Perkalian dalam dan proyeksi

Untuk lebih mempersiapkan diri dalam mengeksplorasi kemampuan dan keterbatasan Circuit kuantum, kita sekarang memperkenalkan beberapa konsep matematis tambahan — yaitu perkalian dalam antara vektor (dan hubungannya dengan norma Euclidean), pengertian ortogonalitas dan ortonormalitas untuk himpunan vektor, serta matriks proyeksi, yang akan memungkinkan kita memperkenalkan generalisasi yang berguna dari pengukuran basis standar.

Perkalian dalam

Ingat bahwa ketika kita menggunakan notasi Dirac untuk merujuk pada vektor kolom sembarang sebagai ket, seperti

$$\vert \psi \rangle = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix},$$

vektor bra yang sesuai adalah transpose konjugat dari vektor ini:

$$\langle \psi \vert = \bigl(\vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = \begin{pmatrix} \overline{\alpha_1} & \overline{\alpha_2} & \cdots & \overline{\alpha_n} \end{pmatrix}. \tag{1}$$

Atau, jika kita memiliki himpunan keadaan klasik $\Sigma$ dalam pikiran, dan kita mengekspresikan vektor kolom sebagai ket, seperti

$$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle,$$

maka vektor baris (atau bra) yang sesuai adalah transpose konjugat

$$\langle \psi \vert = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \langle a \vert. \tag{2}$$

Kita juga punya bahwa perkalian dari vektor bra dan vektor ket, dipandang sebagai matriks yang memiliki satu baris atau satu kolom, menghasilkan skalar. Secara khusus, jika kita punya dua vektor kolom

$$\vert \psi \rangle = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix} \quad\text{and}\quad \vert \phi \rangle = \begin{pmatrix} \beta_1\\ \beta_2\\ \vdots\\ \beta_n \end{pmatrix},$$

sehingga vektor baris $\langle \psi \vert$ seperti dalam persamaan $(1)$, maka

$$\langle \psi \vert \phi \rangle = \langle \psi \vert \vert \phi \rangle = \begin{pmatrix} \overline{\alpha_1} & \overline{\alpha_2} & \cdots & \overline{\alpha_n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \beta_1\\ \beta_2\\ \vdots\\ \beta_n \end{pmatrix} = \overline{\alpha_1} \beta_1 + \cdots + \overline{\alpha_n}\beta_n.$$

Atau, jika kita punya dua vektor kolom yang kita tulis sebagai

$$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle \quad\text{and}\quad \vert \phi \rangle = \sum_{b\in\Sigma} \beta_b \vert b \rangle,$$

sehingga $\langle \psi \vert$ adalah vektor baris $(2)$, kita menemukan bahwa

$$\begin{aligned} \langle \psi \vert \phi \rangle & = \langle \psi \vert \vert \phi \rangle\\ & = \Biggl(\sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \langle a \vert\Biggr) \Biggl(\sum_{b\in\Sigma} \beta_b \vert b\rangle\Biggr)\\ & = \sum_{a\in\Sigma}\sum_{b\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \beta_b \langle a \vert b \rangle\\ & = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \beta_a, \end{aligned}$$

di mana kesamaan terakhir diperoleh dari pengamatan bahwa $\langle a \vert a \rangle = 1$ dan $\langle a \vert b \rangle = 0$ untuk keadaan klasik $a$ dan $b$ yang memenuhi $a\neq b$.

Nilai $\langle \psi \vert \phi \rangle$ disebut perkalian dalam antara vektor $\vert \psi\rangle$ dan $\vert \phi \rangle$. Perkalian dalam sangat penting dalam informasi dan komputasi kuantum; kita tidak akan bisa melangkah jauh dalam memahami informasi kuantum di tingkat matematis tanpanya.

Mari kita kumpulkan beberapa fakta dasar tentang perkalian dalam vektor.

1. Hubungan dengan norma Euclidean. Perkalian dalam dari setiap vektor

   $$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle$$

   dengan dirinya sendiri adalah

   $$\langle \psi \vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \alpha_a = \sum_{a\in\Sigma} \vert\alpha_a\vert^2 = \bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\|^2.$$

   Jadi, norma Euclidean dari sebuah vektor bisa dinyatakan secara alternatif sebagai

   $$\bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\| = \sqrt{ \langle \psi \vert \psi \rangle }.$$

   Perhatikan bahwa norma Euclidean dari sebuah vektor harus selalu berupa bilangan real tak negatif. Selain itu, satu-satunya cara norma Euclidean sebuah vektor bisa sama dengan nol adalah jika setiap entrinya sama dengan nol, yang berarti vektor tersebut adalah vektor nol.

