Dasar-dasar mekanika kuantum

Pengantar

Di video berikut, Olivia Lanes akan membimbingmu melalui materi dalam pelajaran ini. Kamu juga bisa membuka video YouTube untuk pelajaran ini di jendela terpisah.

Di pelajaran sebelumnya, kita belajar cara membuat keadaan terjerat dari dua Qubit, yang dikenal sebagai "Bell state." Saat kita mengukur keadaan tersebut, kita melihat bahwa pengukuran dua Qubit itu berkorelasi: ketika satu diukur sebagai 0 maka yang lain juga diukur 0, dan ketika satu adalah 1 yang lain juga diukur 1. Kita melihat bahwa ini adalah ciri khas keterikatan kuantum. Hari ini kita akan menggali lebih dalam keadaan ini dan apa yang diungkapkannya tentang fisika kuantum yang mendasari komputasi kuantum.

Bell state

Banyak fenomena kuantum yang membuat komputer kuantum berperilaku berbeda dari komputer klasik sudah ada dalam Bell state yang terlihat sederhana namun menipu yang kita buat di pelajaran sebelumnya. Mari kita bawa kembali Circuit Bell state itu:

# Added by doQumentation — required packages for this notebook
!pip install -q qiskit

from qiskit import QuantumCircuit

qc = QuantumCircuit(2)
qc.h(0)
qc.cx(0, 1)
qc.measure_all()
qc.draw("mpl")

Gambar di atas merepresentasikan Circuit kuantum untuk membuat Bell state $\vert\Phi^+\rangle$. Dua garis horizontal hitam merepresentasikan dua Qubit kita, dan kotak-kotak serta simbol lain di garis tersebut merepresentasikan Gate atau operasi yang dilakukan pada Qubit yang bersangkutan. Garis ganda abu-abu adalah bus informasi klasik yang memungkinkan kita menyimpan informasi klasik yang kita peroleh dengan mengukur dua Qubit. Kita akan menggali detail Circuit ini dan Bell state yang dihasilkan untuk memahami dasar-dasar komputasi kuantum.

Matematika komputasi kuantum

Representasi keadaan kuantum

Pertama, kita perlu bahasa umum untuk membahas keadaan kuantum dan Circuit. Ada beberapa cara berbeda untuk merepresentasikan keadaan kuantum. Yang pertama adalah dengan notasi Dirac. Dalam notasi Dirac, keadaan terlihat seperti ini:

$$\vert \Phi^+\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}} ( \vert 00 \rangle + \vert 11 \rangle )$$

Di sini, keadaan ditulis di dalam tanda kurung sudut dan batang vertikal. Kedua suku masing-masing merepresentasikan dua kemungkinan hasil pengukuran dari keadaan tersebut. Jadi ketika kita mengukur keadaan ini, kita akan menemukan bahwa kedua Qubit ada dalam keadaan 0 atau keduanya ada dalam keadaan 1. $\frac{1}{\sqrt{2}}$ disebut "konstanta normalisasi." Ini ada untuk memastikan bahwa jumlah kuadrat dari masing-masing koefisien dalam keadaan semuanya berjumlah $1$. Kita akan membahas mengapa ini terjadi nanti, di bagian tentang pengukuran.

Cara kedua untuk merepresentasikan keadaan adalah dalam bahasa standar aljabar linear: sebagai vektor, di mana setiap entri vektor merepresentasikan kemungkinan hasil pengukuran yang berbeda. Dalam notasi ini, Bell state kita akan ditulis seperti ini:

$$\vert\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ~.$$

Berdasarkan konvensi, entri vektor diurutkan sebagai berikut:

• Entri pertama bersesuaian dengan keadaan dua Qubit $\vert00\rangle$
• Yang kedua dengan $\vert01\rangle$
• Yang ketiga dengan $\vert10\rangle$
• Yang keempat dengan $\vert11\rangle$

Seperti yang diharapkan, dalam vektor Bell state $\vert\Phi^+\rangle$, entri pertama dan keempat bukan nol, sementara entri kedua dan ketiga adalah nol. Konstanta normalisasi $1/\sqrt{2}$ memastikan bahwa panjang vektor adalah $1$.

