Informasi kuantum

Kita sekarang siap untuk beralih ke informasi kuantum dalam konteks beberapa sistem. Seperti pada pelajaran sebelumnya tentang sistem tunggal, deskripsi matematis informasi kuantum untuk beberapa sistem sangat mirip dengan kasus probabilistik dan menggunakan konsep serta teknik yang serupa.

Keadaan kuantum

Beberapa sistem bisa dipandang secara kolektif sebagai sistem tunggal yang majemuk. Kita sudah melihat ini dalam konteks probabilistik, dan konteks kuantum pun serupa. Keadaan kuantum dari beberapa sistem oleh karena itu direpresentasikan oleh vektor kolom dengan entri bilangan kompleks dan norma Euclidean yang sama dengan $1,$ persis seperti keadaan kuantum sistem tunggal. Dalam kasus beberapa sistem, entri vektor-vektor ini ditempatkan bersesuaian dengan produk Kartesian dari himpunan keadaan klasik yang terkait dengan masing-masing sistem individual, karena itulah himpunan keadaan klasik dari sistem majemuk tersebut.

Misalnya, jika $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ adalah qubit, maka himpunan keadaan klasik dari pasangan qubit $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ yang dipandang secara kolektif sebagai satu sistem, adalah produk Kartesian $\{0,1\}\times\{0,1\}.$ Dengan merepresentasikan pasangan nilai biner sebagai string biner panjang dua, kita mengasosiasikan himpunan produk Kartesian ini dengan himpunan $\{00,01,10,11\}.$ Vektor-vektor berikut oleh karena itu semuanya merupakan contoh vektor keadaan kuantum dari pasangan $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11\rangle, \quad \frac{3}{5} \vert 00\rangle - \frac{4}{5} \vert 11\rangle, \quad \text{and} \quad \vert 01 \rangle.$$

Ada variasi dalam cara vektor keadaan kuantum dari beberapa sistem diekspresikan, dan kita bisa memilih variasi mana pun yang sesuai preferensi kita. Berikut beberapa contoh untuk vektor keadaan kuantum pertama di atas.

1. Kita bisa menggunakan fakta bahwa $\vert ab\rangle = \vert a\rangle \vert b\rangle$ (untuk keadaan klasik $a$ dan $b$ apa pun) untuk menulisnya sebagai

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\vert 1\rangle.$$

2. Kita bisa memilih untuk menuliskan simbol produk tensor secara eksplisit seperti ini:

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle\otimes\vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle\otimes\vert 1\rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle\otimes\vert 1\rangle.$$

3. Kita bisa memberi subskrip pada ket untuk menunjukkan bagaimana mereka bersesuaian dengan sistem yang dipertimbangkan, seperti ini:

   $$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0 \rangle_{\mathsf{Y}} - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 0\rangle_{\mathsf{Y}} + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle_{\mathsf{X}}\vert 1\rangle_{\mathsf{Y}}.$$

Tentu saja, kita juga bisa menuliskan vektor keadaan kuantum secara eksplisit sebagai vektor kolom:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] - \frac{1}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{i}{\sqrt{6}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix}.$$

Tergantung pada konteks kemunculannya, salah satu variasi ini mungkin lebih disukai — tetapi semuanya setara dalam artian bahwa mereka menggambarkan vektor yang sama.

Produk tensor dari vektor keadaan kuantum

Serupa dengan yang kita miliki untuk vektor probabilitas, produk tensor dari vektor keadaan kuantum juga merupakan vektor keadaan kuantum — dan sekali lagi mereka merepresentasikan kemandirian antar sistem.

Lebih rincinya, dimulai dengan kasus dua sistem, misalkan $\vert \phi \rangle$ adalah vektor keadaan kuantum dari sistem $\mathsf{X}$ dan $\vert \psi \rangle$ adalah vektor keadaan kuantum dari sistem $\mathsf{Y}.$ Produk tensor $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle,$ yang bisa juga ditulis sebagai $\vert \phi \rangle \vert \psi \rangle$ atau sebagai $\vert \phi \otimes \psi \rangle,$ kemudian merupakan vektor keadaan kuantum dari sistem gabungan $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ Sekali lagi kita menyebut keadaan dalam bentuk ini sebagai keadaan produk.

Secara intuitif, ketika pasangan sistem $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ berada dalam keadaan produk $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle,$ kita bisa menginterpretasikan ini sebagai $\mathsf{X}$ berada dalam keadaan kuantum $\vert \phi \rangle,$ $\mathsf{Y}$ berada dalam keadaan kuantum $\vert \psi \rangle,$ dan keadaan kedua sistem tidak ada hubungannya satu sama lain.

Fakta bahwa vektor produk tensor $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ memang merupakan vektor keadaan kuantum konsisten dengan norma Euclidean yang bersifat multiplikatif terhadap produk tensor:

$$\begin{aligned} \bigl\| \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr\| & = \sqrt{ \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \bigl\vert\langle ab \vert \phi\otimes\psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert\langle a \vert \phi \rangle \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 }\\[1mm] & = \sqrt{ \biggl(\sum_{a\in\Sigma} \bigl\vert \langle a \vert \phi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) \biggl(\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle b \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 \biggr) }\\[1mm] & = \bigl\| \vert \phi \rangle \bigr\| \bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\|. \end{aligned}$$

Karena $\vert \phi \rangle$ dan $\vert \psi \rangle$ adalah vektor keadaan kuantum, kita memiliki $\|\vert \phi \rangle\| = 1$ dan $\|\vert \psi \rangle\| = 1,$ dan oleh karena itu $\|\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle\| = 1,$ sehingga $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ juga merupakan vektor keadaan kuantum.