   Kita bisa merangkum pengamatan-pengamatan ini seperti ini: untuk setiap vektor $\vert \psi \rangle$ kita punya

   $$\langle \psi \vert \psi \rangle \geq 0,$$

   dengan $\langle \psi \vert \psi \rangle = 0$ jika dan hanya jika $\vert \psi \rangle = 0$. Sifat perkalian dalam ini kadang-kadang disebut sebagai definit positif.

2. Simetri konjugat. Untuk dua vektor sembarang

   $$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle \quad\text{and}\quad \vert \phi \rangle = \sum_{b\in\Sigma} \beta_b \vert b \rangle,$$

   kita punya

   $$\langle \psi \vert \phi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \beta_a \quad\text{and}\quad \langle \phi \vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\beta_a} \alpha_a,$$

   dan oleh karena itu

   $$\overline{\langle \psi \vert \phi \rangle} = \langle \phi \vert \psi \rangle.$$

3. Linearitas pada argumen kedua (dan linearitas konjugat pada yang pertama). Misalkan $\vert \psi \rangle,$ $\vert \phi_1 \rangle,$ dan $\vert \phi_2 \rangle$ adalah vektor-vektor dan $\alpha_1$ serta $\alpha_2$ adalah bilangan kompleks. Jika kita mendefinisikan vektor baru

   $$\vert \phi\rangle = \alpha_1 \vert \phi_1\rangle + \alpha_2 \vert \phi_2\rangle,$$

   maka

   $$\langle \psi \vert \phi \rangle = \langle \psi \vert \bigl( \alpha_1\vert \phi_1 \rangle + \alpha_2\vert \phi_2 \rangle\bigr) = \alpha_1 \langle \psi \vert \phi_1 \rangle + \alpha_2 \langle \psi \vert \phi_2 \rangle.$$

   Artinya, perkalian dalam bersifat linear pada argumen kedua. Ini bisa diverifikasi baik melalui rumus-rumus di atas maupun dengan mencatat bahwa perkalian matriks bersifat linear pada setiap argumen (dan khususnya pada argumen kedua).

   Menggabungkan fakta ini dengan simetri konjugat mengungkapkan bahwa perkalian dalam bersifat linear konjugat pada argumen pertama. Yaitu, jika $\vert \psi_1 \rangle,$ $\vert \psi_2 \rangle,$ dan $\vert \phi \rangle$ adalah vektor-vektor dan $\alpha_1$ serta $\alpha_2$ adalah bilangan kompleks, dan kita mendefinisikan

   $$\vert \psi \rangle = \alpha_1 \vert \psi_1\rangle + \alpha_2 \vert \psi_2 \rangle,$$

   maka

   $$\langle \psi \vert \phi \rangle = \bigl( \overline{\alpha_1} \langle \psi_1 \vert + \overline{\alpha_2} \langle \psi_2 \vert \bigr) \vert\phi\rangle = \overline{\alpha_1} \langle \psi_1 \vert \phi \rangle + \overline{\alpha_2} \langle \psi_2 \vert \phi \rangle.$$

4. Pertidaksamaan Cauchy–Schwarz. Untuk setiap pilihan vektor $\vert \phi \rangle$ dan $\vert \psi \rangle$ yang memiliki jumlah entri yang sama, kita punya

   $$\bigl\vert \langle \psi \vert \phi \rangle\bigr| \leq \bigl\| \vert\psi \rangle \bigr\| \bigl\| \vert \phi \rangle \bigr\|.$$

   Ini adalah pertidaksamaan yang sangat berguna yang digunakan cukup ekstensif dalam informasi kuantum (dan dalam banyak topik studi lainnya).

Himpunan ortogonal dan ortonormal

Dua vektor $\vert \phi \rangle$ dan $\vert \psi \rangle$ dikatakan ortogonal jika perkalian dalamnya adalah nol:

$$\langle \psi \vert \phi \rangle = 0.$$

Secara geometris, kita bisa memikirkan vektor ortogonal sebagai vektor yang saling tegak lurus.