Catatan tentang urutan Qubit

Qiskit menggunakan urutan little endian. Ini berarti Qubit paling kanan dianggap sebagai Qubit pertama (atau paling tidak signifikan), dan Qubit paling kiri adalah Qubit paling signifikan. Jadi, ketika kita menulis keadaan seperti $\vert01\rangle$:

• bit paling kanan bersesuaian dengan Qubit $0$, dan berada dalam keadaan $\vert1\rangle$.
• bit paling kiri bersesuaian dengan Qubit $1$, dan berada dalam keadaan $\vert0\rangle$.

Representasi Gate

Sama seperti keadaan yang bisa direpresentasikan sebagai vektor, Gate bisa direpresentasikan sebagai matriks. Sebuah Gate bekerja pada keadaan dengan mengubah vektornya menjadi vektor baru.

Setiap Gate bersesuaian dengan matriks tertentu yang menentukan bagaimana keadaan akan diubah. Kita menerapkan transformasi ini dengan mengalikan matriks Gate dan vektor keadaan asal, dengan matriks Gate di sebelah kiri vektor keadaan, seperti ini:

$$U |\psi\rangle$$

di mana $U$ merepresentasikan matriks Gate dan $|\psi\rangle$ merepresentasikan vektor keadaan.

Mari kita lihat Gate Hadamard sebagai contoh. Gate Hadamard adalah Gate satu Qubit (kotak merah berlabel "H" dalam diagram Circuit di atas) yang mengubah keadaan $\vert0\rangle$ menjadi $\frac{1}{\sqrt{2}}(\vert0\rangle+\vert1\rangle)$ dan keadaan $\vert1\rangle$ menjadi $\frac{1}{\sqrt{2}}(\vert0\rangle-\vert1\rangle)$. Dalam notasi matriks, Hadamard terlihat seperti:

$$H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} ~.$$

Uji pemahamanmu

Gunakan perkalian matriks untuk menunjukkan bahwa matriks Hadamard mengubah keadaan seperti yang diharapkan. (Jika perlu, kamu bisa pelajari cara melakukan perkalian matriks.)

Jawaban

$$H |0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} ~\checkmark$$$$H |1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} ~\checkmark$$

Ada beberapa hal yang perlu diingat tentang matriks Gate:

1. Matriks ini selalu persegi, berukuran $N \times N$, di mana $N$ juga merupakan dimensi vektor keadaan yang diterapkan. Misalnya, ketika kamu hanya punya satu Qubit, vektor keadaan berdimensi dua, merepresentasikan dua kemungkinan keadaan 0 dan 1 dari Qubit. Dalam kasus ini, dimensi matriks Gate yang diterapkan pada sistem ini adalah $2\times 2$.
2. Gate kuantum bersifat reversibel. Dengan kata lain, kamu bisa menemukan matriks lain yang merupakan invers dari Gate tersebut, yang membatalkan aksi Gate dan mengubah Qubit kembali ke keadaan semula.
3. Gate kuantum juga mempertahankan panjang vektor yang mereka ubah. Vektor keadaan kuantum akan selalu memiliki panjang $1$ (dijamin oleh konstanta normalisasi yang kita bahas sebelumnya). Gate tidak memperpanjang atau mempersingkat vektor, tapi hanya merotasinya.

Ini semua adalah sifat-sifat matriks uniter. Jika kamu penasaran tentang lebih banyak sifat matematis dari matriks uniter, kamu bisa membaca lebih lanjut di pelajaran John Watrous tentang sistem berganda dalam kursus Dasar-dasar Informasi Kuantum.

Cara kerja pengukuran

Ketika kita mengukur keadaan kuantum, hasilnya selalu salah satu dari kemungkinan hasil (untuk satu Qubit, entah 0 atau 1). Hasil mana yang kita dapatkan bersifat acak, tetapi keadaan kuantum memberi tahu kita probabilitas setiap hasil.

Entri dalam vektor keadaan menentukan probabilitas ini. Untuk mendapatkan probabilitas dari hasil tertentu, kita mengambil kuadrat dari entri yang bersesuaian dengan hasil tersebut. Misalnya, jika sebuah Qubit berada dalam keadaan:

$$|\psi\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle),$$

entri pertama (bersesuaian dengan 0) adalah $1/\sqrt{2}$, dan entri kedua (bersesuaian dengan 1) juga $1/\sqrt{2}$. Mengkuadratkan angka-angka ini menghasilkan

$$\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{1}{2} = 0.5,$$

yang berarti ada kemungkinan 50% mengukur 0 dan 50% kemungkinan mengukur 1.