Ini berlaku umum untuk lebih dari dua sistem. Jika $\vert \psi_0 \rangle,\ldots,\vert \psi_{n-1} \rangle$ adalah vektor keadaan kuantum dari sistem $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1},$ maka $\vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle$ adalah vektor keadaan kuantum yang merepresentasikan keadaan produk dari sistem gabungan $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$ Sekali lagi, kita tahu bahwa ini adalah vektor keadaan kuantum karena

$$\bigl\| \vert \psi_{n-1} \rangle\otimes\cdots\otimes \vert \psi_0 \rangle \bigr\| = \bigl\|\vert \psi_{n-1} \rangle\bigl\| \cdots \bigl\|\vert \psi_0 \rangle \bigr\| = 1^n = 1.$$

Keadaan terjalin

Tidak semua vektor keadaan kuantum dari beberapa sistem adalah keadaan produk. Misalnya, vektor keadaan kuantum

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle \tag{1}$$

dari dua qubit bukanlah keadaan produk. Untuk membuktikan ini, kita bisa mengikuti argumen yang persis sama yang kita gunakan di bagian sebelumnya untuk keadaan probabilistik. Yaitu, jika $(1)$ adalah keadaan produk, maka akan ada vektor keadaan kuantum $\vert\phi\rangle$ dan $\vert\psi\rangle$ sehingga

$$\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11\rangle.$$

Tapi kemudian haruslah berlaku bahwa

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 01 \vert \phi\otimes\psi\rangle = 0$$

yang berarti $\langle 0 \vert \phi\rangle = 0$ atau $\langle 1 \vert \psi\rangle = 0$ (atau keduanya). Hal itu bertentangan dengan fakta bahwa

$$\langle 0 \vert \phi\rangle \langle 0 \vert \psi\rangle = \langle 00 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

dan

$$\langle 1 \vert \phi\rangle \langle 1 \vert \psi\rangle = \langle 11 \vert \phi\otimes\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

keduanya bukan nol. Dengan demikian, vektor keadaan kuantum $(1)$ merepresentasikan korelasi antara dua sistem, dan secara khusus kita katakan bahwa sistem-sistem tersebut terjalin.

Perhatikan bahwa nilai spesifik $1/\sqrt{2}$ tidak penting untuk argumen ini — yang penting hanyalah bahwa nilai ini bukan nol. Jadi, misalnya, keadaan kuantum

$$\frac{3}{5} \vert 00\rangle + \frac{4}{5} \vert 11\rangle$$

juga bukan keadaan produk, dengan argumen yang sama.

Keterjeratan adalah fitur khas dari informasi kuantum yang akan dibahas lebih detail dalam pelajaran selanjutnya. Keterjeratan bisa rumit, khususnya untuk jenis keadaan kuantum yang bising yang bisa dijelaskan oleh matriks densitas (yang dibahas dalam kursus Formulasi umum informasi kuantum, yang merupakan kursus ketiga dalam seri Memahami Informasi dan Komputasi Kuantum). Untuk vektor keadaan kuantum, bagaimanapun, keterjeratan setara dengan korelasi: vektor keadaan kuantum mana pun yang bukan keadaan produk merepresentasikan keadaan terjalin.

Sebaliknya, vektor keadaan kuantum

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle$$

adalah contoh dari keadaan produk.

$$\frac{1}{2} \vert 00\rangle + \frac{i}{2} \vert 01\rangle - \frac{1}{2} \vert 10\rangle - \frac{i}{2} \vert 11\rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr) \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}}\vert 0\rangle + \frac{i}{\sqrt{2}}\vert 1\rangle \biggr)$$

Oleh karena itu, keadaan ini tidak terjalin.

Keadaan Bell

Kita sekarang akan melihat beberapa contoh penting dari keadaan kuantum multi-Qubit, dimulai dengan keadaan Bell. Ini adalah empat keadaan dua qubit berikut:

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[3mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[3mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

Keadaan Bell dinamakan untuk menghormati John Bell. Perhatikan bahwa argumen yang sama yang menetapkan bahwa $\vert\phi^+\rangle$ bukan keadaan produk mengungkapkan bahwa tidak ada keadaan Bell lainnya yang merupakan keadaan produk juga: keempat keadaan Bell merepresentasikan keterjeratan antara dua qubit.

Kumpulan keempat keadaan Bell

$$\bigl\{\vert \phi^+ \rangle, \vert \phi^- \rangle, \vert \psi^+ \rangle, \vert \psi^- \rangle\bigr\}$$

dikenal sebagai basis Bell. Sesuai namanya, ini adalah sebuah basis; vektor keadaan kuantum mana pun dari dua qubit, atau memang vektor kompleks mana pun yang memiliki entri yang bersesuaian dengan empat keadaan klasik dari dua bit, bisa diekspresikan sebagai kombinasi linear dari keempat keadaan Bell. Misalnya,

$$\vert 0 0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^+\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert \phi^-\rangle.$$

Keadaan GHZ dan W

Selanjutnya kita akan mempertimbangkan dua contoh menarik dari keadaan tiga qubit. Contoh pertama adalah keadaan GHZ (dinamakan untuk menghormati Daniel Greenberger, Michael Horne, dan Anton Zeilinger, yang pertama kali mempelajari beberapa sifatnya):

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

Contoh kedua adalah yang disebut keadaan W:

$$\frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle.$$

Tidak satu pun dari keadaan ini yang merupakan keadaan produk, artinya tidak bisa ditulis sebagai produk tensor dari tiga vektor keadaan kuantum qubit. Kita akan memeriksa kedua keadaan ini nanti ketika kita membahas pengukuran parsial dari keadaan kuantum beberapa sistem.

Contoh tambahan

Contoh keadaan kuantum dari beberapa sistem yang kita lihat sejauh ini adalah keadaan dari dua atau tiga qubit, tetapi kita juga bisa mempertimbangkan keadaan kuantum dari beberapa sistem yang memiliki himpunan keadaan klasik berbeda.