Himpunan vektor $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ disebut himpunan ortogonal jika setiap vektor dalam himpunan ortogonal terhadap setiap vektor lain dalam himpunan. Artinya, himpunan ini ortogonal jika

$$\langle \psi_j \vert \psi_k\rangle = 0$$

untuk semua pilihan $j,k\in\{1,\ldots,m\}$ yang memenuhi $j\neq k$.

Himpunan vektor $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ disebut himpunan ortonormal jika merupakan himpunan ortogonal dan, selain itu, setiap vektor dalam himpunan adalah vektor satuan. Atau, himpunan ini adalah himpunan ortonormal jika kita punya

$$\langle \psi_j \vert \psi_k\rangle = \begin{cases} 1 & j = k\\[1mm] 0 & j\neq k \end{cases} \tag{3}$$

untuk semua pilihan $j,k\in\{1,\ldots,m\}$.

Akhirnya, himpunan $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ adalah basis ortonormal jika, selain menjadi himpunan ortonormal, ia membentuk basis. Ini setara dengan $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ sebagai himpunan ortonormal dan $m$ sama dengan dimensi ruang dari mana $\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle$ diambil.

Misalnya, untuk himpunan keadaan klasik $\Sigma$ apapun, himpunan semua vektor basis standar

$$\big\{ \vert a \rangle \,:\, a\in\Sigma\bigr\}$$

adalah basis ortonormal. Himpunan $\{\vert+\rangle,\vert-\rangle\}$ adalah basis ortonormal untuk ruang $2$-dimensi yang sesuai dengan qubit tunggal, dan basis Bell $\{\vert\phi^+\rangle, \vert\phi^-\rangle, \vert\psi^+\rangle, \vert\psi^-\rangle\}$ adalah basis ortonormal untuk ruang $4$-dimensi yang sesuai dengan dua qubit.

Memperluas himpunan ortonormal menjadi basis ortonormal

Misalkan $\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle$ adalah vektor-vektor yang berada dalam ruang $n$-dimensi, dan asumsikan bahwa $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ adalah himpunan ortonormal. Himpunan ortonormal selalu merupakan himpunan yang bebas linear, jadi vektor-vektor ini harus merentang subruang berdimensi $m$. Dari sini kita menyimpulkan bahwa $m\leq n$ karena dimensi subruang yang direntang oleh vektor-vektor ini tidak bisa lebih besar dari dimensi seluruh ruang dari mana mereka diambil.

Jika ternyata $m<n$, maka selalu mungkin untuk memilih tambahan $n-m$ vektor $\vert \psi_{m+1}\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle$ sehingga $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle\}$ membentuk basis ortonormal. Prosedur yang dikenal sebagai proses ortogonalisasi Gram–Schmidt bisa digunakan untuk mengonstruksi vektor-vektor ini.

Himpunan ortonormal dan matriks uniter

Himpunan ortonormal vektor erat kaitannya dengan matriks uniter. Salah satu cara untuk mengekspresikan hubungan ini adalah dengan mengatakan bahwa tiga pernyataan berikut secara logis setara (artinya semuanya benar atau semuanya salah) untuk pilihan matriks persegi $U$ apapun:

1. Matriks $U$ bersifat uniter (yaitu, $U^{\dagger} U = \mathbb{I} = U U^{\dagger}$).

2. Baris-baris $U$ membentuk himpunan ortonormal.

3. Kolom-kolom $U$ membentuk himpunan ortonormal.

Kesetaraan ini sebenarnya cukup langsung ketika kita memikirkan bagaimana perkalian matriks dan transpose konjugat bekerja. Misalkan, contohnya, kita punya matriks $3\times 3$ seperti ini:

$$U = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{1,2} & \alpha_{1,3} \\[1mm] \alpha_{2,1} & \alpha_{2,2} & \alpha_{2,3} \\[1mm] \alpha_{3,1} & \alpha_{3,2} & \alpha_{3,3} \end{pmatrix}$$

Transpose konjugat dari $U$ terlihat seperti ini:

$$U^{\dagger} = \begin{pmatrix} \overline{\alpha_{1,1}} & \overline{\alpha_{2,1}} & \overline{\alpha_{3,1}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,2}} & \overline{\alpha_{2,2}} & \overline{\alpha_{3,2}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,3}} & \overline{\alpha_{2,3}} & \overline{\alpha_{3,3}} \end{pmatrix}$$

