himpunan status klasik yang berbeda.

Untuk keperluan diskusi ini, mari kita beri nama $\mathsf{X}$ pada sistem yang sedang dipertimbangkan, dan gunakan simbol $\Sigma$ untuk merujuk pada himpunan status klasik dari $\mathsf{X}.$ Selain asumsi bahwa $\Sigma$ berhingga, yang sudah disebutkan, kita secara alami mengasumsikan bahwa $\Sigma$ tidak kosong — karena tidak masuk akal bagi sistem fisik untuk tidak memiliki status sama sekali. Dan meskipun masuk akal untuk mempertimbangkan sistem fisik yang memiliki status klasik tak terbatas, kita akan mengabaikan kemungkinan ini, yang memang menarik tetapi tidak relevan untuk kursus ini. Karena alasan-alasan ini, dan demi kemudahan dan keringkasan, kita selanjutnya akan menggunakan istilah himpunan status klasik untuk merujuk pada himpunan yang berhingga dan tidak kosong.

Berikut beberapa contoh:

1. Jika $\mathsf{X}$ adalah sebuah bit, maka $\Sigma = \{0,1\}.$ Dalam kata-kata, kita menyebut himpunan ini sebagai alfabet biner.
2. Jika $\mathsf{X}$ adalah dadu enam sisi, maka $\Sigma = \{1,2,3,4,5,6\}.$
3. Jika $\mathsf{X}$ adalah sakelar kipas angin listrik, maka $\Sigma = \{\mathrm{high}, \mathrm{medium}, \mathrm{low}, \mathrm{off}\}.$

Saat memikirkan $\mathsf{X}$ sebagai pembawa informasi, berbagai status klasik dari $\mathsf{X}$ bisa diberi makna tertentu, yang mengarah pada hasil atau konsekuensi yang berbeda. Dalam kasus seperti itu, mungkin cukup untuk mendeskripsikan $\mathsf{X}$ sebagai berada dalam salah satu status klasiknya. Misalnya, jika $\mathsf{X}$ adalah sakelar kipas, kita mungkin tahu dengan pasti bahwa ia disetel ke tinggi, yang kemudian mendorong kita untuk mengubahnya ke sedang.

Namun sering kali dalam pemrosesan informasi, pengetahuan kita tidak pasti. Salah satu cara untuk merepresentasikan pengetahuan kita tentang status klasik suatu sistem $\mathsf{X}$ adalah dengan mengaitkan probabilitas dengan berbagai kemungkinan status klasiknya, menghasilkan apa yang kita sebut status probabilistik.

Misalnya, misalkan $\mathsf{X}$ adalah sebuah bit. Berdasarkan apa yang kita ketahui atau perkirakan tentang apa yang telah terjadi pada $\mathsf{X}$ di masa lalu, kita mungkin percaya bahwa $\mathsf{X}$ berada dalam status klasik $0$ dengan probabilitas $3/4$ dan dalam status $1$ dengan probabilitas $1/4.$ Kita bisa merepresentasikan keyakinan ini dengan menulis:

$$\operatorname{Pr}(\mathsf{X}=0) = \frac{3}{4} \quad\text{and}\quad \operatorname{Pr}(\mathsf{X}=1) = \frac{1}{4}.$$

Cara yang lebih ringkas untuk merepresentasikan status probabilistik ini adalah dengan vektor kolom.

$$\begin{pmatrix} \frac{3}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} \end{pmatrix}$$

Probabilitas bit menjadi $0$ ditempatkan di bagian atas vektor dan probabilitas bit menjadi $1$ ditempatkan di bagian bawah, karena ini adalah cara konvensional untuk mengurutkan himpunan $\{0,1\}.$

Secara umum, kita bisa merepresentasikan status probabilistik dari sistem dengan himpunan status klasik apapun dengan cara yang sama, sebagai vektor probabilitas. Probabilitas bisa diurutkan dengan cara apapun yang kita pilih, tapi biasanya ada cara yang alami atau bawaan untuk melakukannya. Lebih tepatnya, kita bisa merepresentasikan status probabilistik apapun melalui vektor kolom yang memenuhi dua sifat:

1. Semua entri vektor adalah bilangan real tak negatif.
2. Jumlah semua entri sama dengan $1.$

Sebaliknya, setiap vektor kolom yang memenuhi kedua sifat ini bisa diambil sebagai representasi dari status probabilistik. Selanjutnya, kita akan menyebut vektor-vektor dengan bentuk ini sebagai vektor probabilitas.