Misalnya, ini adalah keadaan kuantum dari tiga sistem, $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ dan $\mathsf{Z},$ di mana himpunan keadaan klasik dari $\mathsf{X}$ adalah alfabet biner (jadi $\mathsf{X}$ adalah qubit) dan himpunan keadaan klasik dari $\mathsf{Y}$ dan $\mathsf{Z}$ adalah $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}:$

$$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \heartsuit \rangle + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \vert \spadesuit\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \vert \heartsuit\rangle \vert \diamondsuit \rangle.$$

Dan ini adalah contoh keadaan kuantum dari tiga sistem, $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ dan $\mathsf{Z},$ yang semuanya berbagi himpunan keadaan klasik $\{0,1,2\}$ yang sama:

$$\frac{ \vert 012 \rangle - \vert 021 \rangle + \vert 120 \rangle - \vert 102 \rangle + \vert 201 \rangle - \vert 210 \rangle }{\sqrt{6}}.$$

Sistem yang memiliki himpunan keadaan klasik $\{0,1,2\}$ sering disebut trit atau (dengan asumsi mereka bisa berada dalam keadaan kuantum) qutrit. Istilah qudit mengacu pada sistem yang memiliki himpunan keadaan klasik $\{0,\ldots,d-1\}$ untuk pilihan $d$ yang sembarang.

Pengukuran keadaan kuantum

Pengukuran basis standar dari keadaan kuantum sistem tunggal dibahas dalam pelajaran sebelumnya: jika sistem yang memiliki himpunan keadaan klasik $\Sigma$ berada dalam keadaan kuantum yang direpresentasikan oleh vektor $\vert \psi \rangle,$ dan sistem itu diukur (terhadap pengukuran basis standar), maka setiap keadaan klasik $a\in\Sigma$ muncul dengan probabilitas $\vert \langle a \vert \psi \rangle\vert^2.$ Ini memberitahu kita apa yang terjadi ketika kita memiliki keadaan kuantum dari beberapa sistem dan memilih untuk mengukur seluruh sistem majemuk, yang setara dengan mengukur semua sistem.

Untuk menyatakannya secara tepat, misalkan $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ adalah sistem-sistem yang memiliki himpunan keadaan klasik $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1},$ masing-masing. Kita kemudian bisa memandang $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ secara kolektif sebagai satu sistem yang himpunan keadaan klasiknya adalah produk Kartesian $\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0.$ Jika keadaan kuantum dari sistem ini direpresentasikan oleh vektor keadaan kuantum $\vert\psi\rangle,$ dan semua sistem diukur, maka setiap kemungkinan hasil $(a_{n-1},\ldots,a_0)\in\Sigma_{n-1}\times\cdots\times\Sigma_0$ muncul dengan probabilitas $\vert\langle a_{n-1}\cdots a_0\vert \psi\rangle\vert^2.$

Misalnya, jika sistem $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ secara bersama berada dalam keadaan kuantum

$$\frac{3}{5} \vert 0\rangle \vert \heartsuit \rangle - \frac{4i}{5} \vert 1\rangle \vert \spadesuit \rangle,$$

maka mengukur kedua sistem dengan pengukuran basis standar menghasilkan hasil $(0,\heartsuit)$ dengan probabilitas $9/25$ dan hasil $(1,\spadesuit)$ dengan probabilitas $16/25.$

Pengukuran parsial

Sekarang mari kita pertimbangkan situasi di mana kita punya beberapa sistem dalam suatu keadaan kuantum, dan kita mengukur sebagian dari sistem-sistem tersebut. Seperti sebelumnya, kita mulai dengan dua sistem $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ yang masing-masing punya himpunan keadaan klasik $\Sigma$ dan $\Gamma.$

Secara umum, vektor keadaan kuantum dari $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ berbentuk

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

di mana $\{\alpha_{ab} : (a,b)\in\Sigma\times\Gamma\}$ adalah kumpulan bilangan kompleks yang memenuhi

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \vert \alpha_{ab} \vert^2 = 1,$$

yang setara dengan $\vert \psi \rangle$ menjadi vektor satuan.

Kita sudah tahu, dari pembahasan di atas, bahwa jika $\mathsf{X}$ maupun $\mathsf{Y}$ keduanya diukur, maka setiap hasil yang mungkin $(a,b)\in\Sigma\times\Gamma$ muncul dengan probabilitas

$$\bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

Jika kita anggap hanya sistem pertama $\mathsf{X}$ yang diukur, maka probabilitas untuk setiap hasil $a\in\Sigma$ harus sama dengan

$$\sum_{b\in\Gamma} \bigl\vert \langle ab \vert \psi \rangle \bigr\vert^{2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2.$$

Ini konsisten dengan apa yang sudah kita lihat dalam konteks probabilistik, serta pemahaman fisika kita saat ini: probabilitas untuk setiap hasil muncul ketika $\mathsf{X}$ diukur tidak mungkin bergantung pada apakah $\mathsf{Y}$ juga diukur atau tidak, karena itu akan memungkinkan komunikasi lebih cepat dari cahaya.

Setelah mendapatkan hasil tertentu $a\in\Sigma$ dari pengukuran basis standar pada $\mathsf{X},$ secara alami kita berharap keadaan kuantum $\mathsf{X}$ berubah menjadi $\vert a\rangle,$ sama seperti yang terjadi pada sistem tunggal. Tapi apa yang terjadi pada keadaan kuantum $\mathsf{Y}$?