Mengalikan dua matriks, dengan transpose konjugat di sisi kiri, memberi kita matriks ini:

$$\begin{aligned} &\begin{pmatrix} \overline{\alpha_{1,1}} & \overline{\alpha_{2,1}} & \overline{\alpha_{3,1}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,2}} & \overline{\alpha_{2,2}} & \overline{\alpha_{3,2}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,3}} & \overline{\alpha_{2,3}} & \overline{\alpha_{3,3}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{1,2} & \alpha_{1,3} \\[1mm] \alpha_{2,1} & \alpha_{2,2} & \alpha_{2,3} \\[1mm] \alpha_{3,1} & \alpha_{3,2} & \alpha_{3,3} \end{pmatrix}\\[4mm] \quad &= \begin{pmatrix} \overline{\alpha_{1,1}}\alpha_{1,1} + \overline{\alpha_{2,1}}\alpha_{2,1} + \overline{\alpha_{3,1}}\alpha_{3,1} & \overline{\alpha_{1,1}}\alpha_{1,2} + \overline{\alpha_{2,1}}\alpha_{2,2} + \overline{\alpha_{3,1}}\alpha_{3,2} & \overline{\alpha_{1,1}}\alpha_{1,3} + \overline{\alpha_{2,1}}\alpha_{2,3} + \overline{\alpha_{3,1}}\alpha_{3,3} \\[2mm] \overline{\alpha_{1,2}}\alpha_{1,1} + \overline{\alpha_{2,2}}\alpha_{2,1} + \overline{\alpha_{3,2}}\alpha_{3,1} & \overline{\alpha_{1,2}}\alpha_{1,2} + \overline{\alpha_{2,2}}\alpha_{2,2} + \overline{\alpha_{3,2}}\alpha_{3,2} & \overline{\alpha_{1,2}}\alpha_{1,3} + \overline{\alpha_{2,2}}\alpha_{2,3} + \overline{\alpha_{3,2}}\alpha_{3,3} \\[2mm] \overline{\alpha_{1,3}}\alpha_{1,1} + \overline{\alpha_{2,3}}\alpha_{2,1} + \overline{\alpha_{3,3}}\alpha_{3,1} & \overline{\alpha_{1,3}}\alpha_{1,2} + \overline{\alpha_{2,3}}\alpha_{2,2} + \overline{\alpha_{3,3}}\alpha_{3,2} & \overline{\alpha_{1,3}}\alpha_{1,3} + \overline{\alpha_{2,3}}\alpha_{2,3} + \overline{\alpha_{3,3}}\alpha_{3,3} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Jika kita membentuk tiga vektor dari kolom-kolom $U$,

$$\vert \psi_1\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1}\\ \alpha_{2,1}\\ \alpha_{3,1} \end{pmatrix}, \quad \vert \psi_2\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_{1,2}\\ \alpha_{2,2}\\ \alpha_{3,2} \end{pmatrix}, \quad \vert \psi_3\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_{1,3}\\ \alpha_{2,3}\\ \alpha_{3,3} \end{pmatrix},$$

maka kita bisa mengekspresikan perkalian di atas secara alternatif sebagai berikut:

$$U^{\dagger} U = \begin{pmatrix} \langle \psi_1\vert \psi_1 \rangle & \langle \psi_1\vert \psi_2 \rangle & \langle \psi_1\vert \psi_3 \rangle \\ \langle \psi_2\vert \psi_1 \rangle & \langle \psi_2\vert \psi_2 \rangle & \langle \psi_2\vert \psi_3 \rangle \\ \langle \psi_3\vert \psi_1 \rangle & \langle \psi_3\vert \psi_2 \rangle & \langle \psi_3\vert \psi_3 \rangle \end{pmatrix}$$

Merujuk pada persamaan $(3)$, kita sekarang melihat bahwa kondisi bahwa matriks ini sama dengan matriks identitas setara dengan ortonormalitas himpunan $\{\vert\psi_1\rangle,\vert\psi_2\rangle,\vert\psi_3\rangle\}$.

Argumen ini berlaku umum untuk matriks uniter berukuran apapun. Fakta bahwa baris-baris sebuah matriks membentuk basis ortonormal jika dan hanya jika matriks tersebut bersifat uniter kemudian mengikuti dari fakta bahwa sebuah matriks bersifat uniter jika dan hanya jika transposenya bersifat uniter.