Selain keringkasan notasi ini, mengidentifikasi status probabilistik sebagai vektor kolom memiliki keuntungan bahwa operasi pada status probabilistik direpresentasikan melalui perkalian matriks-vektor, seperti yang akan dibahas sebentar lagi.

Mengukur status probabilistik

Selanjutnya mari kita pertimbangkan apa yang terjadi jika kita mengukur sebuah sistem saat berada dalam status probabilistik. Dalam konteks ini, dengan mengukur sistem kita maksudkan bahwa kita melihat sistem dan mengenali status klasik apapun yang ada tanpa ambiguitas. Secara intuitif, kita tidak bisa "melihat" status probabilistik suatu sistem; saat kita melihatnya, kita hanya melihat salah satu status klasik yang mungkin.

Dengan mengukur sebuah sistem, kita juga bisa mengubah pengetahuan kita tentangnya, dan oleh karena itu status probabilistik yang kita kaitkan dengannya bisa berubah. Artinya, jika kita mengenali bahwa $\mathsf{X}$ berada dalam status klasik $a\in\Sigma,$ maka vektor probabilitas baru yang merepresentasikan pengetahuan kita tentang status $\mathsf{X}$ menjadi vektor yang memiliki $1$ di entri yang sesuai dengan $a$ dan $0$ untuk semua entri lainnya. Vektor ini menunjukkan bahwa $\mathsf{X}$ berada dalam status klasik $a$ dengan kepastian — yang kita ketahui setelah baru saja mengenalinya — dan kita menotasikan vektor ini sebagai $\vert a\rangle,$ yang dibaca sebagai "ket $a$" dengan alasan yang akan dijelaskan segera. Vektor-vektor seperti ini juga disebut vektor basis standar.

Misalnya, dengan mengasumsikan bahwa sistem yang kita pikirkan adalah sebuah bit, vektor basis standar diberikan oleh

$$\vert 0\rangle = \begin{pmatrix}1\\[1mm] 0\end{pmatrix} \quad\text{and}\quad \vert 1\rangle = \begin{pmatrix}0\\[1mm] 1\end{pmatrix}.$$

Perhatikan bahwa setiap vektor kolom dua dimensi bisa dinyatakan sebagai kombinasi linear dari kedua vektor ini. Misalnya,

$$\begin{pmatrix} \frac{3}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \frac{3}{4}\,\vert 0\rangle + \frac{1}{4}\,\vert 1\rangle.$$

Fakta ini secara alami berlaku untuk himpunan status klasik apapun: setiap vektor kolom bisa ditulis sebagai kombinasi linear dari status basis standar. Cukup sering kita mengekspresikan vektor dengan tepat cara ini.

Kembali ke perubahan status probabilistik saat diukur, kita bisa mencatat hubungan berikut dengan pengalaman sehari-hari kita. Misalkan kita melempar koin yang seimbang, tapi menutup koin sebelum melihatnya. Kita kemudian akan mengatakan bahwa status probabilistiknya adalah

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\,\vert\text{heads}\rangle + \frac{1}{2}\,\vert\text{tails}\rangle.$$

Di sini, himpunan status klasik koin kita adalah $\{\text{heads},\text{tails}\}.$ Kita memilih untuk mengurutkan status ini dengan heads pertama, tails kedua.

$$\vert\text{heads}\rangle = \begin{pmatrix}1\\[1mm] 0\end{pmatrix} \quad\text{and}\quad \vert\text{tails}\rangle = \begin{pmatrix}0\\[1mm] 1\end{pmatrix}$$

Jika kita membuka penutup koin dan melihatnya, kita akan melihat salah satu dari dua status klasik: heads atau tails. Misalkan hasilnya adalah tails, kita akan secara alami memperbarui deskripsi status probabilistik koin sehingga menjadi $|\text{tails}\rangle.$ Tentu saja, jika kita kemudian menutup koin lagi, lalu membukanya dan melihatnya lagi, status klasiknya masih akan tails, yang konsisten dengan status probabilistik yang dideskripsikan oleh vektor $|\text{tails}\rangle.$

Ini mungkin tampak sepele, dan dalam beberapa hal memang demikian. Namun, meskipun sistem kuantum berperilaku dengan cara yang sepenuhnya analog, sifat pengukurannya sering dianggap aneh atau tidak biasa. Dengan menetapkan sifat-sifat analog dari sistem klasik, cara kerja informasi kuantum mungkin tampak kurang tidak biasa.

