Informasi klasik

Seperti yang kita lakukan di pelajaran sebelumnya, kita akan memulai pelajaran ini dengan pembahasan tentang informasi klasik. Sekali lagi, deskripsi probabilistik dan kuantum secara matematis serupa, dan memahami cara matematika bekerja dalam konteks familiar informasi klasik sangat membantu dalam memahami mengapa informasi kuantum dideskripsikan seperti itu.

State klasik via hasil kali Cartesian

Kita akan mulai dari level yang paling dasar, dengan state klasik dari beberapa sistem. Untuk kesederhanaan, kita akan mulai dengan membahas dua sistem saja, lalu menggeneralisasi ke lebih dari dua sistem.

Untuk lebih tepatnya, misalkan $\mathsf{X}$ adalah sebuah sistem yang himpunan state klasiknya adalah $\Sigma,$ dan misalkan $\mathsf{Y}$ adalah sistem kedua yang himpunan state klasiknya adalah $\Gamma.$ Perhatikan bahwa, karena kita menyebut himpunan-himpunan ini sebagai himpunan state klasik, asumsi kita adalah bahwa $\Sigma$ dan $\Gamma$ keduanya berhingga dan tidak kosong. Bisa saja $\Sigma = \Gamma,$ tapi tidak harus demikian — dan terlepas dari itu, akan sangat membantu untuk menggunakan nama yang berbeda untuk merujuk himpunan-himpunan ini demi kejelasan.

Sekarang bayangkan dua sistem, $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y},$ ditempatkan berdampingan, dengan $\mathsf{X}$ di kiri dan $\mathsf{Y}$ di kanan. Jika kita mau, kita bisa memandang kedua sistem ini seolah-olah membentuk satu sistem tunggal, yang bisa kita notasikan dengan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ atau $\mathsf{XY}$ sesuai preferensi. Pertanyaan alami yang bisa ditanyakan tentang sistem gabungan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ ini adalah, "Apa saja state klasiknya?"

Jawabannya adalah bahwa himpunan state klasik dari $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ adalah hasil kali Cartesian dari $\Sigma$ dan $\Gamma,$ yaitu himpunan yang didefinisikan sebagai

$$\Sigma\times\Gamma = \bigl\{(a,b)\,:\,a\in\Sigma\;\text{and}\;b\in\Gamma\bigr\}.$$

Secara sederhana, hasil kali Cartesian adalah tepat konsep matematika yang menangkap ide memandang sebuah elemen dari satu himpunan dan sebuah elemen dari himpunan kedua bersama-sama, seolah-olah keduanya membentuk satu elemen dari satu himpunan. Dalam kasus ini, mengatakan bahwa $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ berada dalam state klasik $(a,b)\in\Sigma\times\Gamma$ berarti bahwa $\mathsf{X}$ berada dalam state klasik $a\in\Sigma$ dan $\mathsf{Y}$ berada dalam state klasik $b\in\Gamma;$ dan jika state klasik dari $\mathsf{X}$ adalah $a\in\Sigma$ dan state klasik dari $\mathsf{Y}$ adalah $b\in\Gamma,$ maka state klasik dari sistem gabungan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ adalah $(a,b).$

Untuk lebih dari dua sistem, situasinya digeneralisasi dengan cara yang alami. Jika kita misalkan $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_n$ adalah sistem-sistem dengan himpunan state klasik masing-masing $\Sigma_1,\ldots,\Sigma_n,$ untuk sembarang bilangan bulat positif $n,$ maka himpunan state klasik dari $n$-tupel $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_n),$ yang dipandang sebagai satu sistem gabungan tunggal, adalah hasil kali Cartesian

$$\Sigma_1\times\cdots\times\Sigma_n = \bigl\{(a_1,\ldots,a_n)\,:\, a_1\in\Sigma_1,\:\ldots,\:a_n\in\Sigma_n\bigr\}.$$

Tentu saja, kita bebas menggunakan nama apa pun yang kita inginkan untuk sistem, dan mengurutkannya sesuai keinginan. Khususnya, jika kita punya $n$ sistem seperti di atas, kita bisa memilih untuk menamainya $\mathsf{X}_{0},\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ dan menyusunnya dari kanan ke kiri, sehingga sistem gabungannya menjadi $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0).$ Mengikuti pola yang sama untuk penamaan state klasik dan himpunan state klasik terkait, kita mungkin kemudian merujuk pada sebuah state klasik

$$(a_{n-1},\ldots,a_0) \in \Sigma_{n-1}\times \cdots \times \Sigma_0$$

dari sistem gabungan ini. Memang, ini adalah konvensi urutan yang digunakan oleh Qiskit saat memberi nama beberapa qubit. Kita akan kembali ke konvensi ini dan bagaimana hubungannya dengan Circuit kuantum di pelajaran berikutnya, tapi kita akan mulai menggunakannya sekarang untuk membiasakan diri.

Seringkali lebih mudah untuk menulis state klasik berbentuk $(a_{n-1},\ldots,a_0)$ sebagai string $a_{n-1}\cdots a_0$ demi keringkasan, terutama dalam situasi yang sangat umum di mana himpunan state klasik $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1}$ diasosiasikan dengan himpunan simbol atau karakter. Dalam konteks ini, istilah alfabet umum digunakan untuk merujuk himpunan simbol yang digunakan untuk membentuk string, tapi definisi matematis alfabet persis sama dengan definisi himpunan state klasik: yaitu himpunan yang berhingga dan tidak kosong.

Sebagai contoh, misalkan $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_9$ adalah bit-bit, sehingga himpunan state klasik dari sistem-sistem ini semua sama.

$$\Sigma_0 = \Sigma_1 = \cdots = \Sigma_9 = \{0,1\}$$

Ada $2^{10} = 1024$ state klasik dari sistem gabungan $(\mathsf{X}_9,\ldots,\mathsf{X}_0),$ yang merupakan elemen-elemen dari himpunan

$$\Sigma_9\times\Sigma_8\times\cdots\times\Sigma_0 = \{0,1\}^{10}.$$

Ditulis sebagai string, state klasik tersebut terlihat seperti ini:

$$\begin{array}{c} 0000000000\\ 0000000001\\ 0000000010\\ 0000000011\\ 0000000100\\ \vdots\\[1mm] 1111111111 \end{array}$$

Untuk state klasik $0000000110,$ misalnya, kita melihat bahwa $\mathsf{X}_1$ dan $\mathsf{X}_2$ berada dalam state $1,$ sedangkan semua sistem lainnya berada dalam state $0.$

State probabilistik

Ingat dari pelajaran sebelumnya bahwa sebuah state probabilistik mengasosiasikan sebuah probabilitas dengan setiap state klasik dari suatu sistem. Dengan demikian, sebuah state probabilistik dari beberapa sistem — yang dipandang secara kolektif sebagai satu sistem tunggal — mengasosiasikan sebuah probabilitas dengan setiap elemen dari hasil kali Cartesian dari himpunan state klasik sistem-sistem individual.