Mengingat kesetaraan yang dijelaskan di atas, bersama dengan fakta bahwa setiap himpunan ortonormal bisa diperluas untuk membentuk basis ortonormal, kita menyimpulkan fakta berguna berikut: Diberikan himpunan ortonormal vektor $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ yang diambil dari ruang $n$-dimensi, terdapat matriks uniter $U$ yang $m$ kolom pertamanya adalah vektor $\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle$. Secara bergambar, kita selalu bisa menemukan matriks uniter dengan bentuk ini:

$$U = \left( \begin{array}{ccccccc} \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt}\\ \vert\psi_1\rangle & \vert\psi_2\rangle & \cdots & \vert\psi_m\rangle & \vert\psi_{m+1}\rangle & \cdots & \vert\psi_n\rangle\\[2mm] \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt} \end{array} \right).$$

Di sini, $n-m$ kolom terakhir diisi dengan pilihan vektor $\vert\psi_{m+1}\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle$ apapun yang membuat $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle\}$ menjadi basis ortonormal.

Proyeksi dan pengukuran proyektif

Matriks proyeksi

Matriks persegi $\Pi$ disebut proyeksi jika memenuhi dua sifat:

1. $\Pi = \Pi^{\dagger}$.

2. $\Pi^2 = \Pi$.

Matriks yang memenuhi kondisi pertama — bahwa mereka sama dengan transpose konjugatnya sendiri — disebut matriks Hermitian, dan matriks yang memenuhi kondisi kedua — bahwa mengkuadratkannya tidak mengubahnya — disebut matriks idempoten.

Sebagai peringatan, kata proyeksi kadang-kadang digunakan untuk merujuk pada matriks apapun yang memenuhi hanya kondisi kedua tapi tidak harus yang pertama, dan ketika ini dilakukan istilah proyeksi ortogonal biasanya digunakan untuk merujuk pada matriks yang memenuhi kedua kondisi. Namun dalam konteks informasi dan komputasi kuantum, istilah proyeksi dan matriks proyeksi lebih sering merujuk pada matriks yang memenuhi kedua kondisi.

Contoh proyeksi adalah matriks

$$\Pi = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert \tag{4}$$

untuk vektor satuan $\vert \psi\rangle$ apapun. Kita bisa melihat bahwa matriks ini bersifat Hermitian sebagai berikut:

$$\Pi^{\dagger} = \bigl( \vert \psi \rangle \langle \psi \vert \bigr)^{\dagger} = \bigl( \langle \psi \vert \bigr)^{\dagger}\bigl( \vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \Pi.$$

Di sini, untuk mendapatkan kesamaan kedua, kita telah menggunakan rumus

$$(A B)^{\dagger} = B^{\dagger} A^{\dagger},$$

yang selalu benar, untuk dua matriks $A$ dan $B$ apapun yang perkalian $AB$-nya masuk akal.

Untuk melihat bahwa matriks $\Pi$ dalam $(4)$ bersifat idempoten, kita bisa menggunakan asumsi bahwa $\vert\psi\rangle$ adalah vektor satuan, sehingga memenuhi $\langle \psi \vert \psi\rangle = 1$. Jadi, kita punya

$$\Pi^2 = \bigl( \vert\psi\rangle\langle \psi\vert \bigr)^2 = \vert\psi\rangle\langle \psi\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \Pi.$$

Lebih umum, jika $\{\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert \psi_m\rangle\}$ adalah himpunan ortonormal vektor apapun, maka matriks

$$\Pi = \sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert \tag{5}$$

adalah proyeksi. Secara khusus, kita punya

$$\begin{aligned} \Pi^{\dagger} &= \biggl(\sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\biggr)^{\dagger} \\ &= \sum_{k = 1}^m \bigl(\vert\psi_k\rangle\langle\psi_k\vert\bigr)^{\dagger} \\ &= \sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\\ &= \Pi, \end{aligned}$$

dan

$$\begin{aligned} \Pi^2 & = \biggl( \sum_{j = 1}^m \vert \psi_j\rangle \langle \psi_j \vert\Bigr)\Bigl(\sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\biggr) \\ & = \sum_{j = 1}^m\sum_{k = 1}^m \vert \psi_j\rangle \langle \psi_j \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert \\ & = \sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\\ & = \Pi, \end{aligned}$$

di mana ortonormalitas $\{\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert \psi_m\rangle\}$ menyiratkan kesamaan kedua dari terakhir.

