Formalisme matematika

Untuk tugas mempelajari noise Pauli pada sekumpulan Gate Clifford, teknik analisis yang umum adalah melacak bagaimana masing-masing operator Pauli ditransformasikan melalui serangkaian penerapan Gate (dengan asumsi Gate-nya Clifford dan noise-nya kanal Pauli, sebuah Pauli tunggal akan selalu dipetakan ke Pauli lain hingga suatu skalar yang merupakan fungsi dari noise). Jelas bahwa evolusi state apa pun di bawah rangkaian seperti itu bisa dinyatakan sebagai kombinasi linear dari lintasan-lintasan semacam itu, tetapi dengan asumsi bahwa kita selalu menyiapkan state dalam eigenstate Pauli, dan selalu mengukur serta memproses hasilnya untuk menghitung nilai ekspektasi operator Pauli, hubungan antara nilai ekspektasi dan parameter model noise akan selalu bergantung hanya pada satu lintasan semacam itu. Hal ini mengikuti dari fakta sederhana bahwa state awal adalah kombinasi linear operator Pauli, setiap Gate dan model noise memetakan Pauli ke Pauli serta menjaga ortogonalitasnya, dan nilai ekspektasi akhir hanya “memilih” satu dari Pauli dalam dekomposisi akhir sebelum pengukuran.

Penalaran semacam ini muncul di banyak jalur riset paralel dalam noise learning, termasuk dalam literatur Pauli gate-set learning [1, 2], literatur ACES [3], dan literatur cycle benchmarking [4]. Penalaran ini digeneralisasi lebih lanjut dalam [5] hingga mencakup Gate Clifford-MCM (Gate Clifford yang diikuti pengukuran proyektif di tengah circuit). Paket ini paling mengikuti [1, 5]. Meskipun tidak disebutkan secara eksplisit, kita mengadopsi formalisme Pattern Transfer Graph (PTG) untuk menggambarkan bagaimana operator Pauli berevolusi melalui circuit pembelajaran, sehingga memberikan representasi data langsung dari lintasan melalui graf tersebut.

Berikut ini adalah tinjauan beberapa konsep matematika inti dari literatur. Tujuan utamanya adalah menyatukan notasi dan menjadi acuan dokumentasi konseptual untuk bagian paket lainnya.

1. Latar belakang

1.1 Notasi

Untuk $K \in \mathbb{N}$, misalkan $[K] = \{0, 1, \dots, K - 1\}$. Untuk himpunan hingga $S \subset \mathbb{N}$ berisi indeks qubit, misalkan $\mathcal{P}^S$ menyatakan himpunan operator Pauli tanpa fase yang bekerja pada qubit-qubit tersebut. Perhatikan bahwa kita memandang elemen $\mathcal{P}^S$ sebagai fungsi yang memetakan $S \rightarrow \{I, X, Y, Z\}$, sehingga untuk sembarang $P \in \mathcal{P}^S$ dan $T \subseteq S$, $P|_T$ menyatakan restriksi $P$ ke subhimpunan qubit $T$. Sejalan dengan itu, untuk himpunan saling lepas $S, T$, dan $P \in \mathcal{P}^S$ serta $Q \in \mathcal{P}^T$, $P \otimes Q$ menyatakan elemen $\mathcal{P}^{S \cup T}$ sedemikian sehingga $P \otimes Q |_S = P$ dan $P \otimes Q |_T = Q$. Notasi ini membantu menghindari penanganan urutan subsistem secara eksplisit, dan memudahkan penjelasan restriksi.

Untuk subhimpunan hingga $M \subset \mathbb{N}$, kita menyatakan $\mathbb{Z}_2^M$ sebagai himpunan bit string yang elemennya diindeks oleh $M$. Serupa dengan di atas, kita memandang elemennya sebagai fungsi yang memetakan $M \rightarrow \mathbb{Z}_2$, sehingga kita bisa dengan mudah menjelaskan substring lewat restriksi himpunan indeks.

Terakhir, untuk matriks $X$, kita memakai $| X \rangle\!\rangle$ untuk menyatakan vektorisasinya. Karena notasi ini dipakai secara terbatas, sebenarnya tidak perlu memilih konvensi vektorisasi tertentu. Untuk bit string klasik $m$, kita memakai singkatan $| m \rangle\!\rangle = | | m \rangle\langle m | \rangle\!\rangle$.

1.2 Instrumen kuantum

Operasi kuantum yang menghasilkan bit klasik $m \in \mathbb{Z}_2^M$ (misalnya hasil pengukuran) umumnya dimodelkan sebagai peta linear berbentuk:

$$\rho \mapsto \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m(\rho) \otimes | m \rangle\langle m |,$$

di mana himpunan $\{\mathcal{E}_m: m \in \mathbb{Z}_2^M\}$ bersifat completely positive, dan $\sum_m \mathcal{E}_m$ bersifat trace-preserving. Himpunan peta completely positive $\{\mathcal{E}_m\}$ yang memenuhi sifat-sifat ini disebut instrumen kuantum. Gate uniter adalah kasus khusus instrumen dengan hanya satu elemen yang berupa operasi uniter.