Sebagai contoh, misalkan $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ keduanya adalah bit, sehingga himpunan state klasik yang bersesuaian adalah $\Sigma = \{0,1\}$ dan $\Gamma = \{0,1\},$ masing-masing. Berikut adalah sebuah state probabilistik dari pasangan $(\mathsf{X},\mathsf{Y}):$

$$\begin{aligned} \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (0,0)\bigr) & = 1/2 \\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (0,1)\bigr) & = 0\\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (1,0)\bigr) & = 0\\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (1,1)\bigr) & = 1/2 \end{aligned}$$

State probabilistik ini adalah di mana baik $\mathsf{X}$ maupun $\mathsf{Y}$ adalah bit acak — masing-masing adalah $0$ dengan probabilitas $1/2$ dan $1$ dengan probabilitas $1/2$ — tetapi state klasik dari kedua bit selalu sama. Ini adalah contoh dari sebuah korelasi antara sistem-sistem ini.

Mengurutkan himpunan state hasil kali Cartesian

State probabilistik dari sistem-sistem dapat direpresentasikan oleh vektor probabilitas, seperti yang dibahas di pelajaran sebelumnya. Khususnya, entri-entri vektor merepresentasikan probabilitas agar sistem berada dalam state klasik yang mungkin dari sistem tersebut, dan pemahamannya adalah bahwa sebuah korespondensi antara entri-entri dan himpunan state klasik telah dipilih.

Memilih korespondensi seperti itu secara efektif berarti memutuskan urutan state klasik, yang seringkali alami atau ditentukan oleh konvensi standar. Misalnya, alfabet biner $\{0,1\}$ secara alami diurutkan dengan $0$ pertama dan $1$ kedua, sehingga entri pertama dalam vektor probabilitas yang merepresentasikan state probabilistik sebuah bit adalah probabilitas untuk berada dalam state $0,$ dan entri kedua adalah probabilitas untuk berada dalam state $1.$

Tidak ada yang berubah dalam konteks beberapa sistem, tapi ada sebuah keputusan yang harus dibuat. Himpunan state klasik dari beberapa sistem bersama, yang dipandang secara kolektif sebagai satu sistem tunggal, adalah hasil kali Cartesian dari himpunan state klasik sistem-sistem individual — jadi kita harus memutuskan bagaimana elemen-elemen dari hasil kali Cartesian himpunan state klasik diurutkan.

Ada konvensi sederhana yang kita ikuti untuk melakukan ini, yaitu mulai dengan urutan apa pun yang sudah ada untuk himpunan state klasik individual, lalu mengurutkan elemen-elemen hasil kali Cartesian secara alfabetis. Cara lain untuk mengatakannya adalah bahwa entri-entri dalam setiap $n$-tupel (atau, secara ekuivalen, simbol-simbol dalam setiap string) diperlakukan seolah-olah memiliki signifikansi yang menurun dari kiri ke kanan. Sebagai contoh, menurut konvensi ini, hasil kali Cartesian $\{1,2,3\}\times\{0,1\}$ diurutkan seperti ini:

$$(1,0),\; (1,1),\; (2,0),\; (2,1),\; (3,0),\; (3,1).$$

Ketika $n$-tupel ditulis sebagai string dan diurutkan dengan cara ini, kita mengamati pola-pola yang familiar, seperti $\{0,1\}\times\{0,1\}$ diurutkan sebagai $00, 01, 10, 11,$ dan himpunan $\{0,1\}^{10}$ diurutkan seperti yang telah ditulis sebelumnya dalam pelajaran ini. Sebagai contoh lain, memandang himpunan $\{0, 1, \dots, 9\} \times \{0, 1, \dots, 9\}$ sebagai himpunan string, kita mendapatkan bilangan dua digit $00$ sampai $99,$ diurutkan secara numerik. Ini jelas bukan kebetulan; sistem desimal kita menggunakan tepat jenis pengurutan alfabetis ini, di mana kata alfabetis harus dipahami dalam arti luas yang mencakup angka selain huruf.

Kembali ke contoh dua bit dari atas, state probabilistik yang dijelaskan sebelumnya oleh karena itu direpresentasikan oleh vektor probabilitas berikut, di mana entri-entri diberi label secara eksplisit demi kejelasan.

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[1mm] 0\\[1mm] 0\\[1mm] \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{array}{l} \leftarrow \text{probability of being in the state 00}\\[1mm] \leftarrow \text{probability of being in the state 01}\\[1mm] \leftarrow \text{probability of being in the state 10}\\[1mm] \leftarrow \text{probability of being in the state 11} \end{array} \tag{1}$$

Independensi dua sistem

Jenis state probabilistik khusus dari dua sistem adalah yang di mana sistem-sistemnya independen. Secara intuitif, dua sistem independen jika mengetahui state klasik dari salah satu sistem tidak mempengaruhi probabilitas yang diasosiasikan dengan sistem yang lain. Artinya, mengetahui state klasik salah satu sistem tidak memberikan informasi sama sekali tentang state klasik sistem yang lain.