Untuk menjawab pertanyaan ini, kita bisa terlebih dahulu menyatakan vektor $\vert\psi\rangle$ sebagai

$$\vert\psi\rangle = \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle \otimes \vert \phi_a \rangle,$$

di mana

$$\vert \phi_a \rangle = \sum_{b\in\Gamma} \alpha_{ab} \vert b\rangle$$

untuk setiap $a\in\Sigma.$ Di sini kita mengikuti metodologi yang sama seperti dalam kasus probabilistik, yaitu mengisolasi keadaan basis standar dari sistem yang sedang diukur. Probabilitas pengukuran basis standar $\mathsf{X}$ menghasilkan setiap hasil $a$ adalah sebagai berikut:

$$\sum_{b\in\Gamma} \vert\alpha_{ab}\vert^2 = \bigl\| \vert \phi_a \rangle \bigr\|^2.$$

Dan, sebagai akibat dari pengukuran basis standar $\mathsf{X}$ yang menghasilkan hasil $a,$ keadaan kuantum pasangan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ secara bersama-sama menjadi

$$\vert a \rangle \otimes \frac{\vert \phi_a \rangle}{\|\vert \phi_a \rangle\|}.$$

Artinya, keadaan "kolaps" seperti dalam kasus sistem tunggal, tetapi hanya sejauh yang diperlukan agar keadaan konsisten dengan pengukuran $\mathsf{X}$ yang menghasilkan hasil $a.$

Secara informal, $\vert a \rangle \otimes \vert \phi_a\rangle$ merepresentasikan komponen $\vert \psi\rangle$ yang konsisten dengan pengukuran $\mathsf{X}$ yang menghasilkan hasil $a.$ Kita kemudian menormalisasi vektor ini — dengan membaginya dengan norma Euklides-nya, yang sama dengan $\|\vert\phi_a\rangle\|$ — untuk mendapatkan vektor keadaan kuantum yang valid dengan norma Euklides sama dengan $1.$ Langkah normalisasi ini analogi dengan apa yang kita lakukan dalam konteks probabilistik ketika kita membagi vektor dengan jumlah entri-entrinya untuk mendapatkan vektor probabilitas.

Sebagai contoh, pertimbangkan keadaan dua qubit $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ dari awal bagian ini:

$$\vert \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 01 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 10 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 11 \rangle.$$

Untuk memahami apa yang terjadi ketika sistem pertama $\mathsf{X}$ diukur, kita mulai dengan menuliskan

$$\vert \psi \rangle = \vert 0 \rangle \otimes \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) + \vert 1 \rangle \otimes \biggl( \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr).$$

Kita sekarang melihat, berdasarkan deskripsi di atas, bahwa probabilitas pengukuran menghasilkan hasil $0$ adalah

$$\biggl\|\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

di mana dalam kasus ini keadaan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ menjadi

$$\vert 0\rangle \otimes \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} = \vert 0\rangle \otimes \Biggl( \frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle - \frac{1}{2} \vert 1\rangle\Biggr);$$

dan probabilitas pengukuran menghasilkan hasil $1$ adalah

$$\biggl\|\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle\biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

di mana dalam kasus ini keadaan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ menjadi

$$\vert 1\rangle \otimes \frac{\frac{i}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{1}{3}}} = \vert 1\rangle \otimes \Biggl( \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\Biggr).$$

Teknik yang sama, digunakan secara simetris, menggambarkan apa yang terjadi jika sistem kedua $\mathsf{Y}$ yang diukur, bukan yang pertama. Kali ini kita menulis ulang vektor $\vert \psi \rangle$ sebagai

$$\vert \psi \rangle = \biggl( \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr) \otimes \vert 0\rangle + \biggl( -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

Probabilitas bahwa pengukuran $\mathsf{Y}$ menghasilkan hasil $0$ adalah

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} = \frac{2}{3},$$

di mana dalam kasus ini keadaan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ menjadi

$$\frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{6}} \vert 1 \rangle}{\sqrt{\frac{2}{3}}} \otimes \vert 0 \rangle = \biggl(\frac{\sqrt{3}}{2} \vert 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1 \rangle\biggr) \otimes\vert 0 \rangle;$$

dan probabilitas bahwa hasil pengukuran adalah $1$ adalah

$$\biggl\| -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle \biggr\|^2 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3},$$

di mana dalam kasus ini keadaan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ menjadi

$$\frac{ -\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 0 \rangle +\frac{1}{\sqrt{6}} \vert 1\rangle }{\frac{1}{\sqrt{3}}} \otimes \vert 1\rangle = \biggl(-\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr) \otimes \vert 1\rangle.$$

Catatan tentang keadaan kuantum tereduksi

Contoh sebelumnya menunjukkan keterbatasan dari deskripsi sederhana informasi kuantum, yaitu bahwa deskripsi ini tidak memberi kita cara untuk menggambarkan keadaan kuantum tereduksi (atau marjinal) dari hanya satu dari dua sistem (atau dari sebagian himpunan sistem manapun) seperti dalam kasus probabilistik.

Secara spesifik, untuk keadaan probabilistik dua sistem $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ yang dideskripsikan oleh vektor probabilitas

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert ab\rangle,$$

kita bisa menuliskan keadaan probabilistik tereduksi atau marjinal dari $\mathsf{X}$ saja sebagai

$$\sum_{a\in\Sigma} \biggl( \sum_{b\in\Gamma} p_{ab}\biggr) \vert a\rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert a\rangle.$$

Untuk vektor keadaan kuantum, tidak ada cara yang analogi untuk melakukan ini. Khususnya, untuk vektor keadaan kuantum

$$\vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert ab\rangle,$$

vektor

$$\sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_{ab} \vert a\rangle$$

secara umum bukan merupakan vektor keadaan kuantum, dan tidak secara tepat merepresentasikan konsep keadaan tereduksi atau marjinal.