Ingat bahwa jumlah semua entri yang dikuadratkan selalu berjumlah 1. Ini masuk akal karena ketika kita mengukur, kita dijamin mendapatkan suatu hasil, sehingga probabilitas semua kemungkinan hasil harus berjumlah 100%.

Setelah pengukuran, Qubit kolaps ke hasil yang diamati, dan superposisi sebelumnya hilang. Qubit sekarang berperilaku seperti bit klasik. Pengukuran secara fundamental berbeda dari Gate kuantum. Sementara Gate mengubah keadaan kuantum secara deterministik dan reversibel, pengukuran bersifat acak dan ireversibel secara inheren.

Pengukuran dalam basis berbeda

Secara default, ketika kamu mengukur Qubit dalam sebuah Circuit kuantum, kamu mengukur keadaan Qubit hanya sepanjang satu sumbu. Ini disebut basis komputasi, atau basis $Z$, yang didefinisikan oleh keadaan $\vert 0\rangle$ dan $\vert 1\rangle$. Kamu bisa membayangkan keadaan $\vert 0\rangle$ sebagai vektor yang menunjuk lurus ke atas, dan keadaan $\vert 1\rangle$ sebagai vektor yang menunjuk lurus ke bawah. Jadi, pengukuran dalam basis $Z$ menjawab pertanyaan, "Apakah keadaan Qubit menunjuk ke atas atau ke bawah?"

Tapi ini bukan satu-satunya jenis pertanyaan yang bisa kita tanyakan pada Qubit. Vektor keadaan Qubit tidak hanya menunjuk ke atas atau ke bawah. Superposisi dari $\vert 0\rangle$ dan $\vert 1\rangle$ akan menghasilkan vektor keadaan yang menunjuk ke arah mana pun dalam ruang tiga dimensi — ke arah mana tepatnya tergantung pada amplitudo dan fase relatif dari dua bagian superposisi. Jadi, sementara pengukuran standar berbasis $Z$ bertanya "atas atau bawah?", kamu juga bisa bertanya "kiri atau kanan?" atau "maju atau mundur?"

Pertanyaan-pertanyaan ini bersesuaian dengan pengukuran dalam basis berbeda. Setiap basis memiliki kumpulan dua vektor basisnya sendiri, yang mendefinisikan dua kemungkinan hasil pengukuran dalam basis tersebut (seperti $\vert 0\rangle$ atau $\vert 1\rangle$ untuk basis $Z$).

• Hasil pengukuran basis Z kolaps ke $\vert 0\rangle$ atau $\vert 1\rangle$
• Hasil pengukuran basis X kolaps ke $\vert +\rangle$ atau $\vert -\rangle$
• Hasil pengukuran basis Y kolaps ke $\vert i\rangle$ atau $\vert -i\rangle$

di mana

$$\begin{aligned} \lvert +\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle + \lvert 1\rangle) \\ \lvert -\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle - \lvert 1\rangle) \\ \lvert i\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle + i\lvert 1\rangle) \\ \lvert -i\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\lvert 0\rangle - i\lvert 1\rangle) \end{aligned}$$

di mana $i=\sqrt{−1}$ adalah satuan imajiner. Di sini kita melihat untuk pertama kalinya superposisi dengan perbedaan fase antara dua bagian. Fase biasanya ditulis sebagai $e^{i\theta}$, di mana $\theta$ adalah sudut amplitudo keadaan kuantum dalam bidang kompleks — bidang dua dimensi di mana sumbu horizontal merepresentasikan bilangan real dan sumbu vertikal merepresentasikan bilangan imajiner. Kamu bisa membayangkannya secara lebih intuitif sebagai seberapa bergeser satu gelombang relatif terhadap gelombang lainnya: apakah puncak-puncaknya sejajar, atau apakah satu gelombang bergeser sehingga puncaknya bertemu dengan lembah gelombang lainnya?

Matriks Pauli dan observabel

Ada tiga matriks, yang disebut matriks Pauli, yang berkaitan dengan tiga pilihan basis berbeda $X$, $Y$, dan $Z$:

$$X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad Y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Bagaimana tepatnya hubungan ini dengan basis pengukuran? Sekilas, ini terlihat seperti matriks Gate biasa — dan memang demikian. Setiap matriks Pauli bisa bekerja pada Qubit dan mengubah keadaannya:

• Pauli-X membalik $|0\rangle$ dan $|1\rangle$, seperti Gate NOT klasik.
• Pauli-Z membiarkan $|0\rangle$ tidak berubah tetapi mengalikan $|1\rangle$ dengan $-1$, mengubah fase relatif.
• Pauli-Y membalik Qubit dan memperkenalkan fase.