Faktanya, ini mencakup semua kemungkinan: setiap proyeksi $\Pi$ bisa ditulis dalam bentuk $(5)$ untuk beberapa pilihan himpunan ortonormal $\{\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert \psi_m\rangle\}$. (Secara teknis, matriks nol $\Pi=0$, yang merupakan proyeksi, adalah kasus khusus. Untuk memasukkannya ke dalam bentuk umum $(5)$ kita harus mengizinkan kemungkinan bahwa jumlahnya kosong, menghasilkan matriks nol.)

Pengukuran proyektif

Pengertian pengukuran sistem kuantum lebih umum daripada sekadar pengukuran basis standar. Pengukuran proyektif adalah pengukuran yang dijelaskan oleh kumpulan proyeksi yang jumlahnya sama dengan matriks identitas. Dalam simbol, kumpulan $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ dari matriks proyeksi mendeskripsikan pengukuran proyektif jika

$$\Pi_0 + \cdots + \Pi_{m-1} = \mathbb{I}.$$

Ketika pengukuran seperti itu dilakukan pada sistem $\mathsf{X}$ saat berada dalam keadaan $\vert\psi\rangle$, dua hal terjadi:

1. Untuk setiap $k\in\{0,\ldots,m-1\}$, hasil pengukuran adalah $k$ dengan probabilitas sama dengan

   $$\operatorname{Pr}\bigl(\text{outcome is $k$}\bigr) = \bigl\| \Pi_k \vert \psi \rangle \bigr\|^2.$$

2. Untuk hasil $k$ apapun yang dihasilkan pengukuran, keadaan $\mathsf{X}$ menjadi

   $$\frac{\Pi_k \vert\psi\rangle}{\bigl\|\Pi_k \vert\psi\rangle\bigr\|}.$$

Kita juga bisa memilih hasil selain $\{0,\ldots,m-1\}$ untuk pengukuran proyektif jika kita mau. Lebih umum, untuk himpunan $\Sigma$ yang berhingga dan tidak kosong apapun, jika kita punya kumpulan matriks proyeksi

$$\{\Pi_a:a\in\Sigma\}$$

yang memenuhi kondisi

$$\sum_{a\in\Sigma} \Pi_a = \mathbb{I},$$

maka kumpulan ini mendeskripsikan pengukuran proyektif yang kemungkinan hasilnya bertepatan dengan himpunan $\Sigma$, di mana aturannya sama seperti sebelumnya:

1. Untuk setiap $a\in\Sigma$, hasil pengukuran adalah $a$ dengan probabilitas sama dengan

   $$\operatorname{Pr}\bigl(\text{outcome is $a$}\bigr) = \bigl\| \Pi_a \vert \psi \rangle \bigr\|^2.$$

2. Untuk hasil $a$ apapun yang dihasilkan pengukuran, keadaan $\mathsf{X}$ menjadi

   $$\frac{\Pi_a \vert\psi\rangle}{\bigl\|\Pi_a \vert\psi\rangle\bigr\|}.$$

Misalnya, pengukuran basis standar setara dengan pengukuran proyektif, di mana $\Sigma$ adalah himpunan keadaan klasik dari sistem $\mathsf{X}$ apapun yang kita bicarakan dan himpunan matriks proyeksi kita adalah $\{\vert a\rangle\langle a\vert:a\in\Sigma\}$.

Contoh lain dari pengukuran proyektif, kali ini pada dua qubit $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$, diberikan oleh himpunan $\{\Pi_0,\Pi_1\}$, di mana

$$\Pi_0 = \vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert + \vert \phi^-\rangle\langle \phi^- \vert + \vert \psi^+\rangle\langle \psi^+ \vert \quad\text{and}\quad \Pi_1 = \vert\psi^-\rangle\langle\psi^-\vert.$$

Jika kita punya beberapa sistem yang secara bersama berada dalam keadaan kuantum tertentu dan pengukuran proyektif dilakukan pada hanya satu sistem, aksinya mirip dengan yang kita miliki untuk pengukuran basis standar — dan faktanya kita sekarang bisa mendeskripsikan aksi ini dalam istilah yang jauh lebih sederhana dari sebelumnya.