Yang bisa kita lakukan sebagai gantinya adalah beralih ke konsep matriks densitas, yang dibahas dalam kursus Formulasi umum informasi kuantum. Matriks densitas memberi kita cara yang bermakna untuk mendefinisikan keadaan kuantum tereduksi yang analogi dengan konteks probabilistik.

Pengukuran parsial untuk tiga sistem atau lebih

Pengukuran parsial untuk tiga sistem atau lebih, di mana beberapa bagian dari sistem diukur, dapat direduksi ke kasus dua sistem dengan membagi sistem-sistem itu menjadi dua kelompok: yang diukur dan yang tidak. Berikut adalah contoh spesifik yang mengilustrasikan bagaimana ini bisa dilakukan. Ini secara khusus menunjukkan bagaimana memberi subskrip pada ket dengan nama sistem yang mereka representasikan bisa sangat berguna — dalam kasus ini karena memberi kita cara mudah untuk mendeskripsikan permutasi sistem.

Untuk contoh ini, kita akan mempertimbangkan keadaan kuantum dari 5-tupel sistem $(\mathsf{X}_4,\ldots,\mathsf{X}_0),$ di mana kelima sistem ini berbagi himpunan keadaan klasik yang sama $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\}:$

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \\ -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\heartsuit\rangle - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle \vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\clubsuit\rangle. \end{gathered}$$

Kita akan mempertimbangkan situasi di mana sistem pertama dan ketiga diukur, sementara sistem-sistem yang tersisa dibiarkan.

Secara konseptual, tidak ada perbedaan mendasar antara situasi ini dan situasi di mana salah satu dari dua sistem diukur. Sayangnya, karena sistem yang diukur bercampur dengan sistem yang tidak diukur, kita menghadapi kendala dalam menuliskan ekspresi yang diperlukan untuk melakukan perhitungan ini.

Salah satu cara untuk melanjutkan, seperti yang disarankan di atas, adalah dengan memberi subskrip pada ket untuk menunjukkan sistem mana yang mereka rujuk. Ini memberi kita cara untuk melacak sistem saat kita melakukan permutasi urutan ket, yang membuat matematikanya lebih sederhana.

Pertama, vektor keadaan kuantum di atas dapat ditulis secara alternatif sebagai

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0. \end{gathered}$$

Tidak ada yang berubah, kecuali sekarang setiap ket punya subskrip yang menunjukkan sistem mana yang bersesuaian. Di sini kita menggunakan subskrip $0,\ldots,4,$ tetapi nama sistem itu sendiri juga bisa digunakan (dalam situasi di mana kita punya nama sistem seperti $\mathsf{X},$ $\mathsf{Y},$ dan $\mathsf{Z},$ misalnya).

Kita sekarang bisa menyusun ulang ket dan mengumpulkan suku-suku sebagai berikut:

$$\begin{aligned} & \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 + \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\ & \quad + \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0\\ & \quad -\sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\\[2mm] & \hspace{1.5cm} = \vert\heartsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\diamondsuit\rangle_4 \vert\diamondsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr)\\ & \hspace{1.5cm} \quad + \vert\spadesuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_2 \biggl( \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0\biggr). \end{aligned}$$

Hasil kali tensor masih implisit, bahkan ketika tanda kurung digunakan, seperti dalam contoh ini.

Untuk memperjelas permutasi ket, perlu diingat bahwa hasil kali tensor tidak komutatif: jika $\vert \phi\rangle$ dan $\vert \pi \rangle$ adalah vektor, maka secara umum, $\vert \phi\rangle\otimes\vert \pi \rangle$ berbeda dari $\vert \pi\rangle\otimes\vert \phi \rangle,$ begitu pula untuk hasil kali tensor dari tiga vektor atau lebih. Misalnya, $\vert\heartsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle$ adalah vektor yang berbeda dari $\vert\heartsuit\rangle \vert\diamondsuit\rangle \vert\clubsuit\rangle \vert\spadesuit\rangle \vert\spadesuit\rangle.$ Penyusunan ulang ket yang baru saja kita lakukan tidak boleh diartikan seolah-olah menyarankan sebaliknya.

Sebaliknya, demi kemudahan perhitungan, kita hanya membuat keputusan bahwa lebih mudah untuk mengumpulkan sistem bersama-sama sebagai $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0)$ daripada $(\mathsf{X}_4,\mathsf{X}_3,\mathsf{X}_2,\mathsf{X}_1,\mathsf{X}_0).$ Subskrip pada ket berfungsi untuk menjaga semua ini tetap jelas, dan kita bebas untuk kembali ke urutan asli nanti jika ingin.

Kita sekarang melihat bahwa, jika sistem $\mathsf{X}_4$ dan $\mathsf{X}_2$ diukur, probabilitas (tidak nol) dari berbagai hasil adalah sebagai berikut:

• Hasil pengukuran $(\heartsuit,\diamondsuit)$ terjadi dengan probabilitas

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$$

• Hasil pengukuran $(\diamondsuit,\diamondsuit)$ terjadi dengan probabilitas

$$\biggl\| \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{2}{7}$$

• Hasil pengukuran $(\spadesuit,\clubsuit)$ terjadi dengan probabilitas

$$\biggl\| \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\spadesuit\rangle_3 \vert\diamondsuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 - \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\heartsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\clubsuit\rangle_0 \biggr\|^2 = \frac{1}{7} + \frac{1}{7} = \frac{2}{7}.$$

Jika hasil pengukuran adalah $(\heartsuit,\diamondsuit),$ misalnya, keadaan yang dihasilkan dari kelima sistem kita menjadi

$$\begin{aligned} & \vert \heartsuit\rangle_4 \vert \diamondsuit \rangle_2 \otimes \frac{ \sqrt{\frac{1}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 - i \sqrt{\frac{2}{7}} \vert\clubsuit\rangle_3 \vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0} {\sqrt{\frac{3}{7}}}\\ & \qquad = \sqrt{\frac{1}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\spadesuit\rangle_1 \vert\spadesuit\rangle_0 -i \sqrt{\frac{2}{3}} \vert \heartsuit\rangle_4 \vert\clubsuit\rangle_3 \vert \diamondsuit \rangle_2\vert\heartsuit\rangle_1 \vert\heartsuit\rangle_0. \end{aligned}$$

Di sini, untuk jawaban akhir, kita sudah kembali ke urutan asli sistem kita, hanya untuk menunjukkan bahwa kita bisa melakukannya. Untuk hasil pengukuran yang lain, keadaan dapat ditentukan dengan cara yang serupa.