Untuk mendefinisikan gagasan ini secara tepat, misalkan sekali lagi $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ adalah sistem-sistem dengan himpunan state klasik masing-masing $\Sigma$ dan $\Gamma.$ Sehubungan dengan state probabilistik tertentu dari sistem-sistem ini, mereka dikatakan independen jika berlaku

$$\operatorname{Pr}((\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (a,b)) = \operatorname{Pr}(\mathsf{X} = a) \operatorname{Pr}(\mathsf{Y} = b) \tag{2}$$

untuk setiap pilihan $a\in\Sigma$ dan $b\in\Gamma.$

Untuk mengekspresikan kondisi ini dalam bentuk vektor probabilitas, asumsikan bahwa state probabilistik yang diberikan dari $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ dideskripsikan oleh sebuah vektor probabilitas, ditulis dalam notasi Dirac sebagai

$$\sum_{(a,b) \in \Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert a b\rangle.$$

Kondisi $(2)$ untuk independensi kemudian ekuivalen dengan keberadaan dua vektor probabilitas

$$\vert \phi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} q_a \vert a \rangle \quad\text{and}\quad \vert \psi \rangle = \sum_{b\in\Gamma} r_b \vert b \rangle, \tag{3}$$

yang merepresentasikan probabilitas yang diasosiasikan dengan state klasik dari $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y},$ masing-masing, sedemikian sehingga

$$p_{ab} = q_a r_b \tag{4}$$

untuk semua $a\in\Sigma$ dan $b\in\Gamma.$

Sebagai contoh, state probabilistik dari sepasang bit $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ yang direpresentasikan oleh vektor

$$\frac{1}{6} \vert 00 \rangle + \frac{1}{12} \vert 01 \rangle + \frac{1}{2} \vert 10 \rangle + \frac{1}{4} \vert 11 \rangle$$

adalah di mana $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ independen. Secara spesifik, kondisi yang diperlukan untuk independensi berlaku untuk vektor probabilitas

$$\vert \phi \rangle = \frac{1}{4} \vert 0 \rangle + \frac{3}{4} \vert 1 \rangle \quad\text{and}\quad \vert \psi \rangle = \frac{2}{3} \vert 0 \rangle + \frac{1}{3} \vert 1 \rangle.$$

Misalnya, untuk mencocokkan probabilitas untuk state $00,$ kita perlu $\frac{1}{6} = \frac{1}{4} \times \frac{2}{3},$ dan memang ini benar. Entri-entri lainnya dapat diverifikasi dengan cara serupa.

Di sisi lain, state probabilistik $(1),$ yang bisa kita tulis sebagai

$$\frac{1}{2} \vert 00 \rangle + \frac{1}{2} \vert 11 \rangle, \tag{5}$$

tidak merepresentasikan independensi antara sistem $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}.$ Cara sederhana untuk berargumentasi hal ini adalah sebagai berikut.

Misalkan ada vektor probabilitas $\vert \phi\rangle$ dan $\vert \psi \rangle,$ seperti dalam persamaan $(3)$ di atas, di mana kondisi $(4)$ terpenuhi untuk setiap pilihan $a$ dan $b.$ Maka pasti berlaku

$$q_0 r_1 = \operatorname{Pr}\bigl((\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (0,1)\bigr) = 0.$$

Ini menyiratkan bahwa $q_0 = 0$ atau $r_1 = 0,$ karena jika keduanya bukan nol, hasil kali $q_0 r_1$ juga akan bukan nol. Hal ini mengarah pada kesimpulan bahwa $q_0 r_0 = 0$ (jika $q_0 = 0$) atau $q_1 r_1 = 0$ (jika $r_1 = 0$). Namun, kita melihat bahwa tidak satu pun dari persamaan tersebut bisa benar karena kita harus punya $q_0 r_0 = 1/2$ dan $q_1 r_1 = 1/2.$ Oleh karena itu, tidak ada vektor $\vert\phi\rangle$ dan $\vert\psi\rangle$ yang memenuhi properti yang diperlukan untuk independensi.

Setelah mendefinisikan independensi antara dua sistem, kita sekarang bisa mendefinisikan apa yang dimaksud dengan korelasi: yaitu kurangnya independensi. Sebagai contoh, karena dua bit dalam state probabilistik yang direpresentasikan oleh vektor $(5)$ tidak independen, mereka, menurut definisi, berkorelasi.

Hasil kali tensor dari vektor

Kondisi independensi yang baru dijelaskan dapat diekspresikan secara ringkas melalui gagasan hasil kali tensor. Meskipun hasil kali tensor adalah gagasan yang sangat umum, dan dapat didefinisikan secara cukup abstrak serta diterapkan pada berbagai struktur matematika, kita bisa mengadopsi definisi yang sederhana dan konkret dalam kasus ini.

Diberikan dua vektor

$$\vert \phi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle \quad\text{and}\quad \vert \psi \rangle = \sum_{b\in\Gamma} \beta_b \vert b \rangle,$$

hasil kali tensor $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ adalah vektor yang didefinisikan sebagai

$$\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} \alpha_a \beta_b \vert ab\rangle.$$

Entri-entri dari vektor baru ini berkorespondensi dengan elemen-elemen dari hasil kali Cartesian $\Sigma\times\Gamma,$ yang ditulis sebagai string dalam persamaan sebelumnya. Secara ekuivalen, vektor $\vert \pi \rangle = \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$ didefinisikan oleh persamaan

$$\langle ab \vert \pi \rangle = \langle a \vert \phi \rangle \langle b \vert \psi \rangle$$

yang berlaku untuk setiap $a\in\Sigma$ dan $b\in\Gamma.$

Kita sekarang bisa merumuskan ulang kondisi untuk independensi: untuk sistem gabungan $(\mathsf{X}, \mathsf{Y})$ dalam state probabilistik yang direpresentasikan oleh vektor probabilitas $\vert \pi \rangle,$ sistem $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ independen jika $\vert\pi\rangle$ diperoleh dengan mengambil hasil kali tensor

$$\vert \pi \rangle = \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle$$

dari vektor probabilitas $\vert \phi \rangle$ dan $\vert \psi \rangle$ pada masing-masing subsistem $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}.$ Dalam situasi ini, $\vert \pi \rangle$ dikatakan sebagai state produk atau vektor produk.

Kita sering menghilangkan simbol $\otimes$ ketika mengambil hasil kali tensor dari ket, seperti menulis $\vert \phi \rangle \vert \psi \rangle$ daripada $\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle.$ Konvensi ini menangkap ide bahwa hasil kali tensor adalah, dalam konteks ini, cara yang paling alami atau default untuk mengambil hasil kali dua vektor. Meskipun kurang umum, notasi $\vert \phi\otimes\psi\rangle$ juga kadang-kadang digunakan.