Tapi matriks Pauli memiliki interpretasi kedua yang sama pentingnya. Dalam mekanika kuantum, setiap besaran yang bisa diukur disebut observabel, dan observabel direpresentasikan oleh matriks. Matriks Pauli bersesuaian dengan pengukuran sepanjang tiga sumbu berbeda, dan eigenstate-nya bersesuaian dengan dua kemungkinan hasil pengukuran sepanjang setiap sumbu. (Jika kamu belum familiar dengan istilah eigenstate, tidak apa-apa — itu hanyalah vektor khusus yang berkaitan dengan matriks tertentu.)

• $Z$ → pengukuran dalam basis Z ($|0\rangle$, $|1\rangle$)
• $X$ → pengukuran dalam basis X ($|+\rangle$, $|-\rangle$)
• $Y$ → pengukuran dalam basis Y ($|i\rangle$, $|-i\rangle$)

Ini menjelaskan mengapa matriks Pauli tampaknya memiliki dua peran. Mereka baik bekerja pada keadaan (sebagai Gate) maupun mendefinisikan arah pengukuran (sebagai observabel). Kedua peran ini berasal dari matematika yang mendasarinya yang sama.

Jadi, dalam praktiknya, bagaimana cara mengukur dalam basis X atau Y? Secara default, komputer kuantum kita hanya diatur untuk mengukur dalam basis Z. Jadi, kamu perlu mengubah basis dengan merotasi vektor keadaan Qubit sedemikian rupa sehingga informasi yang kamu minati, baik X maupun Y, sekarang menunjuk ke arah Z. Kemudian, kamu cukup melakukan pengukuran Z seperti biasa.

Misalnya, mengukur dalam basis X dapat dilakukan dengan menerapkan Gate Hadamard, lalu mengukur dalam basis Z. Hadamard merotasi keadaan sehingga "informasi-X" menjadi "informasi-Z." Setelah itu, pengukuran normal akan menyelesaikan pekerjaan.

Kamu akan melihat lebih banyak matriks Pauli di pelajaran berikutnya, ketika kita menerapkan keterampilan menulis Circuit kuantum yang baru kita pelajari untuk masalah nyata dalam fisika kuantum.

Circuit Bell state

Sekarang kita punya titik awal — kita tahu bahwa keadaan bisa direpresentasikan oleh vektor, Gate bisa direpresentasikan oleh matriks, dan pengukuran menyebabkan keadaan "kolaps" — mari kita telusuri Circuit yang membuat dan mengukur Bell state di atas.

Kita mulai dengan keadaan awal dua Qubit dalam $|00\rangle$:

$$|00\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$

Buat superposisi

Circuit dimulai dengan menerapkan Gate Hadamard ke Qubit 0. Seperti yang kita lihat di bagian sebelumnya, Hadamard membawa Qubit dari keadaan pasti, baik $|0\rangle$ maupun $|1\rangle$, menjadi kombinasi dari kedua keadaan tersebut. Ingat bahwa Gate Hadamard adalah:

$$H = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

Untuk menerapkannya ke Qubit pertama dalam sistem dua Qubit, kita menggunakan matriks 4x4 yang diperluas yang menerapkan $H$ ke Qubit 0 sambil membiarkan Qubit 1 tidak berubah. Bayangkan saja sebagai "terapkan $H$ ke Qubit pertama dan jangan sentuh Qubit kedua":

$$H_0 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$

Kemudian kita kalikan ini dengan vektor keadaan awal:

$$H_0 |00\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |01\rangle)$$

Sekarang Qubit 0 berada dalam keadaan superposisi.

Lebih lanjut tentang superposisi kuantum

Superposisi kuantum dari jenis di atas sering digambarkan sebagai Qubit yang berada dalam kedua keadaan secara bersamaan. Namun, ketika kita mengukur keadaan superposisi ini, hasilnya selalu $0$ atau $1$ — kita tidak pernah bisa langsung mengamati superposisi itu sendiri. Nyatanya, frasa "Qubit berada dalam kedua keadaan secara bersamaan" bisa menyesatkan. Cara yang lebih tepat untuk menggambarkannya adalah bahwa superposisi adalah deskripsi matematis dari keadaan kuantum yang memungkinkan kita menghitung probabilitas dari berbagai hasil pengukuran. Beberapa orang berpikir superposisi secara fisik nyata, tapi ini adalah interpretasi filosofis yang tidak bisa diuji; mekanika kuantum hanya memprediksi probabilitas hasil pengukuran.