Terakhir, berikut adalah dua contoh yang dijanjikan sebelumnya, dimulai dengan keadaan GHZ

$$\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 000\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 111\rangle.$$

Jika hanya sistem pertama yang diukur, kita mendapatkan hasil $0$ dengan probabilitas $1/2,$ di mana dalam kasus ini keadaan tiga qubit menjadi $\vert 000\rangle;$ dan kita juga mendapatkan hasil $1$ dengan probabilitas $1/2,$ di mana dalam kasus ini keadaan tiga qubit menjadi $\vert 111\rangle.$

Untuk keadaan W, di sisi lain, dengan asumsi lagi bahwa hanya sistem pertama yang diukur, kita mulai dengan menuliskan keadaan ini seperti ini:

$$\begin{aligned} & \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 001\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 010\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 100\rangle \\ & \qquad = \vert 0 \rangle \biggl( \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle\biggr) + \vert 1 \rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{3}}\vert 00\rangle\biggr). \end{aligned}$$

Probabilitas bahwa pengukuran qubit pertama menghasilkan hasil 0 oleh karena itu sama dengan

$$\biggl\| \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle \biggr\|^2 = \frac{2}{3},$$

dan dengan syarat pengukuran menghasilkan hasil ini, keadaan kuantum dari tiga qubit menjadi

$$\vert 0\rangle\otimes \frac{ \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 10\rangle }{ \sqrt{\frac{2}{3}} } = \vert 0\rangle \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10\rangle \biggr) = \vert 0\rangle\vert \psi^+\rangle.$$

Probabilitas bahwa hasil pengukuran adalah 1 adalah $1/3,$ di mana dalam kasus ini keadaan tiga qubit menjadi $\vert 100\rangle.$

Keadaan W bersifat simetris, dalam arti bahwa keadaan ini tidak berubah jika kita melakukan permutasi qubit. Karena itu kita mendapatkan deskripsi yang serupa untuk mengukur qubit kedua atau ketiga daripada yang pertama.

Operasi uniter

Pada prinsipnya, setiap matriks uniter yang baris dan kolomnya berkorespondensi dengan state klasik suatu sistem merepresentasikan operasi kuantum yang valid pada sistem tersebut. Hal ini tentu saja tetap berlaku untuk sistem gabungan, yang himpunan state klasiknya kebetulan merupakan hasil kali Kartesius dari himpunan state klasik masing-masing sistem individual.

Berfokus pada dua sistem, jika $\mathsf{X}$ adalah sistem dengan himpunan state klasik $\Sigma,$ dan $\mathsf{Y}$ adalah sistem dengan himpunan state klasik $\Gamma,$ maka himpunan state klasik dari sistem gabungan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ adalah $\Sigma\times\Gamma.$ Oleh karena itu, operasi kuantum pada sistem gabungan ini direpresentasikan oleh matriks uniter yang baris dan kolomnya berkorespondensi dengan himpunan $\Sigma\times\Gamma.$ Urutan baris dan kolom matriks-matriks ini sama dengan urutan yang digunakan untuk vektor state kuantum dari sistem $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

Sebagai contoh, misalkan $\Sigma = \{1,2,3\}$ dan $\Gamma = \{0,1\},$ dan ingat bahwa konvensi standar untuk mengurutkan elemen dari hasil kali Kartesius $\{1,2,3\}\times\{0,1\}$ adalah sebagai berikut:

$$(1,0),\;(1,1),\;(2,0),\;(2,1),\;(3,0),\; (3,1).$$

Berikut adalah contoh matriks uniter yang merepresentasikan operasi pada $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$U = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{i}{2} \\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & -\frac{i}{2} & -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{i}{2} \\[2mm] 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \end{pmatrix}.$$

Matriks uniter ini tidak istimewa, hanya sebagai contoh saja. Untuk memeriksa bahwa $U$ adalah uniter, cukup dengan menghitung dan memeriksa bahwa $U^{\dagger} U = \mathbb{I},$ misalnya. Atau, kita bisa memeriksa bahwa baris-baris (atau kolom-kolom) bersifat ortonormal, yang menjadi lebih sederhana dalam kasus ini mengingat bentuk khusus dari matriks $U.$

Aksi $U$ pada vektor basis standar $\vert 1, 1 \rangle,$ misalnya, adalah

$$U \vert 1, 1\rangle = \frac{1}{2} \vert 1, 0 \rangle + \frac{i}{2} \vert 1, 1 \rangle - \frac{1}{2} \vert 2, 0 \rangle - \frac{i}{2} \vert 3, 0\rangle,$$

yang bisa kita lihat dengan memeriksa kolom kedua dari $U,$ mempertimbangkan urutan kita atas himpunan $\{1,2,3\}\times\{0,1\}.$

Seperti halnya matriks apa pun, dimungkinkan untuk mengekspresikan $U$ menggunakan notasi Dirac, yang akan membutuhkan 20 suku untuk 20 entri nonzero dari $U.$ Namun jika kita menuliskan semua suku tersebut, alih-alih menulis matriks $6\times 6,$ hasilnya akan berantakan dan pola yang terlihat jelas dari ekspresi matriks kemungkinan tidak akan sejelas itu. Singkatnya, notasi Dirac tidak selalu menjadi pilihan terbaik.