Ketika kita menggunakan konvensi alfabetis untuk mengurutkan elemen-elemen dari hasil kali Cartesian, kita mendapatkan spesifikasi berikut untuk hasil kali tensor dari dua vektor kolom.

$$\begin{pmatrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_m \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \beta_1\\ \vdots\\ \beta_k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_1 \beta_1\\ \vdots\\ \alpha_1 \beta_k\\ \alpha_2 \beta_1\\ \vdots\\ \alpha_2 \beta_k\\ \vdots\\ \alpha_m \beta_1\\ \vdots\\ \alpha_m \beta_k \end{pmatrix}$$

Sebagai catatan penting, perhatikan ekspresi berikut untuk hasil kali tensor dari vektor basis standar:

$$\vert a \rangle \otimes \vert b \rangle = \vert ab \rangle.$$

Kita bisa juga menulis $(a,b)$ sebagai pasangan terurut, bukan sebagai string, dalam hal ini kita mendapatkan $\vert a \rangle \otimes \vert b \rangle = \vert (a,b) \rangle.$ Namun, lebih umum untuk menghilangkan tanda kurung dalam situasi ini, dan cukup menulis $\vert a \rangle \otimes \vert b \rangle = \vert a,b \rangle.$ Ini umum dalam matematika pada umumnya; tanda kurung yang tidak menambah kejelasan atau tidak menghilangkan ambiguitas seringkali cukup dihilangkan.

Hasil kali tensor dari dua vektor memiliki sifat penting bahwa ia bersifat bilinear, yang berarti bahwa ia bersifat linear dalam masing-masing dari dua argumen secara terpisah, dengan asumsi argumen yang lain tetap. Sifat ini dapat diekspresikan melalui persamaan-persamaan berikut:

1. Linearitas dalam argumen pertama:

$$\begin{aligned} \bigl(\vert\phi_1\rangle + \vert\phi_2\rangle\bigr)\otimes \vert\psi\rangle & = \vert\phi_1\rangle \otimes \vert\psi\rangle + \vert\phi_2\rangle \otimes \vert\psi\rangle \\[1mm] \bigl(\alpha \vert \phi \rangle\bigr) \otimes \vert \psi \rangle & = \alpha \bigl(\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr) \end{aligned}$$

2. Linearitas dalam argumen kedua:

$$\begin{aligned} \vert \phi \rangle \otimes \bigl(\vert \psi_1 \rangle + \vert \psi_2 \rangle \bigr) & = \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi_1 \rangle + \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi_2 \rangle\\[1mm] \vert \phi \rangle \otimes \bigl(\alpha \vert \psi \rangle \bigr) & = \alpha \bigl(\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle\bigr) \end{aligned}$$

Memperhatikan persamaan kedua dalam masing-masing pasangan persamaan ini, kita melihat bahwa skalar "mengambang bebas" dalam hasil kali tensor:

$$\bigl(\alpha \vert \phi \rangle\bigr) \otimes \vert \psi \rangle = \vert \phi \rangle \otimes \bigl(\alpha \vert \psi \rangle \bigr) = \alpha \bigl(\vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr).$$

Oleh karena itu tidak ada ambiguitas dalam cukup menulis $\alpha\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle,$ atau secara alternatif $\alpha\vert\phi\rangle\vert\psi \rangle$ atau $\alpha\vert\phi\otimes\psi\rangle,$ untuk merujuk vektor ini.

Independensi dan hasil kali tensor untuk tiga sistem atau lebih

Gagasan independensi dan hasil kali tensor digeneralisasi secara langsung ke tiga sistem atau lebih. Jika $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ adalah sistem-sistem dengan himpunan state klasik masing-masing $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1},$ maka state probabilistik dari sistem gabungan $(\mathsf{X}_{n-1},\ldots,\mathsf{X}_0)$ adalah state produk jika vektor probabilitas yang terkait berbentuk

$$\vert \psi \rangle = \vert \phi_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \phi_0 \rangle$$

untuk vektor-vektor probabilitas $\vert \phi_0 \rangle,\ldots,\vert \phi_{n-1}\rangle$ yang mendeskripsikan state probabilistik dari $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}.$ Di sini, definisi hasil kali tensor digeneralisasi dengan cara yang alami: vektor

$$\vert \psi \rangle = \vert \phi_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \phi_0 \rangle$$

didefinisikan oleh persamaan

$$\langle a_{n-1} \cdots a_0 \vert \psi \rangle = \langle a_{n-1} \vert \phi_{n-1} \rangle \cdots \langle a_0 \vert \phi_0 \rangle$$

yang berlaku untuk setiap $a_0\in\Sigma_0, \ldots a_{n-1}\in\Sigma_{n-1}.$

Cara berbeda, tapi ekuivalen, untuk mendefinisikan hasil kali tensor dari tiga atau lebih vektor adalah secara rekursif dalam bentuk hasil kali tensor dari dua vektor:

$$\vert \phi_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \phi_0 \rangle = \vert \phi_{n-1} \rangle \otimes \bigl( \vert \phi_{n-2} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert \phi_0 \rangle \bigr).$$

Mirip dengan hasil kali tensor dari dua vektor saja, hasil kali tensor dari tiga atau lebih vektor bersifat linear dalam masing-masing argumen secara individual, dengan asumsi semua argumen lainnya tetap. Dalam kasus ini dikatakan bahwa hasil kali tensor dari tiga atau lebih vektor bersifat multilinear.

Seperti dalam kasus dua sistem, kita bisa mengatakan bahwa sistem-sistem $\mathsf{X}_0,\ldots,\mathsf{X}_{n-1}$ independen ketika mereka berada dalam state produk, tapi istilah independen bersama lebih tepat. Ternyata ada gagasan independensi lain untuk tiga sistem atau lebih, seperti independensi berpasangan, yang keduanya menarik dan penting — tapi tidak dalam konteks kursus ini.

Menggeneralisasi pengamatan sebelumnya mengenai hasil kali tensor dari vektor basis standar, untuk sembarang bilangan bulat positif $n$ dan sembarang state klasik $a_0,\ldots,a_{n-1},$ kita punya

$$\vert a_{n-1} \rangle \otimes \cdots \otimes \vert a_0 \rangle = \vert a_{n-1} \cdots a_0 \rangle.$$

Pengukuran keadaan probabilistik

Sekarang kita beralih ke pengukuran keadaan probabilistik dari beberapa sistem. Dengan memilih untuk memandang beberapa sistem bersama-sama sebagai sistem tunggal, kita langsung mendapatkan spesifikasi bagaimana pengukuran harus bekerja untuk beberapa sistem — asalkan semua sistem diukur.

Misalnya, jika keadaan probabilistik dari dua bit $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ dideskripsikan oleh vektor probabilitas

$$\frac{1}{2} \vert 00 \rangle + \frac{1}{2} \vert 11 \rangle,$$

maka hasil $00$ — yang berarti $0$ untuk pengukuran $\mathsf{X}$ dan $0$ untuk pengukuran $\mathsf{Y}$ — diperoleh dengan probabilitas $1/2$ dan hasil $11$ juga diperoleh dengan probabilitas $1/2.$ Dalam setiap kasus kita memperbarui deskripsi vektor probabilitas dari pengetahuan kita sesuai dengan itu, sehingga keadaan probabilistik menjadi $|00\rangle$ atau $|11\rangle,$ masing-masing.