2. Gate Clifford-MCM-reset yang berderau

Formalisme yang dipakai dalam paket ini mengasumsikan setiap Gate dalam gate set yang akan dikarakterisasi terdiri dari urutan operasi berikut pada $K$ qubit:

1. Operasi Clifford pada semua qubit.

2. Pengukuran proyektif di tengah circuit sepanjang $Z$ pada suatu subhimpunan qubit $M \subseteq [K]$.

3. Reset di tengah circuit ke ground state $Z$ pada suatu subhimpunan qubit $R \subseteq [K]$.

Ini adalah kelas operasi yang umum, mencakup Gate Clifford uniter, pengukuran, persiapan state, dan kombinasi apa pun dari semuanya. Perhatikan bahwa kita mengasumsikan pengukuran dan reset selalu sepanjang sumbu $Z$ untuk setiap qubit. Meskipun ini tidak benar-benar diwajibkan, ini adalah ciri umum dari banyak modalitas komputasi kuantum, dan memungkinkan representasi serta analisis yang lebih sederhana.

Seperti diuraikan dalam [5, 6] untuk kasus tanpa reset, jika strategi twirling tertentu diterapkan pada instans berderau dari Gate semacam itu, maka aksi operasi yang dihasilkan bisa dimodelkan secara matematis sebagai instrumen Pauli seragam. Artinya, dalam notasi instrumen kuantum, $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$, di mana $G$ adalah uniter Clifford, dan:

$$\mathcal{U}_m = \sum_{a,b \in \mathbb{Z}_2^M} \Lambda_{a,b} \otimes | m + a \rangle\!\rangle\langle\!\langle m + b |,$$

di mana setiap $\Lambda_{a,b}$ adalah kanal Pauli tersubnormalisasi pada qubit yang tidak diukur $N = [K] \setminus M$. Karena ini merupakan instrumen kuantum, tersirat bahwa $\sum_{a,b} \Lambda_{a,b}$ juga bersifat trace-preserving. Beberapa catatan:

• Noise awal yang belum di-twirl dimodelkan mencakup error “kuantum” maupun “klasik”: operasi yang keliru pada register kuantum, serta kesalahan dalam pelaporan nilai pengukuran.

• Peta noise $\Lambda_{a,b}$ bersifat independen terhadap hasil pengukuran $m$.

Dengan kata lain, satu suku dalam penjumlahan di atas menyatakan pengamatan hasil pengukuran $m$ ketika state yang diukur adalah $| m + b \rangle$ (salah klasifikasi jika $b \neq 0$), dan ketika state output pada register pengukuran adalah $| m + a \rangle$ (state yang “salah” ketika $a \neq 0$). Peta $\Lambda_{a,b}$ sekaligus mengodekan aksi pada qubit yang tidak diukur (bergantung pada perilaku pengukuran) dan probabilitas dari perilaku pengukuran tertentu (lewat normalisasi).

Perhatikan bahwa kita tidak mempersoalkan detail strategi twirling di sini: cukup bahwa strategi semacam itu ada untuk membawa kanal ke bentuk di atas. Perhatikan juga bahwa ada strategi twirling yang “lebih halus” yang bisa membatasi lebih jauh bentuk kanal Pauli [7]; namun, kita menganggap bentuk di atas sebagai representasi matematika paling umum yang ditinjau.

Pada Lemma 1 dari [5], ditunjukkan bahwa $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$ bisa ditulis ulang sebagai:

$$\mathcal{E}_m = \frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{x, y \in \mathbb{Z}_2^M, Q \in \mathcal{P}^N} (-1)^{m \cdot (x + y)} \lambda^Q_{x, y}| Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes Z^x) |.$$

untuk beberapa bilangan real $\lambda_{x,y}^Q$, yang disebut fidelitas instrumen.

Menambahkan reset ke gambaran ini relatif mudah. Operasi reset berderau pada qubit $R \subset [K]$ bisa dimodelkan menurut dekomposisi:

$$\frac{1}{2^{|R|}}\sum_{r \in \mathbb{Z}_2^{R}} \lambda_r | Z^r \rangle\!\rangle\langle\!\langle I_R |.$$

Bentuk di atas secara eksplisit memakai asumsi bahwa reset dilakukan sepanjang sumbu $Z$ untuk setiap qubit. Noise dalam operasi ini dikodekan dalam fidelitas reset $\lambda_r$, yang cukup diindeks oleh subhimpunan qubit.

