Superdense coding

Superdense coding adalah protokol yang, dalam beberapa hal, mencapai tujuan yang saling melengkapi dengan teleportasi. Alih-alih memungkinkan transmisi satu Qubit menggunakan dua bit klasik komunikasi (dengan biaya satu e-bit entanglement), ini memungkinkan transmisi dua bit klasik menggunakan satu Qubit komunikasi kuantum (sekali lagi, dengan biaya satu e-bit entanglement).

Lebih rinci lagi, kita punya pengirim (Alice) dan penerima (Bob) yang berbagi satu e-bit entanglement. Sesuai konvensi yang berlaku untuk pelajaran ini, ini berarti Alice memegang Qubit $\mathsf{A},$ Bob memegang Qubit $\mathsf{B},$ dan bersama-sama pasangan $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ berada dalam keadaan $\vert\phi^+\rangle.$ Alice ingin mengirimkan dua bit klasik kepada Bob, yang akan kita sebut $c$ dan $d,$ dan dia akan melakukannya dengan mengirimkan satu Qubit kepadanya.

Wajar untuk menganggap hal ini kurang menarik daripada yang dicapai oleh teleportasi. Mengirim Qubit kemungkinan akan jauh lebih sulit daripada mengirim bit klasik untuk masa mendatang yang dapat diperkirakan, sehingga menukar satu Qubit komunikasi kuantum dengan dua bit komunikasi klasik, dengan biaya e-bit pula, hampir tidak tampak sepadan. Namun, ini tidak berarti bahwa superdense coding tidak menarik, karena memang sangat menarik.

Sesuai tema pelajaran ini, salah satu alasan mengapa superdense coding menarik adalah bahwa ia mendemonstrasikan penggunaan entanglement yang konkret dan (dalam konteks teori informasi) cukup mencolok. Sebuah teorema terkenal dalam teori informasi kuantum, yang dikenal sebagai teorema Holevo, mengimplikasikan bahwa tanpa penggunaan keadaan yang terjalin bersama, tidak mungkin untuk mengkomunikasikan lebih dari satu bit informasi klasik dengan mengirimkan satu Qubit. (Teorema Holevo lebih umum dari ini. Pernyataan tepatnya bersifat teknis dan memerlukan penjelasan, tapi ini adalah salah satu konsekuensinya.) Jadi, melalui superdense coding, entanglement bersama secara efektif memungkinkan penggandaan kapasitas membawa informasi klasik dari pengiriman Qubit.

Protokol

Diagram Circuit kuantum berikut menggambarkan protokol superdense coding:

Dalam kata-kata, inilah yang Alice lakukan:

1. Jika $d=1,$ Alice melakukan Gate $Z$ pada Qubit $\mathsf{A}$ miliknya (dan jika $d=0$ dia tidak melakukannya).

2. Jika $c=1,$ Alice melakukan Gate $X$ pada Qubit $\mathsf{A}$ miliknya (dan jika $c=0$ dia tidak melakukannya).

Alice kemudian mengirimkan Qubit $\mathsf{A}$ miliknya kepada Bob.

Yang Bob lakukan ketika menerima Qubit $\mathsf{A}$ adalah pertama melakukan Gate controlled-NOT, dengan $\mathsf{A}$ sebagai kontrol dan $\mathsf{B}$ sebagai target, lalu dia menerapkan Gate Hadamard ke $\mathsf{A}.$ Dia kemudian mengukur $\mathsf{B}$ untuk mendapatkan $c$ dan $\mathsf{A}$ untuk mendapatkan $d,$ dengan pengukuran basis standar pada kedua kasus.

Analisis

Ide di balik protokol ini cukup sederhana: Alice secara efektif memilih keadaan Bell mana yang ingin dia bagikan dengan Bob, dia mengirimkan Qubit miliknya kepada Bob, dan Bob mengukur untuk menentukan keadaan Bell mana yang Alice pilih.

Artinya, mereka awalnya berbagi $\vert\phi^+\rangle,$ dan bergantung pada bit $c$ dan $d,$ Alice meninggalkan keadaan ini apa adanya atau menggesernya ke salah satu keadaan Bell lainnya dengan menerapkan $\mathbb{I},$ $X,$ $Z,$ atau $XZ$ ke Qubit miliknya $\mathsf{A}.$

$$\begin{aligned} (\mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \phi^+\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes Z) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \phi^-\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes X) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \psi^+\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes XZ) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \psi^-\rangle \end{aligned}$$

Tindakan Bob memiliki efek berikut pada empat keadaan Bell:

$$\begin{aligned} \vert \phi^+\rangle & \mapsto \vert 00\rangle\\ \vert \phi^-\rangle & \mapsto \vert 01\rangle\\ \vert \psi^+\rangle & \mapsto \vert 10\rangle\\ \vert \psi^-\rangle & \mapsto -\vert 11\rangle\\ \end{aligned}$$

Ini bisa diperiksa secara langsung, dengan menghitung hasil operasi Bob pada keadaan-keadaan ini satu per satu.

Jadi, ketika Bob melakukan pengukurannya, dia bisa menentukan keadaan Bell mana yang Alice pilih. Untuk memverifikasi bahwa protokol bekerja dengan benar adalah masalah memeriksa setiap kasus:

• Jika $cd = 00,$ maka keadaan $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ ketika Bob menerima $\mathsf{A}$ adalah $\vert \phi^+\rangle.$ Dia mengubah keadaan ini menjadi $\vert 00\rangle$ dan mendapatkan $cd = 00.$

• Jika $cd = 01,$ maka keadaan $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ ketika Bob menerima $\mathsf{A}$ adalah $\vert \phi^-\rangle.$ Dia mengubah keadaan ini menjadi $\vert 01\rangle$ dan mendapatkan $cd = 01.$

• Jika $cd = 10,$ maka keadaan $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ ketika Bob menerima $\mathsf{A}$ adalah $\vert \psi^+\rangle.$ Dia mengubah keadaan ini menjadi $\vert 10\rangle$ dan mendapatkan $cd = 10.$

• Jika $cd = 11,$ maka keadaan $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ ketika Bob menerima $\mathsf{A}$ adalah $\vert \psi^-\rangle.$ Dia mengubah keadaan ini menjadi $-\vert 11\rangle$ dan mendapatkan $cd = 11.$ (Faktor fase negatif satu tidak berpengaruh di sini.)