Namun, kita bisa memilih untuk tidak mengukur setiap sistem, melainkan hanya beberapa sistem saja. Ini akan menghasilkan hasil pengukuran untuk setiap sistem yang diukur, dan juga (pada umumnya) mempengaruhi pengetahuan kita tentang sistem yang tersisa yang tidak kita ukur.

Untuk menjelaskan cara kerjanya, kita akan fokus pada kasus dua sistem, salah satunya diukur. Situasi yang lebih umum — di mana sebagian subset yang tepat dari tiga atau lebih sistem diukur — secara efektif tereduksi menjadi kasus dua sistem ketika kita memandang sistem yang diukur secara kolektif seolah-olah membentuk satu sistem dan sistem yang tidak diukur seolah-olah membentuk sistem kedua.

Lebih tepatnya, misalkan $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ adalah sistem yang himpunan keadaan klasiknya masing-masing adalah $\Sigma$ dan $\Gamma,$ dan bahwa kedua sistem bersama-sama berada dalam suatu keadaan probabilistik. Kita akan mempertimbangkan apa yang terjadi ketika kita hanya mengukur $\mathsf{X}$ dan tidak melakukan apa-apa pada $\mathsf{Y}.$ Situasi di mana hanya $\mathsf{Y}$ yang diukur dan tidak ada yang terjadi pada $\mathsf{X}$ ditangani secara simetris.

Pertama, kita tahu bahwa probabilitas untuk mengamati keadaan klasik tertentu $a\in\Sigma$ ketika hanya $\mathsf{X}$ yang diukur harus konsisten dengan probabilitas yang akan kita peroleh di bawah asumsi bahwa $\mathsf{Y}$ juga diukur. Artinya, kita harus memiliki

$$\operatorname{Pr}(\mathsf{X} = a) = \sum_{b\in\Gamma} \operatorname{Pr}\bigl( (\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (a,b) \bigr).$$

Ini adalah rumus untuk keadaan probabilistik tereduksi (atau marginal) dari $\mathsf{X}$ saja.

Rumus ini sangat masuk akal pada tingkat intuitif, dalam arti bahwa sesuatu yang sangat aneh harus terjadi agar rumus ini salah. Jika rumus ini salah, itu berarti mengukur $\mathsf{Y}$ entah bagaimana bisa mempengaruhi probabilitas yang terkait dengan berbagai hasil pengukuran $\mathsf{X},$ terlepas dari hasil aktual pengukuran $\mathsf{Y}.$ Jika $\mathsf{Y}$ kebetulan berada di lokasi yang jauh, misalnya di suatu tempat di galaksi lain, hal ini akan memungkinkan pensinyalan lebih cepat dari cahaya — yang kita tolak berdasarkan pemahaman kita tentang fisika. Cara lain untuk memahami ini berasal dari interpretasi probabilitas sebagai cerminan tingkat keyakinan. Kenyataan bahwa seseorang mungkin memutuskan untuk melihat $\mathsf{Y}$ tidak dapat mengubah keadaan klasik $\mathsf{X},$ sehingga tanpa informasi apa pun tentang apa yang mereka lakukan atau tidak lihat, keyakinan seseorang tentang keadaan $\mathsf{X}$ seharusnya tidak berubah sebagai akibatnya.

Sekarang, mengingat asumsi bahwa hanya $\mathsf{X}$ yang diukur dan $\mathsf{Y}$ tidak, mungkin masih ada ketidakpastian tentang keadaan klasik $\mathsf{Y}.$ Karena alasan ini, alih-alih memperbarui deskripsi kita tentang keadaan probabilistik $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ menjadi $\vert ab\rangle$ untuk beberapa pilihan $a\in\Sigma$ dan $b\in\Gamma,$ kita harus memperbarui deskripsi kita sehingga ketidakpastian tentang $\mathsf{Y}$ ini tercermin dengan benar.

Rumus probabilitas bersyarat berikut mencerminkan ketidakpastian ini.

$$\operatorname{Pr}(\mathsf{Y} = b \,\vert\, \mathsf{X} = a) = \frac{ \operatorname{Pr}\bigl((\mathsf{X},\mathsf{Y}) = (a,b)\bigr) }{ \operatorname{Pr}(\mathsf{X} = a) }$$

Di sini, ekspresi $\operatorname{Pr}(\mathsf{Y} = b \,\vert\, \mathsf{X} = a)$ menyatakan probabilitas bahwa $\mathsf{Y} = b$ dikondisikan pada (atau diberikan bahwa) $\mathsf{X} = a.$ Secara teknis, ekspresi ini hanya masuk akal jika $\operatorname{Pr}(\mathsf{X}=a)$ bukan nol, karena jika $\operatorname{Pr}(\mathsf{X}=a) = 0,$ maka kita membagi dengan nol dan mendapatkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}.$ Namun ini bukan masalah, karena jika probabilitas yang terkait dengan $a$ adalah nol, maka kita tidak akan pernah mendapatkan $a$ sebagai hasil pengukuran $\mathsf{X},$ sehingga kita tidak perlu khawatir dengan kemungkinan ini.

Untuk mengekspresikan rumus-rumus ini dalam bentuk vektor probabilitas, pertimbangkan vektor probabilitas $\vert \pi \rangle$ yang mendeskripsikan keadaan probabilistik bersama dari $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

$$\vert\pi\rangle = \sum_{(a,b)\in\Sigma\times\Gamma} p_{ab} \vert ab\rangle$$

Mengukur $\mathsf{X}$ saja menghasilkan setiap kemungkinan hasil $a\in\Sigma$ dengan probabilitas

$$\operatorname{Pr}(\mathsf{X} = a) = \sum_{c\in\Gamma} p_{ac}.$$

Vektor yang merepresentasikan keadaan probabilistik $\mathsf{X}$ saja karena itu diberikan oleh

$$\sum_{a\in\Sigma} \biggl(\sum_{c\in\Gamma} p_{ac}\biggr) \vert a\rangle.$$

Setelah mendapatkan hasil tertentu $a\in\Sigma$ dari pengukuran $\mathsf{X},$ keadaan probabilistik $\mathsf{Y}$ diperbarui sesuai dengan rumus probabilitas bersyarat, sehingga direpresentasikan oleh vektor probabilitas berikut:

$$\vert \psi_a \rangle = \frac{\sum_{b\in\Gamma}p_{ab}\vert b\rangle}{\sum_{c\in\Gamma} p_{ac}}.$$