Tidak seperti distribusi probabilitas klasik, superposisi kuantum juga memungkinkan berbagai komponen untuk saling berinterferensi satu sama lain, seperti gelombang yang bertumpang tindih yang dapat saling memperkuat atau membatalkan. Interferensi inilah yang memungkinkan algoritma kuantum menghasilkan pola hasil pengukuran yang tidak mungkin dengan keacakan klasik saja.

---

Jerat Qubit-qubitnya

Berikutnya, Gate controlled-NOT (CNOT) (ditampilkan sebagai titik biru, garis vertikal, dan lingkaran dengan tanda plus yang menghubungkan dua Qubit) diterapkan. Gate ini menjerat dua Qubit bersama. Setelah langkah ini, keadaan satu Qubit tidak dapat dijelaskan secara independen dari yang lain.

Gate CNOT membalik Qubit 1 (disebut Qubit target) hanya jika Qubit 0 (disebut Qubit kontrol) berada dalam keadaan $\vert 1\rangle$. Matriksnya adalah:

$$\text{CNOT} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Terapkan pada keadaan dari Langkah 1:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)$$

Sekarang Qubit-qubitnya terjerat: mengukur satu langsung menentukan yang lainnya.

Lebih lanjut tentang keterikatan kuantum

Keterikatan, seperti superposisi, adalah fenomena kuantum yang tidak memiliki analogi klasik. Dalam sistem klasik, dua bit yang berkorelasi bisa memiliki nilai yang terhubung, tapi setiap bit tetap memiliki nilai pasti — bahkan jika kita tidak mengetahuinya. Misalnya, jika dua koin direkatkan bersama sehingga selalu mendarat dengan cara yang sama, satu koin yang menunjukkan kepala langsung memberi tahu kamu bahwa yang lainnya juga kepala. Tapi sebelum kita melihatnya, setiap koin sudah berada dalam keadaan pasti.

Dengan Qubit yang terjerat, situasinya secara fundamental berbeda. Sebelum pengukuran, tidak ada Qubit yang memiliki nilai pasti secara individual. Hanya pasangannya yang memiliki keadaan yang terdefinisi dengan baik. Mengukur satu Qubit langsung mempengaruhi probabilitas untuk yang lainnya, tidak peduli seberapa jauh jarak mereka. Ini adalah efek murni kuantum: tidak dapat dijelaskan oleh statistik klasik atau informasi tersembunyi tentang Qubit-qubit individual.

Ukur keadaan-keadaannya

Akhirnya, kedua Qubit diukur. Ketika kita mengukur, keadaan kuantum kolaps ke salah satu keadaan yang diizinkan secara klasik:

• 00 dengan probabilitas $|1/\sqrt{2}|^2 = 0.5$.
• 11 dengan probabilitas $|1/\sqrt{2}|^2 = 0.5$.

Ini mereproduksi hasil pengukuran yang berkorelasi yang kita amati dalam Circuit di Pelajaran 1.

Kesimpulan

Dalam pelajaran ini, kita telah melakukan tur singkat dari konsep mekanika kuantum dan alat matematika yang diperlukan untuk menjalankan Circuit kuantum secara percaya diri dan mandiri di komputer kuantum. Kita memperkenalkan cara keadaan kuantum direpresentasikan, bagaimana Gate mengubah keadaan-keadaan tersebut, cara kerja pengukuran, dan bagaimana superposisi dan keterikatan muncul secara alami dari Circuit sederhana.

Di Pelajaran 3, kita akan mempraktikkan ide-ide ini dengan menelusuri alur kerja lengkap penyelesaian masalah sederhana di komputer kuantum dan menginterpretasikan hasilnya.

Tujuan pembelajaran

Ingat tujuan pembelajaran dari Pelajaran 1, di mana kita menantangmu untuk mengubah Circuit agar membuat Bell state $\Psi^-$. Sekarang, menggunakan Circuit itu, kerjakan aljabar matriks dan konfirmasikan bahwa Circuit-mu menghasilkan keadaan yang diinginkan. (Petunjuk: kamu perlu mencari tahu bentuk matriks dari Gate NOT atau X.)