Untuk lebih tepatnya, misalkan kita punya dua sistem $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ dalam keadaan kuantum $\vert\psi\rangle$, dan pengukuran proyektif yang dijelaskan oleh kumpulan $\{\Pi_a : a\in\Sigma\}$ dilakukan pada sistem $\mathsf{X}$, sementara tidak ada yang dilakukan pada $\mathsf{Y}$. Melakukan ini kemudian setara dengan melakukan pengukuran proyektif yang dijelaskan oleh kumpulan

$$\bigl\{ \Pi_a \otimes \mathbb{I} \,:\, a\in\Sigma\bigr\}$$

pada sistem bersama $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$. Setiap hasil pengukuran $a$ muncul dengan probabilitas

$$\bigl\| (\Pi_a \otimes \mathbb{I})\vert \psi\rangle \bigr\|^2,$$

dan dengan syarat hasil $a$ muncul, keadaan sistem bersama $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ menjadi

$$\frac{(\Pi_a \otimes \mathbb{I})\vert \psi\rangle}{\bigl\| (\Pi_a \otimes \mathbb{I})\vert \psi\rangle \bigr\|}.$$

Mengimplementasikan pengukuran proyektif

Pengukuran proyektif sembarang bisa diimplementasikan menggunakan operasi uniter, pengukuran basis standar, dan sistem ruang kerja tambahan, seperti yang akan dijelaskan sekarang.

Misalkan $\mathsf{X}$ adalah sistem dan $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ adalah pengukuran proyektif pada $\mathsf{X}$. Kita bisa dengan mudah menggeneralisasi diskusi ini untuk pengukuran proyektif dengan himpunan hasil yang berbeda, tapi demi kemudahan dan kesederhanaan kita akan mengasumsikan himpunan kemungkinan hasil untuk pengukuran kita adalah $\{0,\ldots,m-1\}$.

Mari kita catat secara eksplisit bahwa $m$ tidak harus sama dengan jumlah keadaan klasik dari $\mathsf{X}$ — kita akan membiarkan $n$ sebagai jumlah keadaan klasik dari $\mathsf{X}$, yang berarti setiap matriks $\Pi_k$ adalah matriks proyeksi $n\times n$.

Karena kita mengasumsikan bahwa $\{\Pi_0\ldots,\Pi_{m-1}\}$ merepresentasikan pengukuran proyektif, harus berlaku bahwa

$$\sum_{k = 0}^{m-1} \Pi_k = \mathbb{I}_n.$$

Tujuan kita adalah melakukan proses yang memiliki efek yang sama seperti melakukan pengukuran proyektif ini pada $\mathsf{X}$, tapi melakukannya hanya menggunakan operasi uniter dan pengukuran basis standar.

Kita akan menggunakan sistem ruang kerja tambahan $\mathsf{Y}$ untuk melakukan ini, dan secara khusus kita akan mengambil himpunan keadaan klasik dari $\mathsf{Y}$ sebagai $\{0,\ldots,m-1\}$, yang sama dengan himpunan hasil pengukuran proyektif. Idenya adalah bahwa kita akan melakukan pengukuran basis standar pada $\mathsf{Y}$, dan menginterpretasikan hasil pengukuran ini sebagai setara dengan hasil pengukuran proyektif pada $\mathsf{X}$. Kita perlu mengasumsikan bahwa $\mathsf{Y}$ diinisialisasi ke keadaan tetap, yang akan kita pilih sebagai $\vert 0\rangle$. (Pilihan vektor keadaan kuantum tetap lainnya juga bisa digunakan, tapi memilih $\vert 0\rangle$ membuat penjelasan berikut jauh lebih sederhana.)

Tentu saja, agar pengukuran basis standar dari $\mathsf{Y}$ bisa memberi tahu kita sesuatu tentang $\mathsf{X}$, kita perlu membiarkan $\mathsf{X}$ dan $\mathsf{Y}$ berinteraksi entah bagaimana sebelum mengukur $\mathsf{Y}$, dengan melakukan operasi uniter pada sistem $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$. Pertama pertimbangkan matriks ini:

$$M = \sum_{k = 0}^{m-1} \vert k \rangle \langle 0 \vert \otimes \Pi_k.$$

Diekspresikan secara eksplisit sebagai matriks blok, yang pada dasarnya adalah matriks dari matriks yang kita interpretasikan sebagai satu matriks yang lebih besar, $M$ terlihat seperti ini:

$$M = \begin{pmatrix} \Pi_0 & 0 & \cdots & 0\\[1mm] \Pi_1 & 0 & \cdots & 0\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Pi_{m-1} & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.$$

Di sini, setiap $0$ merepresentasikan matriks $n\times n$ yang sepenuhnya terisi dengan nol, sehingga seluruh matriks $M$ adalah matriks $nm\times nm.$

Sekarang, $M$ jelas bukan matriks uniter (kecuali $m=1,$ dalam hal ini $\Pi_0 = \mathbb{I},$ memberikan $M = \mathbb{I}$ dalam kasus trivial ini) karena matriks uniter tidak bisa memiliki kolom (atau baris) yang sepenuhnya $0;$ matriks uniter memiliki kolom yang membentuk basis ortonormal, dan vektor nol bukan vektor satuan.