Analog Persamaan (1) yang menyertakan operasi reset di akhir bisa diperoleh dengan menyusunnya bersama Persamaan (2). Komposisi ini, setelah disederhanakan, menghasilkan:

$$\begin{split} \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} (-1)^{m \cdot (x + y|_M)} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |. \end{split}$$

Dekomposisi ini menunjukkan bahwa jumlah fidelitas $\lambda^Q_{x, y}$ adalah

$$4^{|N \setminus R|} 2^{|M|}2^{|M \cup R|} = 4^{K}2^{|M|}2^{-|M \cup R|} = 4^K 2^{-|R \setminus M|}.$$

Tinjau kasus-kasus pembatas: (1) Tanpa pengukuran maupun reset, $M = R = \emptyset$, dan ekspresi ini menghasilkan $4^K$, jumlah operator Pauli tanpa fase pada $K$ qubit. (2) Untuk $M = \emptyset$ dan $R=[K]$, hasilnya $2^K$, yaitu jumlah subhimpunan dari $[K]$. Terakhir, (3) untuk $M = [K]$ dan $R = \emptyset$, hasilnya $4^K$. Perhatikan bahwa ini mungkin awalnya tampak mengejutkan: pada learning standar, pengukuran dan reset biasanya dianggap memiliki jumlah fidelitas yang sama: $2^K$. Namun, di sini Gate pengukuran penuh dalam konteks ini dipahami bukan sebagai pengukuran terminal, melainkan sebagai MCM, sehingga fidelitas yang sesuai dengan output pengukuran yang bukan identitas juga disertakan (seperti $y \neq 0$ pada Persamaan (3)).

Terakhir, penting dicatat bahwa strategi twirling apa pun yang menghasilkan bentuk pada Persamaan (1) untuk kasus tanpa reset tetap berlaku sama baiknya pada kasus reset yang tidak sepele dengan modifikasi sederhana. Masalah potensialnya adalah strategi twirling semacam itu mungkin memerlukan operasi pada qubit yang terukur setelah pengukuran. Karena itu, jika sebuah qubit diukur dan di-reset, penerapan strategi tersebut tampaknya mengharuskan penyisipan operasi di dalam Gate di antara pengukuran dan reset. Namun, mengingat sifat reset, operasi semacam itu tidak berpengaruh, dan bisa dilewati begitu saja sambil tetap menghasilkan struktur yang diinginkan.

3. Formalisme lintasan

Seperti dijelaskan di pendahuluan, semua algoritma learning untuk noise tipe Pauli pada Gate Clifford berpusat pada pelacakan bagaimana masing-masing Pauli berevolusi melalui sebuah circuit, sambil mengumpulkan faktor fidelitas noise di sepanjang jalan. Nilai ekspektasi dari circuit yang tersusun atas Gate semacam itu karenanya berkaitan secara sederhana dengan hasil kali fidelitas dasar dari masing-masing Gate, dan dengan cara ini parameter model bisa disimpulkan dengan membalik pemetaan parameter-ke-fidelitas yang jarang (sparse) yang diasumsikan.

Dalam [1], dalam konteks gate set uniter, hal ini diformalkan menjadi Pattern Transfer Graph (PTG): graf berarah yang menggambarkan semua eksperimen yang mungkin, yang terdiri dari elemen gate set dan lapisan Gate Clifford qubit tunggal (diasumsikan sempurna, atau operasi “gratis”). Ini digeneralisasi dalam [5] hingga mencakup gate set dengan pengukuran di tengah circuit. Pada kedua kasus, setiap eksperimen dijelaskan dengan melacak satu operator Pauli melalui circuit, dengan asumsi observabel tertentu dihitung pada setiap titik pengukuran. Di sini kita tidak meninjau langsung konstruksi graf atau lintasan; namun, kita menyajikan fakta-fakta yang diperlukan untuk membenarkannya dalam notasi kita sendiri dan dengan reset disertakan.

Meskipun pelacakan satu operator Pauli melalui circuit mungkin intuitif pada kasus gate set uniter, hal itu tidak begitu jelas berlaku pada kasus Clifford-MCM-reset yang lebih umum, karena sifat pengukuran yang non-deterministik. Proposisi berikut memulihkan gambaran ini bahkan pada kasus yang lebih umum [5]:

Proposisi 1

Untuk sembarang $x \in \mathbb{Z}_2^M$, $y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R}$, dan $Q\in \mathcal{P}^{N \setminus R}$, berlaku bahwa:

$$\langle\!\langle Q \otimes Z^y |\otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} |_M \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right) = \lambda_{x,y}^Q\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |$$

Dengan kata lain, jika kita menghitung nilai ekspektasi $Z^{x + y|_M}$ pada register klasik output MCM, maka evolusi observabel dalam “gambaran Heisenberg” melalui Gate Clifford-MCM-reset memetakan $Q \otimes Z^y \rightarrow Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x$. Fakta ini saja memungkinkan pemulihan analisis ala PTG melampaui kasus gate set uniter: dengan post-processing tertentu pada hasil pengukuran, bahkan Gate dengan pengukuran dan reset bisa dipandang memetakan satu operator Pauli ke operator Pauli lain secara deterministik.