Dalam hal pengukuran $\mathsf{X}$ menghasilkan keadaan klasik $a,$ kita karena itu memperbarui deskripsi kita tentang keadaan probabilistik sistem gabungan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ menjadi $\vert a\rangle \otimes \vert\psi_a\rangle.$

Satu cara untuk memikirkan definisi $\vert\psi_a\rangle$ ini adalah melihatnya sebagai normalisasi dari vektor $\sum_{b\in\Gamma} p_{ab} \vert b\rangle,$ di mana kita membagi dengan jumlah entri dalam vektor ini untuk mendapatkan vektor probabilitas. Normalisasi ini secara efektif memperhitungkan pengkondisian pada kejadian bahwa pengukuran $\mathsf{X}$ telah menghasilkan hasil $a.$

Untuk contoh spesifik, misalkan himpunan keadaan klasik $\mathsf{X}$ adalah $\Sigma = \{0,1\},$ himpunan keadaan klasik $\mathsf{Y}$ adalah $\Gamma = \{1,2,3\},$ dan keadaan probabilistik $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ adalah

$$\vert \pi \rangle = \frac{1}{2} \vert 0,1 \rangle + \frac{1}{12} \vert 0,3 \rangle + \frac{1}{12} \vert 1,1 \rangle + \frac{1}{6} \vert 1,2 \rangle + \frac{1}{6} \vert 1,3 \rangle.$$

Tujuan kita adalah menentukan probabilitas dari dua kemungkinan hasil ($0$ dan $1$), dan menghitung keadaan probabilistik $\mathsf{Y}$ yang dihasilkan untuk kedua hasil tersebut, dengan asumsi sistem $\mathsf{X}$ diukur.

Menggunakan bilinearitas dari produk tensor, dan khususnya fakta bahwa produk tensor bersifat linear dalam argumen kedua, kita dapat menulis ulang vektor $\vert \pi \rangle$ sebagai berikut:

$$\vert \pi \rangle = \vert 0\rangle \otimes \biggl( \frac{1}{2} \vert 1 \rangle + \frac{1}{12} \vert 3 \rangle\biggr) + \vert 1\rangle \otimes \biggl( \frac{1}{12} \vert 1 \rangle + \frac{1}{6} \vert 2\rangle + \frac{1}{6} \vert 3 \rangle\biggr).$$

Dengan kata-kata, apa yang kita lakukan adalah mengisolasi vektor basis standar yang berbeda untuk sistem pertama (yaitu, yang sedang diukur), lalu mentensor masing-masing dengan kombinasi linear dari vektor basis standar untuk sistem kedua yang kita dapatkan dengan memilih entri dari vektor asli yang konsisten dengan keadaan klasik yang sesuai dari sistem pertama. Sejenak merenung mengungkapkan bahwa ini selalu mungkin dilakukan, terlepas dari vektor apa yang kita mulai.

Setelah mengekspresikan vektor probabilitas kita dengan cara ini, efek pengukuran sistem pertama menjadi mudah dianalisis. Probabilitas dari dua hasil dapat diperoleh dengan menjumlahkan probabilitas dalam tanda kurung.

$$\begin{aligned} \operatorname{Pr}(\mathsf{X} = 0) & = \frac{1}{2} + \frac{1}{12} = \frac{7}{12}\\[3mm] \operatorname{Pr}(\mathsf{X} = 1) & = \frac{1}{12} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{5}{12} \end{aligned}$$

Probabilitas-probabilitas ini berjumlah satu, seperti yang diharapkan — tetapi ini adalah pemeriksaan yang berguna atas perhitungan kita.

Dan sekarang, keadaan probabilistik $\mathsf{Y}$ yang dikondisikan pada setiap kemungkinan hasil dapat disimpulkan dengan menormalkan vektor dalam tanda kurung. Artinya, kita membagi vektor-vektor ini dengan probabilitas yang baru saja kita hitung, sehingga menjadi vektor probabilitas.

Jadi, dikondisikan pada $\mathsf{X}$ bernilai $0,$ keadaan probabilistik $\mathsf{Y}$ menjadi

$$\frac{\frac{1}{2} \vert 1 \rangle + \frac{1}{12} \vert 3 \rangle}{\frac{7}{12}} = \frac{6}{7} \vert 1 \rangle + \frac{1}{7} \vert 3 \rangle,$$

dan dikondisikan pada pengukuran $\mathsf{X}$ bernilai $1,$ keadaan probabilistik $\mathsf{Y}$ menjadi

$$\frac{\frac{1}{12} \vert 1 \rangle + \frac{1}{6} \vert 2\rangle + \frac{1}{6} \vert 3 \rangle}{\frac{5}{12}} = \frac{1}{5} \vert 1 \rangle + \frac{2}{5} \vert 2 \rangle + \frac{2}{5} \vert 3 \rangle.$$

Operasi pada keadaan probabilistik

Untuk mengakhiri pembahasan informasi klasik untuk beberapa sistem, kita akan mempertimbangkan operasi pada beberapa sistem dalam keadaan probabilistik. Mengikuti ide yang sama seperti sebelumnya, kita dapat memandang beberapa sistem secara kolektif sebagai sistem tunggal yang majemuk, dan kemudian melihat ke pelajaran sebelumnya untuk melihat bagaimana cara kerjanya.

Kembali ke pengaturan umum di mana kita memiliki dua sistem $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y},$ mari kita pertimbangkan operasi klasik pada sistem gabungan $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ Berdasarkan pelajaran sebelumnya dan pembahasan di atas, kita menyimpulkan bahwa setiap operasi semacam itu direpresentasikan oleh matriks stokastik yang baris dan kolomnya diindeks oleh produk Kartesius $\Sigma\times\Gamma.$

Misalnya, misalkan $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ adalah bit, dan pertimbangkan suatu operasi dengan deskripsi berikut.

Operasi

Jika $\mathsf{X} = 1,$ maka lakukan operasi NOT pada $\mathsf{Y}.$
Jika tidak, jangan lakukan apa-apa.