Namun, memang benar bahwa $n$ kolom pertama dari $M$ bersifat ortonormal, dan ini kita dapatkan dari asumsi bahwa $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ adalah pengukuran. Untuk memverifikasi klaim ini, perhatikan bahwa untuk setiap $j\in\{0,\ldots,n-1\}$, vektor yang dibentuk oleh kolom nomor $j$ dari $M$ adalah sebagai berikut:

$$\vert \psi_j\rangle = M \vert 0, j\rangle = \sum_{k = 0}^{m-1} \vert k \rangle \otimes \Pi_k \vert j\rangle.$$

Perhatikan bahwa di sini kita menomori kolom mulai dari kolom $0$. Mengambil perkalian dalam dari kolom $i$ dengan kolom $j$ ketika $i,j\in\{0,\ldots,n-1\}$ memberikan

$$\begin{aligned} \langle \psi_i \vert \psi_j \rangle & = \biggl(\sum_{k = 0}^{m-1} \vert k \rangle \otimes \Pi_k \vert i\rangle\biggr)^{\dagger} \biggl(\sum_{l = 0}^{m-1} \vert l \rangle \otimes \Pi_l \vert j\rangle\biggr) \\ & = \sum_{k = 0}^{m-1} \sum_{l = 0}^{m-1} \langle k \vert l \rangle \langle i \vert \Pi_k \Pi_l \vert j\rangle\\ & = \sum_{k = 0}^{m-1} \langle i \vert \Pi_k \Pi_k \vert j\rangle\\ & = \sum_{k = 0}^{m-1} \langle i \vert \Pi_k \vert j\rangle\\ & = \langle i \vert \mathbb{I} \vert j \rangle\\ & = \begin{cases} 1 & i = j\\ 0 & i\neq j, \end{cases} \end{aligned}$$

yang merupakan yang perlu kita tunjukkan.

Jadi, karena $n$ kolom pertama dari matriks $M$ bersifat ortonormal, kita bisa mengganti semua entri nol yang tersisa dengan pilihan entri bilangan kompleks yang berbeda sehingga seluruh matriks bersifat uniter.

$$U = \begin{pmatrix} \Pi_0 & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?}\\[1mm] \Pi_1 & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Pi_{m-1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

Jika kita diberikan matriks $\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}$, kita bisa menghitung matriks yang sesuai untuk mengisi blok yang ditandai $\fbox{?}$ dalam persamaan — menggunakan proses Gram–Schmidt — tapi tidak penting secara khusus apa matriks-matriks ini untuk tujuan diskusi ini.

Akhirnya kita bisa mendeskripsikan proses pengukuran: kita pertama melakukan $U$ pada sistem bersama $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ dan kemudian mengukur $\mathsf{Y}$ terhadap pengukuran basis standar. Untuk keadaan sembarang $\vert \phi \rangle$ dari $\mathsf{X}$, kita mendapatkan keadaan

$$U \bigl( \vert 0\rangle \vert \phi\rangle\bigr) = M \bigl( \vert 0\rangle \vert \phi\rangle\bigr) = \sum_{k = 0}^{m-1} \vert k\rangle \otimes \Pi_k \vert\phi\rangle,$$

di mana kesamaan pertama mengikuti dari fakta bahwa $U$ dan $M$ sama pada $n$ kolom pertamanya. Ketika kita melakukan pengukuran proyektif pada $\mathsf{Y}$, kita mendapatkan setiap hasil $k$ dengan probabilitas

$$\bigl\| \Pi_k \vert \phi\rangle \bigr\|^2,$$

dalam hal ini keadaan $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ menjadi

$$\vert k\rangle \otimes \frac{\Pi_k \vert \phi\rangle}{\bigl\| \Pi_k \vert \phi\rangle \bigr\|}.$$

Jadi, $\mathsf{Y}$ menyimpan salinan hasil pengukuran dan $\mathsf{X}$ berubah tepat seperti yang terjadi jika pengukuran proyektif yang dijelaskan oleh $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ dilakukan langsung pada $\mathsf{X}.$