Satu catatan terakhir mengenai pengukuran status probabilistik adalah ini: status probabilistik mendeskripsikan pengetahuan atau keyakinan, bukan sesuatu yang nyata, dan mengukur hanya mengubah pengetahuan kita, bukan sistem itu sendiri. Misalnya, status koin setelah kita melemparnya, tapi sebelum kita melihatnya, adalah heads atau tails — kita hanya tidak tahu yang mana sampai kita melihatnya. Setelah melihat bahwa status klasiknya adalah tails, misalnya, kita akan secara alami memperbarui vektor yang mendeskripsikan pengetahuan kita menjadi $|\text{tails}\rangle,$ tapi bagi orang lain yang tidak melihat koin ketika dibuka, status probabilistik akan tetap tidak berubah. Ini bukan masalah; orang yang berbeda mungkin memiliki pengetahuan atau keyakinan yang berbeda tentang sistem tertentu, dan karenanya mendeskripsikan sistem itu dengan vektor probabilitas yang berbeda.

Operasi klasik

Pada bagian terakhir dari ringkasan singkat informasi klasik ini, kita akan mempertimbangkan jenis-jenis operasi yang dapat dilakukan pada sistem klasik.

Operasi deterministik

Pertama, ada operasi deterministik, di mana setiap status klasik $a\in\Sigma$ diubah menjadi $f(a)$ untuk suatu fungsi $f$ dengan bentuk $f:\Sigma\rightarrow\Sigma.$

Misalnya, jika $\Sigma = \{0,1\},$ ada empat fungsi dengan bentuk ini, $f_1,$ $f_2,$ $f_3,$ dan $f_4,$ yang bisa direpresentasikan dengan tabel nilai sebagai berikut:

$$\begin{array}{c|c} a & f_1(a)\\ \hline 0 & 0\\ 1 & 0 \end{array} \qquad \begin{array}{c|c} a & f_2(a)\\ \hline 0 & 0\\ 1 & 1 \end{array} \qquad \begin{array}{c|c} a & f_3(a)\\ \hline 0 & 1\\ 1 & 0 \end{array} \qquad \begin{array}{c|c} a & f_4(a)\\ \hline 0 & 1\\ 1 & 1 \end{array}$$

Fungsi pertama dan terakhir bersifat konstan: $f_1(a) = 0$ dan $f_4(a) = 1$ untuk setiap $a\in\Sigma.$ Dua yang tengah tidak konstan, mereka seimbang: masing-masing dari dua nilai output muncul dengan jumlah yang sama (sekali, dalam kasus ini) saat kita menjangkau semua input yang mungkin. Fungsi $f_2$ adalah fungsi identitas: $f_2(a) = a$ untuk setiap $a\in\Sigma.$ Dan $f_3$ adalah fungsi $f_3(0) = 1$ dan $f_3(1) = 0,$ yang lebih dikenal sebagai fungsi NOT.

Aksi operasi deterministik pada status probabilistik bisa direpresentasikan dengan perkalian matriks-vektor. Secara khusus, matriks $M$ yang merepresentasikan fungsi $f:\Sigma\rightarrow\Sigma$ yang diberikan adalah yang memenuhi

$$M \vert a \rangle = \vert f(a)\rangle$$

untuk setiap $a\in\Sigma.$ Matriks seperti itu selalu ada dan ditentukan secara unik oleh persyaratan ini. Matriks yang merepresentasikan operasi deterministik selalu memiliki tepat satu $1$ di setiap kolom, dan $0$ untuk semua entri lainnya.

