Sifat keadaan kuantum: variabel tersembunyi versus ketidaksetaraan Bell

Untuk modul Qiskit in Classrooms ini, siswa harus memiliki lingkungan Python yang berfungsi dengan paket-paket berikut terinstal:

• qiskit v2.1.0 atau lebih baru
• qiskit-ibm-runtime v0.40.1 atau lebih baru
• qiskit-aer v0.17.0 atau lebih baru
• qiskit.visualization
• numpy
• pylatexenc

Untuk mengatur dan menginstal paket-paket di atas, lihat panduan Install Qiskit. Untuk menjalankan job pada komputer kuantum nyata, siswa perlu membuat akun IBM Quantum® dengan mengikuti langkah-langkah dalam panduan Atur akun IBM Cloud-mu.

Modul ini telah diuji dan menggunakan 12 detik waktu QPU. Ini hanyalah perkiraan. Penggunaan aktualmu mungkin berbeda.

# Added by doQumentation — required packages for this notebook
!pip install -q numpy qiskit qiskit-ibm-runtime

# Uncomment and modify this line as needed to install dependencies
#!pip install 'qiskit>=2.1.0' 'qiskit-ibm-runtime>=0.40.1' 'qiskit-aer>=0.17.0' 'numpy' 'pylatexenc'

Tonton walkthrough modul oleh Dr. Katie McCormick di bawah ini, atau klik di sini untuk menontonnya di YouTube.

---

Latar Belakang

Dalam banyak perhitungan di seluruh mekanika kuantum, kamu mulai dengan keadaan sistem yang diketahui, dan keadaan itu biasanya diketahui melalui pengukuran. Hari ini kita ingin menjawab pertanyaan, "Apa yang bisa kamu katakan tentang keadaan partikel sebelum pengukuran apa pun?" Konsekuensi yang jelas adalah, "Bagaimana kita bisa tahu, jika kita tidak boleh mengukur?"

Pertanyaan ini berasal dari masa-masa awal mekanika kuantum. Para pelopor di bidang ini terbagi menjadi dua kubu — Einstein dan banyak orang lainnya mengatakan bahwa partikel hanya berada dalam suatu keadaan yang tidak diketahui sebelum pengukuran. Yang lain, terutama Max Born, dan kemudian Niels Bohr, membuat klaim yang lebih radikal, bahwa keadaan partikel benar-benar tidak ditentukan oleh alam sebelum pengukuran — bukan sekadar tidak diketahui oleh manusia. Pengukuran kemudian secara probabilistik "meruntuhkan" partikel ke dalam keadaan yang pasti. Einstein, tidak puas dengan penjelasan ini, dengan terkenal mengejek hal ini: "Gott würfelt nicht," yang kira-kira diterjemahkan sebagai "Tuhan tidak bermain dadu."

Selama beberapa dekade setelah perselisihan ini muncul, banyak yang berpikir hal ini mungkin tidak pernah bisa dijawab, atau bahwa itu hanyalah masalah perspektif. Kemudian, pada tahun 1964, John Bell, seorang fisikawan dari Irlandia Utara, menulis sebuah makalah di mana ia mengeksplorasi statistik percobaan tertentu yang dapat menjawab pertanyaan ini secara pasti. Ia menunjukkan bahwa dalam pengujian tertentu, seseorang mendapatkan satu set statistik dari keadaan kuantum yang terdefinisi (tetapi tidak diketahui), dan set statistik yang berbeda dari keadaan kuantum yang tidak ditentukan oleh alam.

Pada saat makalah Bell ditulis, uji eksperimental statistik yang terlibat tidak dapat diakses kecuali oleh para peneliti di garis terdepan fisika. Namun hari ini, IBM Quantum telah memungkinkan siswa di seluruh dunia untuk menggunakan perangkat kuantum nyata, dari jarak jauh melalui cloud, dan secara gratis, untuk mengeksplorasi sifat keadaan kuantum. Inilah yang akan kamu lakukan hari ini.

Pengaturan eksperimen pikiran: entanglement spin

Ada proses di mana partikel tanpa spin meluruh menjadi dua partikel yang masing-masing memiliki spin. Karena spin adalah sejenis momentum sudut, hukum kekekalan momentum sudut menyiratkan bahwa dua partikel yang keluar harus memiliki spin yang tepat berlawanan arah. Memang, hal ini diamati secara eksperimental.