Sebelum membuktikannya, kita tulis Persamaan (3) dengan cara yang lebih sugestif. Perhatikan bahwa untuk $x, y \in \mathbb{Z}_2^M$, berlaku $Z^{x+y} = \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} (-1)^{m \cdot (x + y)}| m \rangle\langle m |$, dan dengan demikian (dalam notasi super operator) kita punya:

$$\begin{split} \begin{aligned} \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle_M = \frac{1}{2^{2|M|+|N|}}\sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) | \otimes | Z^{x + y|_M} \rangle\!\rangle_M, \end{aligned} \end{split}$$

di mana kita telah menerapkan Persamaan (3) dan mengumpulkan suku-sukunya, dan kita memakai subskrip $M$ untuk menandai register hasil pengukuran klasik, yang kita perlakukan di atas dengan notasi serupa dengan register kuantum.

Bukti. Berlaku bahwa:

$$\begin{split} \begin{aligned} &\langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right)\\ &= \langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left( \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^P_{a,b} | P \otimes Z^b \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \otimes | Z^{a + b|_M} \rangle\!\rangle \right) \\ &=\frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N \setminus R}}} \lambda^P_{a, b}\underbrace{\langle Q \otimes Z^y, P \otimes Z^b \rangle}_{2^{|M| + |N|} \delta_{P, Q}\delta_{y,b}} \underbrace{\langle Z^{x + y|_M}, Z^{a + b|_M} \rangle}_{2^{|M|}\delta_{x+y|_M,a+b|_M}}\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \end{aligned} \end{split}$$

Terakhir, perhatikan bahwa $\delta_{y,b}\delta_{x+y|_M,a+b|_M} = \delta_{y,b}\delta_{x,a}$, sehingga suku terakhir di atas menyusut menjadi satu suku $\lambda^Q_{x,y} \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |$, yang menghasilkan hasil yang diinginkan.

Lihat [5] untuk pengembangan lebih lanjut dari titik ini: definisi PTG, lintasan melalui PTG, dan bukti bahwa setiap lintasan yang terdefinisi dengan benar berkorespondensi dengan sebuah eksperimen.

Referensi

[1]

Senrui Chen, Zhihan Zhang, Liang Jiang, and Steven T. Flammia. Efficient Self-Consistent Learning of Gate Set Pauli Noise. PRX Quantum, 7(1):010305, 2026. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/1pnv-t9px, doi:10.1103/1pnv-t9px.

[2]

Edward H. Chen, Senrui Chen, Laurin E. Fischer, Andrew Eddins, Luke C. G. Govia, Brad Mitchell, Andre He, Youngseok Kim, Liang Jiang, and Alireza Seif. Disambiguating pauli noise in quantum computers. PRX Quantum, pages, 2026. doi:10.1103/69wc-gzl6.

[3]

Steven T. Flammia. Averaged Circuit Eigenvalue Sampling. In 17th Conference on the Theory of Quantum Computation, Communication and Cryptography (TQC 2022), volume 232 of Leibniz International Proceedings in Informatics (LIPIcs), 4:1–4:10. Dagstuhl, Germany, 2022. Schloss Dagstuhl – Leibniz-Zentrum für Informatik. doi:10.4230/LIPIcs.TQC.2022.4.

[4]

Alexander Erhard, Joel J. Wallman, Lukas Postler, Michael Meth, Roman Stricker, Esteban A. Martinez, Philipp Schindler, Thomas Monz, Joseph Emerson, and Rainer Blatt. Characterizing large-scale quantum computers via cycle benchmarking. Nature Communications, 10(1):5347, 2019. doi:10.1038/s41467-019-13068-7.

[5]

Zhihan Zhang, Senrui Chen, Yunchao Liu, and Liang Jiang. Generalized Cycle Benchmarking Algorithm for Characterizing Midcircuit Measurements. PRX Quantum, 6(1):010310, 2025. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PRXQuantum.6.010310, doi:10.1103/PRXQuantum.6.010310.

[6]

Stefanie J. Beale and Joel J. Wallman. Randomized compiling for subsystem measurements. 2023. URL: http://arxiv.org/abs/2304.06599, doi:10.48550/arXiv.2304.06599.

[7]

Ewout van den Berg and Pawel Wocjan. Techniques for learning sparse Pauli-Lindblad noise models. Quantum, 8:1556, 2024. URL: https://quantum-journal.org/papers/q-2024-12-10-1556/, doi:10.22331/q-2024-12-10-1556.