Misalnya, matriks $M_1,\ldots,M_4$ yang sesuai dengan fungsi $f_1,\ldots,f_4$ di atas adalah sebagai berikut:

$$M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \hspace{4mm} M_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \hspace{4mm} M_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \hspace{4mm} M_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$$

Berikut verifikasi cepat yang menunjukkan bahwa matriks pertama sudah benar. Ketiga lainnya bisa dicek dengan cara serupa.

$$\begin{aligned} M_1 \vert 0\rangle & = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \vert 0\rangle = \vert f_1(0)\rangle \\[4mm] M_1 \vert 1\rangle & = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} = \vert 0\rangle = \vert f_1(1)\rangle \end{aligned}$$

Cara yang nyaman untuk merepresentasikan matriks-matriks dalam bentuk ini dan lainnya menggunakan notasi yang analog untuk vektor baris seperti yang telah dibahas untuk vektor kolom: kita menotasikan dengan $\langle a \vert$ vektor baris yang memiliki $1$ di entri yang sesuai dengan $a$ dan nol untuk semua entri lainnya, untuk setiap $a\in\Sigma.$ Vektor ini dibaca sebagai "bra $a.$"

Misalnya, jika $\Sigma = \{0,1\},$ maka

$$\langle 0 \vert = \begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{and}\quad \langle 1 \vert = \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Untuk himpunan status klasik $\Sigma$ apapun, kita bisa melihat vektor baris dan vektor kolom sebagai matriks, dan melakukan perkalian matriks $\vert b\rangle \langle a\vert.$ Kita mendapatkan matriks persegi yang memiliki $1$ di entri yang sesuai dengan pasangan $(b,a),$ artinya baris entri sesuai dengan status klasik $b$ dan kolom sesuai dengan status klasik $a,$ dengan $0$ untuk semua entri lainnya. Misalnya,

$$\vert 0 \rangle \langle 1 \vert = \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

Menggunakan notasi ini, kita bisa mengekspresikan matriks $M$ yang sesuai dengan fungsi $f:\Sigma\rightarrow\Sigma$ apapun sebagai

$$M = \sum_{a\in\Sigma} \vert f(a) \rangle \langle a \vert.$$

Misalnya, pertimbangkan fungsi $f_4$ di atas, di mana $\Sigma = \{0,1\}.$ Kita mendapatkan matriks

$$M_4 = \vert f_4(0) \rangle \langle 0 \vert + \vert f_4(1) \rangle \langle 1 \vert = \vert 1\rangle \langle 0\vert + \vert 1\rangle \langle 1\vert = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 1 \end{pmatrix}.$$

Alasan mengapa ini berhasil adalah sebagai berikut. Jika kita lagi-lagi memikirkan vektor sebagai matriks, dan kali ini mempertimbangkan perkalian $\langle a \vert \vert b \rangle,$ kita mendapatkan matriks $1\times 1,$ yang bisa kita pikirkan sebagai skalar (yaitu, sebuah bilangan). Demi kerapian, kita menulis produk ini sebagai $\langle a \vert b\rangle$ daripada $\langle a \vert \vert b \rangle.$ Produk ini memenuhi rumus sederhana berikut:

$$\langle a \vert b \rangle = \begin{cases} 1 & a = b\\[1mm] 0 & a \neq b. \end{cases}$$

Menggunakan pengamatan ini, bersama dengan fakta bahwa perkalian matriks bersifat asosiatif dan linear, kita mendapatkan

$$M \vert b \rangle = \Biggl( \sum_{a\in\Sigma} \vert f(a) \rangle \langle a \vert \Biggr) \vert b\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert f(a) \rangle \langle a \vert b \rangle = \vert f(b)\rangle,$$

untuk setiap $b\in\Sigma,$ yang merupakan tepat apa yang kita butuhkan dari matriks $M.$

Seperti yang akan kita bahas lebih rinci nanti dalam pelajaran berikutnya, $\langle a \vert b \rangle$ juga bisa dipandang sebagai perkalian dalam antara vektor $\vert a\rangle$ dan $\vert b\rangle.$ Perkalian dalam sangat penting dalam informasi kuantum, tapi kita akan menunda pembahasannya sampai diperlukan.

Pada titik ini nama "bra" dan "ket" mungkin sudah jelas: menggabungkan "bra" $\langle a\vert$ dengan "ket" $\vert b\rangle$ menghasilkan "braket" $\langle a \vert b\rangle.$ Notasi dan terminologi ini berasal dari Paul Dirac, dan untuk alasan ini dikenal sebagai notasi Dirac.

Operasi probabilistik dan matriks stokastik

Selain operasi deterministik, kita juga punya operasi probabilistik.

Misalnya, pertimbangkan operasi berikut pada sebuah bit. Jika status klasik bit adalah $0,$ ia dibiarkan; dan jika status klasik bit adalah $1,$ ia dibalik, sehingga menjadi $0$ dengan probabilitas $1/2$ dan $1$ dengan probabilitas $1/2.$ Operasi ini direpresentasikan oleh matriks

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

Seseorang bisa memverifikasi bahwa matriks ini melakukan hal yang benar dengan mengalikan kedua vektor basis standar dengannya.