Contoh: meson pi netral kadang-kadang meluruh menjadi positron dan elektron: $\pi^0\rightarrow e^+ + e^-$ Jangan khawatir jika kamu tidak tahu apa partikel-partikel itu, dan jangan khawatir jika kamu tahu mereka begitu baik sehingga kamu tahu jenis peluruhan ini relatif jarang terjadi. Ketahui saja bahwa jika salah satu partikel yang keluar memiliki spin ke atas, yang lain harus memiliki spin ke bawah, dan sebaliknya. Tentu saja, tidak ada yang istimewa tentang "atas" dan "bawah"; anti-keselarasan yang sama diamati jika pengukuran dilakukan sepanjang apa yang sering kita sebut $x$ atau $y$. Peluruhan ini adalah konteks yang menarik untuk kita pertimbangkan, karena kita dapat menghindari pertanyaan tentang pengukuran apa yang dilakukan di masa lalu; positron dan elektron bahkan tidak ada sampai saat peluruhan.

Kita dapat membiarkan meson $\pi^0$ meluruh dan mengamati defleksi partikel yang keluar di bawah pengaruh medan magnet yang tidak homogen. Medan tidak homogen yang digunakan untuk membelokkan spin sering disebut perangkat Stern-Gerlach, dinamai dari para peneliti yang pertama kali menggunakannya untuk (secara tidak sengaja) mengumpulkan bukti keberadaan spin mekanika kuantum. Perhatikan bahwa ceritanya di sini lebih rumit daripada eksperimen aslinya karena elektron dan positron juga bermuatan (tidak seperti atom perak dalam eksperimen Stern Gerlach). Tapi kita tahu bagaimana partikel bermuatan bergerak dalam medan magnet, dan kita bisa mengurangkan efek tersebut. Dalam apa yang berikut, kita akan mengasumsikan defleksi yang digunakan dalam perhitungan kita disebabkan oleh spin partikel dan bukan muatan. Akibatnya, untuk tujuan kita, tidak penting pengamat mana yang mendapatkan positron dan mana yang mendapatkan elektron. Pengaturan eksperimen kira-kira seperti ini:

Saat meson meluruh, sebuah elektron terlempar ke satu arah, dan positron ke arah lain. Kedua partikel ini akan bergerak melalui medan magnet yang tidak homogen, menyebabkannya dibelokkan baik ke arah medan magnet, atau berlawanan dengan medan magnet.

Jika kita memiliki sumber banyak meson, kita bisa mengumpulkan statistik tentang ini. Jika seorang pengamat di sebelah kiri dan satu di sebelah kanan (sebut mereka Lucas dan Rihanna) selalu mengukur sepanjang sumbu yang sama, statistik ini tidak akan terlalu menarik: setiap kali satu mengukur ke atas, yang lain mengukur ke bawah; setiap kali satu mengukur ke dalam halaman, yang lain akan mengukur ke luar halaman, dan seterusnya. Namun, jika para pemain bebas mengukur spin sepanjang arah apa pun yang mereka suka, kita mungkin menemukan sesuatu yang lebih menarik.

Eksperimen yang dijelaskan di atas, di mana partikel-partikel terbang pergi dengan momentum sudut spin yang diukur oleh dua pengamat, awalnya diusulkan oleh Einstein, Podolsky, dan Rosen (EPR) dalam makalah ini, dan ini kadang-kadang disebut sebagai "eksperimen EPR".

Pilihan kita

Mari kita nyatakan ulang dua sudut pandang historis, untuk kejelasan:

Pilihan 1 (Einstein): Dua spin (elektron dan positron) sudah ditentukan, dalam arti bahwa hasil pengukuran apa pun sepanjang sumbu apa pun sudah ditentukan sebelumnya oleh alam, bahkan jika kita tidak tahu apa itu. Seseorang mungkin memikirkan ini sebagai spin yang memiliki orientasi nyata dan terdefinisi dengan baik dalam ruang, yang tidak diketahui oleh kita, tetapi ada. Atau seseorang mungkin memikirkan ini sebagai seperangkat informasi atau instruksi yang menentukan hasil pengukuran sepanjang $x$, $y$, $z$, atau apa pun di antaranya. Mengukur spin positron (katakanlah sepanjang z) memaksanya untuk berorientasi dan sejajar ke arah z atau -z. Ini tidak memiliki pengaruh kausal pada spin elektron, meskipun kita tahu spin elektron dimulai berlawanan dengan spin positron, jadi jika spin positron diukur sepanjang +z, spin elektron diukur sepanjang -z. Selain kondisi awal instruksi yang melestarikan momentum sudut (spin yang anti-sejajar), tidak ada hubungan antara dua spin. Pilihan ini kadang-kadang disebut "variabel tersembunyi", artinya: proyeksi sepanjang sumbu yang berbeda sudah ditentukan, tetapi tersembunyi dari kita.