Operasi uniter pada tiga sistem atau lebih bekerja dengan cara yang serupa, dengan matriks uniter yang baris dan kolomnya berkorespondensi dengan hasil kali Kartesius dari himpunan state klasik semua sistem. Kita sudah melihat satu contoh dalam pelajaran ini: operasi tiga qubit

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert (k+1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert,$$

di mana angka dalam bra dan ket berarti enkoding biner $3$-bit mereka. Selain menjadi operasi deterministik, ini juga merupakan operasi uniter. Operasi yang sekaligus deterministik dan uniter disebut operasi reversibel. Transpos konjugat dari matriks ini bisa ditulis seperti ini:

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert k \rangle \langle (k+1) \bmod 8 \vert = \sum_{k = 0}^{7} \vert (k-1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert.$$

Ini merepresentasikan kebalikan, atau dalam istilah matematika invers, dari operasi awal — yang merupakan apa yang kita harapkan dari transpos konjugat sebuah matriks uniter. Kita akan melihat contoh-contoh lain dari operasi uniter pada sistem ganda seiring berjalannya pelajaran ini.

Operasi uniter yang dilakukan secara independen pada sistem individual

Ketika operasi uniter dilakukan secara independen pada kumpulan sistem individual, aksi gabungan dari operasi-operasi independen ini dijelaskan oleh hasil kali tensor dari matriks uniter yang merepresentasikannya. Artinya, jika $\mathsf{X}_{0},\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ adalah sistem-sistem kuantum, $U_0,\ldots, U_{n-1}$ adalah matriks uniter yang merepresentasikan operasi pada sistem-sistem ini, dan operasi-operasi tersebut dilakukan secara independen pada sistem-sistem itu, maka aksi gabungan pada $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ direpresentasikan oleh matriks $U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0.$ Sekali lagi, kita menemukan bahwa pengaturan probabilistik dan kuantum bersifat analog dalam hal ini.

Seseorang secara alami akan memperkirakan, dari membaca paragraf sebelumnya, bahwa hasil kali tensor dari kumpulan matriks uniter apa pun adalah uniter. Memang benar, dan kita bisa memverifikasinya sebagai berikut.

Perhatikan pertama bahwa operasi transpos konjugat memenuhi

$$(M_{n-1} \otimes \cdots \otimes M_0)^{\dagger} = M_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes M_0^{\dagger}$$

untuk matriks $M_0,\ldots,M_{n-1}$ yang dipilih sembarang. Ini bisa diperiksa dengan kembali ke definisi hasil kali tensor dan transpos konjugat, serta memeriksa bahwa setiap entri dari kedua sisi persamaan sesuai. Ini berarti bahwa

$$(U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0).$$

Karena hasil kali tensor matriks bersifat multiplikatif, kita menemukan bahwa

$$(U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0) = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0.$$

Di sini kita telah menulis $\mathbb{I}_0,\ldots,\mathbb{I}_{n-1}$ untuk merujuk pada matriks yang merepresentasikan operasi identitas pada sistem $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1},$ artinya ini adalah matriks identitas yang ukurannya sesuai dengan jumlah state klasik dari $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}.$

Akhirnya, hasil kali tensor $\mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0$ sama dengan matriks identitas yang memiliki jumlah baris dan kolom yang sesuai dengan hasil kali jumlah baris dan kolom dari matriks $\mathbb{I}_{n-1},\ldots,\mathbb{I}_0.$ Matriks identitas yang lebih besar ini merepresentasikan operasi identitas pada sistem gabungan $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$

Sebagai ringkasan, kita memiliki urutan kesamaan berikut:

$$\begin{aligned} & (U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0)^{\dagger} (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} \otimes \cdots \otimes U_0^{\dagger}) (U_{n-1}\otimes\cdots\otimes U_0) \\ & \quad = (U_{n-1}^{\dagger} U_{n-1}) \otimes \cdots \otimes (U_0^{\dagger} U_0)\\ & \quad = \mathbb{I}_{n-1} \otimes \cdots \otimes \mathbb{I}_0\\ & \quad = \mathbb{I}. \end{aligned}$$

Kita oleh karena itu menyimpulkan bahwa $U_{n-1} \otimes \cdots \otimes U_0$ adalah uniter.

Situasi penting yang sering muncul adalah ketika operasi uniter diterapkan hanya pada satu sistem — atau subset yang tepat dari sistem-sistem — dalam sistem gabungan yang lebih besar. Misalnya, anggaplah $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ adalah sistem yang bisa kita pandang bersama-sama sebagai membentuk satu sistem gabungan $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ dan kita melakukan operasi hanya pada sistem $\mathsf{X}.$ Untuk lebih tepatnya, misalkan $U$ adalah matriks uniter yang merepresentasikan operasi pada $\mathsf{X},$ sehingga baris dan kolomnya telah dikorespondensi dengan state klasik dari $\mathsf{X}.$