Untuk pilihan himpunan status klasik yang sembarang, kita bisa mendeskripsikan himpunan semua operasi probabilistik secara matematis sebagai yang direpresentasikan oleh matriks stokastik, yaitu matriks yang memenuhi dua sifat ini:

1. Semua entri adalah bilangan real tak negatif.
2. Entri di setiap kolom berjumlah $1.$

Secara ekuivalen, matriks stokastik adalah matriks yang semua kolomnya membentuk vektor probabilitas.

Kita bisa memikirkan operasi probabilistik secara intuitif sebagai operasi di mana keacakan mungkin digunakan atau diperkenalkan selama operasi, seperti dalam contoh di atas. Berkenaan dengan deskripsi matriks stokastik dari operasi probabilistik, setiap kolom bisa dipandang sebagai representasi vektor dari status probabilistik yang dihasilkan berdasarkan status klasik input yang sesuai dengan kolom tersebut.

Kita juga bisa memikirkan matriks stokastik sebagai tepat matriks-matriks yang selalu memetakan vektor probabilitas ke vektor probabilitas. Yaitu, matriks stokastik selalu memetakan vektor probabilitas ke vektor probabilitas, dan matriks apapun yang selalu memetakan vektor probabilitas ke vektor probabilitas harus berupa matriks stokastik.

Akhirnya, cara lain untuk memikirkan operasi probabilistik adalah bahwa mereka adalah pilihan acak dari operasi deterministik. Misalnya, kita bisa memikirkan operasi dalam contoh di atas sebagai menerapkan fungsi identitas atau fungsi konstanta 0, masing-masing dengan probabilitas $1/2.$ Ini konsisten dengan persamaan

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

Ekspresi seperti itu selalu mungkin, untuk pilihan himpunan status klasik yang sembarang dan matriks stokastik apapun dengan baris dan kolom yang diidentifikasi dengan himpunan status klasik tersebut.

Komposisi operasi probabilistik

Misalkan $\mathsf{X}$ adalah sistem dengan himpunan status klasik $\Sigma,$ dan $M_1,\ldots,M_n$ adalah matriks stokastik yang merepresentasikan operasi probabilistik pada sistem $\mathsf{X}.$

Jika operasi pertama $M_1$ diterapkan pada status probabilistik yang direpresentasikan oleh vektor probabilitas $u,$ status probabilistik yang dihasilkan direpresentasikan oleh vektor $M_1 u.$ Jika kita kemudian menerapkan operasi probabilistik kedua $M_2$ pada vektor probabilitas baru ini, kita mendapatkan vektor probabilitas

$$M_2 (M_1 u) = (M_2 M_1) u.$$

Kesetaraan ini mengikuti dari fakta bahwa perkalian matriks (yang mencakup perkalian matriks-vektor sebagai kasus khusus) adalah operasi asosiatif. Jadi, operasi probabilistik yang diperoleh dengan mengomposisikan operasi probabilistik pertama dan kedua, di mana kita menerapkan $M_1$ terlebih dahulu kemudian menerapkan $M_2,$ direpresentasikan oleh matriks $M_2 M_1,$ yang pasti stokastik.

Lebih umum, mengomposisikan operasi probabilistik yang direpresentasikan oleh matriks $M_1,\ldots,M_n$ dalam urutan ini, artinya $M_1$ diterapkan pertama, $M_2$ diterapkan kedua, dan seterusnya, dengan $M_n$ diterapkan terakhir, direpresentasikan oleh perkalian matriks

$$M_n \,\cdots\, M_1.$$

Perhatikan bahwa urutan penting di sini: meskipun perkalian matriks bersifat asosiatif, ini bukan operasi komutatif. Misalnya, jika

$$M_1 = \begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \quad\text{and}\quad M_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix},$$

maka

$$M_2 M_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\[1mm] 1 & 1 \end{pmatrix} \quad\text{and}\quad M_1 M_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix}.$$

Artinya, urutan operasi probabilistik dikombinasikan penting; mengubah urutan operasi yang diterapkan dalam sebuah komposisi bisa mengubah operasi yang dihasilkan.