Ini adalah operasi deterministik yang dikenal sebagai operasi controlled-NOT, di mana $\mathsf{X}$ adalah bit kontrol yang menentukan apakah operasi NOT harus diterapkan pada bit target $\mathsf{Y}$ atau tidak. Berikut adalah representasi matriks dari operasi ini:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 1 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[2mm] 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Aksinya pada keadaan basis standar adalah sebagai berikut.

$$\begin{aligned} \vert 00 \rangle & \mapsto \vert 00 \rangle\\ \vert 01 \rangle & \mapsto \vert 01 \rangle\\ \vert 10 \rangle & \mapsto \vert 11 \rangle\\ \vert 11 \rangle & \mapsto \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

Jika kita menukar peran $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y},$ menjadikan $\mathsf{Y}$ sebagai bit kontrol dan $\mathsf{X}$ sebagai bit target, maka representasi matriks dari operasi akan menjadi

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 1\\[2mm] 0 & 0 & 1 & 0\\[2mm] 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

dan aksinya pada keadaan basis standar akan seperti ini:

$$\begin{aligned} \vert 00 \rangle & \mapsto \vert 00 \rangle\\ \vert 01 \rangle & \mapsto \vert 11 \rangle\\ \vert 10 \rangle & \mapsto \vert 10 \rangle\\ \vert 11 \rangle & \mapsto \vert 01 \rangle \end{aligned}$$

Contoh lain adalah operasi dengan deskripsi berikut:

Operasi

Lakukan salah satu dari dua operasi berikut, masing-masing dengan probabilitas $1/2:$

1. Setel $\mathsf{Y}$ agar sama dengan $\mathsf{X}.$
2. Setel $\mathsf{X}$ agar sama dengan $\mathsf{Y}.$

Representasi matriks dari operasi ini adalah sebagai berikut:

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

Aksi operasi ini pada vektor basis standar adalah sebagai berikut:

$$\begin{aligned} \vert 00 \rangle & \mapsto \vert 00 \rangle\\[1mm] \vert 01 \rangle & \mapsto \frac{1}{2} \vert 00 \rangle + \frac{1}{2}\vert 11\rangle\\[3mm] \vert 10 \rangle & \mapsto \frac{1}{2} \vert 00 \rangle + \frac{1}{2}\vert 11\rangle\\[2mm] \vert 11 \rangle & \mapsto \vert 11 \rangle \end{aligned}$$

Dalam contoh-contoh ini, kita hanya memandang dua sistem bersama-sama sebagai satu sistem dan melanjutkan seperti pada pelajaran sebelumnya.

Hal yang sama bisa dilakukan untuk sejumlah sistem apa pun. Misalnya, bayangkan kita memiliki tiga bit, dan kita menginkremen tiga bit tersebut modulo $8$ — artinya kita memikirkan tiga bit sebagai pengkodean angka antara $0$ dan $7$ menggunakan notasi biner, menambahkan $1,$ lalu mengambil sisa setelah dibagi $8.$ Satu cara untuk mengekspresikan operasi ini adalah seperti ini:

$$\begin{aligned} & \vert 001 \rangle \langle 000 \vert + \vert 010 \rangle \langle 001 \vert + \vert 011 \rangle \langle 010 \vert + \vert 100 \rangle \langle 011 \vert\\[1mm] & \quad + \vert 101 \rangle \langle 100 \vert + \vert 110 \rangle \langle 101 \vert + \vert 111 \rangle \langle 110 \vert + \vert 000 \rangle \langle 111 \vert. \end{aligned}$$

Cara lain untuk mengekspresikannya adalah sebagai

$$\sum_{k = 0}^{7} \vert (k+1) \bmod 8 \rangle \langle k \vert,$$

dengan asumsi kita sudah sepakat bahwa angka dari $0$ hingga $7$ di dalam ket mengacu pada pengkodean biner tiga-bit dari angka-angka tersebut. Pilihan ketiga adalah mengekspresikan operasi ini sebagai matriks.

$$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Operasi independen

Sekarang misalkan kita memiliki beberapa sistem dan kita secara independen melakukan operasi yang berbeda pada masing-masing sistem secara terpisah.

Misalnya, dengan mengambil pengaturan umum kita tentang dua sistem $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ yang memiliki himpunan keadaan klasik $\Sigma$ dan $\Gamma,$ masing-masing, misalkan kita melakukan satu operasi pada $\mathsf{X}$ dan, sepenuhnya independen, operasi lain pada $\mathsf{Y}.$ Seperti yang kita ketahui dari pelajaran sebelumnya, operasi-operasi ini direpresentasikan oleh matriks stokastik — dan lebih tepatnya, misalkan operasi pada $\mathsf{X}$ direpresentasikan oleh matriks $M$ dan operasi pada $\mathsf{Y}$ direpresentasikan oleh matriks $N.$ Jadi, baris dan kolom $M$ memiliki indeks yang ditempatkan dalam korespondensi dengan elemen $\Sigma$ dan, demikian juga, baris dan kolom $N$ berkorespondensi dengan elemen $\Gamma.$

Pertanyaan alami yang perlu diajukan adalah ini: jika kita memandang $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ bersama-sama sebagai sistem gabungan tunggal $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ matriks apa yang merepresentasikan aksi gabungan dari dua operasi pada sistem gabungan ini? Untuk menjawab pertanyaan ini kita pertama-tama harus memperkenalkan produk tensor dari matriks, yang serupa dengan produk tensor dari vektor dan didefinisikan secara analog.

Produk tensor dari matriks

Produk tensor $M\otimes N$ dari matriks-matriks

$$M = \sum_{a,b\in\Sigma} \alpha_{ab} \vert a\rangle \langle b\vert$$

dan

$$N = \sum_{c,d\in\Gamma} \beta_{cd} \vert c\rangle \langle d\vert$$

adalah matriks

$$M \otimes N = \sum_{a,b\in\Sigma} \sum_{c,d\in\Gamma} \alpha_{ab} \beta_{cd} \vert ac \rangle \langle bd \vert$$

Secara ekuivalen, produk tensor dari $M$ dan $N$ didefinisikan oleh persamaan

$$\langle ac \vert M \otimes N \vert bd\rangle = \langle a \vert M \vert b\rangle \langle c \vert N \vert d\rangle$$

yang berlaku untuk setiap pilihan $a,b\in\Sigma$ dan $c,d\in\Gamma.$

Cara alternatif, tetapi ekuivalen, untuk mendeskripsikan $M\otimes N$ adalah bahwa ini adalah matriks unik yang memenuhi persamaan

$$(M \otimes N) \bigl( \vert \phi \rangle \otimes \vert \psi \rangle \bigr) = \bigl(M \vert\phi\rangle\bigr) \otimes \bigl(N \vert\psi\rangle\bigr)$$

untuk setiap kemungkinan pilihan vektor $\vert\phi\rangle$ dan $\vert\psi\rangle,$ dengan asumsi bahwa indeks $\vert\phi\rangle$ berkorespondensi dengan elemen $\Sigma$ dan indeks $\vert\psi\rangle$ berkorespondensi dengan $\Gamma.$