Mengatakan bahwa kita melakukan operasi yang direpresentasikan oleh $U$ hanya pada sistem $\mathsf{X}$ berarti kita tidak melakukan apa-apa pada $\mathsf{Y},$ yang berarti kita secara independen melakukan $U$ pada $\mathsf{X}$ dan operasi identitas pada $\mathsf{Y}.$ Artinya, "tidak melakukan apa-apa" pada $\mathsf{Y}$ setara dengan melakukan operasi identitas pada $\mathsf{Y},$ yang direpresentasikan oleh matriks identitas $\mathbb{I}_\mathsf{Y}.$ (Ngomong-ngomong, di sini subskrip $\mathsf{Y}$ memberi tahu kita bahwa $\mathbb{I}_\mathsf{Y}$ merujuk pada matriks identitas yang memiliki jumlah baris dan kolom sesuai dengan himpunan state klasik dari $\mathsf{Y}.$) Operasi pada $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ yang diperoleh ketika kita melakukan $U$ pada $\mathsf{X}$ dan tidak melakukan apa-apa pada $\mathsf{Y}$ oleh karena itu direpresentasikan oleh matriks uniter

$$U \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}}.$$

Sebagai contoh, jika $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ adalah qubit, melakukan operasi Hadamard pada $\mathsf{X}$ dan tidak melakukan apa-apa pada $\mathsf{Y}$ setara dengan melakukan operasi

$$H \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{Y}} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

pada sistem gabungan $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

Serupa dengan itu, jika operasi yang direpresentasikan oleh matriks uniter $U$ diterapkan pada $\mathsf{Y}$ dan tidak ada yang dilakukan pada $\mathsf{X},$ operasi yang dihasilkan pada $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ direpresentasikan oleh matriks uniter

$$\mathbb{I}_{\mathsf{X}} \otimes U.$$

Sebagai contoh, jika kita kembali mempertimbangkan situasi di mana $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ keduanya adalah qubit dan $U$ adalah operasi Hadamard, operasi yang dihasilkan pada $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ direpresentasikan oleh matriks

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

Tidak setiap operasi uniter pada kumpulan sistem bisa ditulis sebagai hasil kali tensor dari operasi-operasi uniter seperti ini, sama seperti tidak setiap vektor state kuantum dari sistem-sistem tersebut merupakan product state. Sebagai contoh, baik operasi swap maupun operasi controlled-NOT pada dua qubit, yang dijelaskan di bawah, tidak bisa diekspresikan sebagai hasil kali tensor dari operasi-operasi uniter.

Operasi swap

Untuk mengakhiri pelajaran ini, mari kita lihat dua kelas contoh operasi uniter pada sistem ganda, dimulai dengan operasi swap.

Misalkan $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ adalah sistem yang berbagi himpunan state klasik $\Sigma$ yang sama. Operasi swap pada pasangan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ adalah operasi yang menukar isi dari kedua sistem, tetapi selain itu membiarkan sistem-sistem itu apa adanya — sehingga $\mathsf{X}$ tetap di kiri dan $\mathsf{Y}$ tetap di kanan. Kita akan menyebut operasi ini sebagai $\operatorname{SWAP},$ dan ia beroperasi seperti ini untuk setiap pilihan state klasik $a,b\in\Sigma:$

$$\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle.$$

Salah satu cara untuk menulis matriks yang terkait dengan operasi ini menggunakan notasi Dirac adalah sebagai berikut:

$$\mathrm{SWAP} = \sum_{c,d\in\Sigma} \vert c \rangle \langle d \vert \otimes \vert d \rangle \langle c \vert.$$

Mungkin tidak langsung terlihat jelas bahwa matriks ini merepresentasikan $\operatorname{SWAP},$ tetapi kita bisa memeriksa bahwa ia memenuhi kondisi $\operatorname{SWAP} \vert a \rangle \vert b \rangle = \vert b \rangle \vert a \rangle$ untuk setiap pilihan state klasik $a,b\in\Sigma.$ Sebagai contoh sederhana, ketika $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ adalah qubit, kita menemukan bahwa

$$\operatorname{SWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Operasi controlled-unitary

Sekarang misalkan $\mathsf{Q}$ adalah sebuah qubit dan $\mathsf{R}$ adalah sistem sembarang, dengan himpunan state klasik apa pun yang kita inginkan. Untuk setiap operasi uniter $U$ yang beraksi pada sistem $\mathsf{R},$ operasi controlled-$U$ adalah operasi uniter pada pasangan $(\mathsf{Q},\mathsf{R})$ yang didefinisikan sebagai berikut:

$$CU = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes U.$$

Sebagai contoh, jika $\mathsf{R}$ juga merupakan qubit, dan kita mempertimbangkan operasi Pauli $X$ pada $\mathrm{R},$ maka operasi controlled-$X$ diberikan oleh

$$CX = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes X = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Kita sudah menemui operasi ini dalam konteks informasi klasik dan operasi probabilistik sebelumnya dalam pelajaran ini. Mengganti operasi Pauli $X$ pada $\mathsf{R}$ dengan operasi $Z$ memberikan operasi ini:

$$CZ = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{R}} + \vert 1\rangle \langle 1\vert \otimes Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Jika sebaliknya kita mengambil $\mathsf{R}$ sebagai dua qubit, dan kita mengambil $U$ sebagai operasi swap antara dua qubit ini, kita mendapatkan operasi ini:

$$\operatorname{CSWAP} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Operasi ini juga dikenal sebagai operasi Fredkin, atau lebih umum, Fredkin gate. Aksinya pada state basis standar bisa dijelaskan sebagai berikut:

$$\begin{aligned} \operatorname{CSWAP} \vert 0 b c \rangle & = \vert 0 b c \rangle \\[1mm] \operatorname{CSWAP} \vert 1 b c \rangle & = \vert 1 c b \rangle \end{aligned}$$

Terakhir, operasi controlled-controlled-NOT, yang bisa kita sebut $CCX,$ disebut operasi Toffoli atau Toffoli gate. Representasi matriksnya terlihat seperti ini:

$$CCX = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Kita juga bisa mengekspresikannya menggunakan notasi Dirac sebagai berikut:

$$CCX = \bigl( \vert 00 \rangle \langle 00 \vert + \vert 01 \rangle \langle 01 \vert + \vert 10 \rangle \langle 10 \vert \bigr) \otimes \mathbb{I} + \vert 11 \rangle \langle 11 \vert \otimes X.$$