Mengikuti konvensi yang dijelaskan sebelumnya untuk mengurutkan elemen produk Kartesius, kita juga dapat menuliskan produk tensor dari dua matriks secara eksplisit sebagai berikut:

$$\begin{gathered} \begin{pmatrix} \alpha_{11} & \cdots & \alpha_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{m1} & \cdots & \alpha_{mm} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} \beta_{11} & \cdots & \beta_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \beta_{k1} & \cdots & \beta_{kk} \end{pmatrix} \hspace{6cm}\\[8mm] \hspace{1cm} = \begin{pmatrix} \alpha_{11}\beta_{11} & \cdots & \alpha_{11}\beta_{1k} & & \alpha_{1m}\beta_{11} & \cdots & \alpha_{1m}\beta_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \hspace{2mm}\cdots\hspace{2mm} & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{11}\beta_{k1} & \cdots & \alpha_{11}\beta_{kk} & & \alpha_{1m}\beta_{k1} & \cdots & \alpha_{1m}\beta_{kk} \\[2mm] & \vdots & & \ddots & & \vdots & \\[2mm] \alpha_{m1}\beta_{11} & \cdots & \alpha_{m1}\beta_{1k} & & \alpha_{mm}\beta_{11} & \cdots & \alpha_{mm}\beta_{1k} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \hspace{2mm}\cdots\hspace{2mm} & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_{m1}\beta_{k1} & \cdots & \alpha_{m1}\beta_{kk} & & \alpha_{mm}\beta_{k1} & \cdots & \alpha_{mm}\beta_{kk} \end{pmatrix} \end{gathered}$$

Produk tensor dari tiga matriks atau lebih didefinisikan dengan cara yang analog. Jika $M_0, \ldots, M_{n-1}$ adalah matriks-matriks yang indeksnya berkorespondensi dengan himpunan keadaan klasik $\Sigma_0,\ldots,\Sigma_{n-1},$ maka produk tensor $M_{n-1}\otimes\cdots\otimes M_0$ didefinisikan oleh kondisi bahwa

$$\langle a_{n-1}\cdots a_0 \vert M_{n-1}\otimes\cdots\otimes M_0 \vert b_{n-1}\cdots b_0\rangle = \langle a_{n-1} \vert M_{n-1} \vert b_{n-1} \rangle \cdots\langle a_0 \vert M_0 \vert b_0 \rangle$$

untuk setiap pilihan keadaan klasik $a_0,b_0\in\Sigma_0,\ldots,a_{n-1},b_{n-1}\in\Sigma_{n-1}.$ Sebagai alternatif, produk tensor dari tiga matriks atau lebih dapat didefinisikan secara rekursif, dalam bentuk produk tensor dari dua matriks, mirip dengan yang kita amati untuk vektor.

Produk tensor dari matriks kadang-kadang disebut bersifat multiplikatif karena persamaan

$$(M_{n-1}\otimes\cdots\otimes M_0)(N_{n-1}\otimes\cdots\otimes N_0) = (M_{n-1} N_{n-1})\otimes\cdots\otimes (M_0 N_0)$$

selalu berlaku, untuk pilihan matriks $M_0,\ldots,M_{n-1}$ dan $N_0\ldots,N_{n-1}$ apa pun, asalkan produk $M_0 N_0, \ldots, M_{n-1} N_{n-1}$ masuk akal.

Operasi independen (lanjutan)

Kita sekarang dapat menjawab pertanyaan yang diajukan sebelumnya: jika $M$ adalah operasi probabilistik pada $\mathsf{X},$ $N$ adalah operasi probabilistik pada $\mathsf{Y},$ dan dua operasi tersebut dilakukan secara independen, maka operasi yang dihasilkan pada sistem gabungan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ adalah produk tensor $M\otimes N.$

Jadi, untuk keadaan probabilistik maupun operasi probabilistik, produk tensor merepresentasikan kemandirian. Jika kita memiliki dua sistem $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ yang secara independen berada dalam keadaan probabilistik $\vert\phi\rangle$ dan $\vert\psi\rangle,$ maka sistem gabungan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ berada dalam keadaan probabilistik $\vert\phi\rangle\otimes\vert\psi\rangle;$ dan jika kita menerapkan operasi probabilistik $M$ dan $N$ pada dua sistem secara independen, maka aksi yang dihasilkan pada sistem gabungan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ dideskripsikan oleh operasi $M\otimes N.$

Mari kita lihat sebuah contoh, yang mengingat kembali operasi probabilistik pada satu bit dari pelajaran sebelumnya: jika keadaan klasik bit adalah $0,$ bit tersebut dibiarkan saja; dan jika keadaan klasik bit adalah $1,$ bit tersebut dibalik menjadi 0 dengan probabilitas $1/2.$ Kita mengamati bahwa operasi ini direpresentasikan oleh matriks

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

Jika operasi ini dilakukan pada bit $\mathsf{X},$ dan operasi NOT (secara independen) dilakukan pada bit kedua $\mathsf{Y},$ maka operasi gabungan pada sistem gabungan $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ memiliki representasi matriks

$$\begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & \frac{1}{2} \\[1mm] 1 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[1mm] 0 & 0 & \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix}.$$

Dengan inspeksi, kita melihat bahwa ini adalah matriks stokastik. Ini akan selalu terjadi: produk tensor dari dua matriks stokastik atau lebih selalu stokastik.

Situasi umum yang kita temui adalah situasi di mana satu operasi dilakukan pada satu sistem dan tidak ada yang dilakukan pada sistem lainnya. Dalam kasus seperti itu, resep yang sama persis diikuti, dengan mengingat bahwa tidak melakukan apa-apa direpresentasikan oleh matriks identitas. Misalnya, mereset bit $\mathsf{X}$ ke keadaan $0$ dan tidak melakukan apa-apa pada $\mathsf{Y}$ menghasilkan operasi probabilistik (dan bahkan deterministik) pada $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ yang direpresentasikan oleh matriks

$$\begin{pmatrix} 1 & 1\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\[1mm] 0 & 1 & 0 & 1 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$