Pilihan 2 (Born): Kedua spin tidak ditentukan dalam keadaan awalnya… bukan sekadar tidak diketahui, tetapi tidak terdefinisi secara fisik, tanpa orientasi pasti atau instruksi tentang hasil eksperimental, sampai mereka diukur. Mengukur spin positron "meruntuhkan" ruang semua kemungkinan ke satu keadaan yang ditentukan, baik sepanjang sumbu +z atau -z. Pengukuran positron ini memaksa spin elektron juga untuk runtuh ke proyeksi yang terdefinisi dengan baik sepanjang z, tepat berlawanan dengan positron. Efek ini terjadi tersebar di seluruh ruang antara positron dan elektron. Ini telah disebut "aksi seram dari jarak jauh", tetapi seseorang mungkin menyebutnya dengan lebih lugas sebagai "fisika non-lokal".

Cek pemahamanmu

Baca pertanyaan di bawah ini, pikirkan jawabanmu, lalu klik segitiga untuk melihat solusinya.

Akan sangat bagus untuk membedakan antara pilihan Einstein dan Born secara eksperimental. Apa saja eksperimen yang akan menghasilkan hasil yang sama terlepas dari pilihan mana yang benar? Bisakah kamu memikirkan eksperimen yang akan menghasilkan hasil berbeda untuk dua pilihan tersebut? Catatan Akan sangat mengesankan jika kamu bisa menemukan eksperimen yang akan menghasilkan hasil berbeda untuk pilihan Einstein dan Born; butuh waktu beberapa dekade bagi manusia untuk menemukannya.

Jawaban:

Dengan tetap menggunakan eksperimen yang dijelaskan sejauh ini (yaitu, tidak ada spin bersih dengan positron dan elektron yang anti-sejajar), pengukuran kedua spin sepanjang $\pm x$, $\pm y$, atau $\pm z$ akan selalu menghasilkan tanda yang berlawanan karena kekekalan momentum sudut, terlepas dari pilihan mana yang benar. Mengukur spin satu partikel (katakanlah elektron) sepanjang satu arah (katakanlah $+z$) berarti spin partikel lain, positron, akan diukur sepanjang $-z$. Jika kamu malah mengukur spin positron sepanjang arah $x$, kemungkinannya sama untuk mendapatkan $+x$ atau $-x$. Ini bisa karena itulah yang dikatakan instruksi tersembunyi (pilihan Einstein 1) atau karena distribusi probabilitas spin positron diperbarui setelah pengukuran spin elektron, dan distribusi probabilitas baru konsisten dengan pembagian 50-50 antara $\pm x$ (pilihan Born 2). Poin-poin ini dijelaskan lebih rinci di bawah ini.

Jawabannya hanya sedikit berbeda jika kamu mempertimbangkan peluruhan partikel dengan spin-1, sehingga dua partikel yang muncul (seperti positron dan elektron) harus memiliki spin yang sejajar, bukan anti-sejajar. Jika satu diukur sepanjang $+y$, pengukuran partikel lain sepanjang sumbu $y$ juga harus menghasilkan $+y$, dan seterusnya. Seperti sebelumnya, ini bisa terjadi dari salah satu pilihan.

Sisa pelajaran ini didedikasikan untuk eksperimen yang dapat membedakan antara pilihan Einstein dan Born, sehingga kita tidak akan membahasnya terlalu detail di sini. Namun, sebagian trik terletak pada pengukuran dua partikel sepanjang arah yang berbeda (seperti $x$ dan $z$, atau bahkan beberapa arah di antara sumbu Cartesius tradisional). Sisanya berasal dari mempertimbangkan secara cermat probabilitas yang tepat untuk mendapatkan hasil yang berbeda mengingat prediksi mekanika kuantum dan prediksi informasi klasik seperti dalam variabel tersembunyi.

Dalam salah satu pilihan, jika dua pengamat, Lucas dan Rihanna, mengukur sepanjang sumbu yang sama, kita mengharapkan mereka mendapatkan spin yang anti-sejajar, terlepas dari pilihan mana yang benar. Untuk mengerti mengapa, pertimbangkan diagram di bawah ini.

Gambar di atas menunjukkan pilihan Einstein. Arah spin berlawanan dan sudah ditentukan. Jika kita mengukur sepanjang sumbu $z$, satu akan sepanjang $+z$, dan satu sepanjang $-z$. Kita tidak punya alasan untuk mengasumsikan bahwa positron akan sepanjang $+z$, dan elektron sepanjang $-z$; gambar hanya menunjukkan bahwa spin akan diukur dalam arah yang berlawanan. Bahkan, spin tertentu tidak perlu memiliki komponen spinnya sepanjang arah yang akhirnya diukur, dalam kasus pilihan Einstein. Pernyataan paling lemah dari pilihan Einstein adalah bahwa ada seperangkat instruksi yang tersimpan dalam spin yang menentukan apa hasil pengukuran ketika diukur sepanjang sumbu apa pun. Kita tidak perlu membayangkan bahwa instruksi-instruksi ini berbentuk vektor sederhana (lihat diagram di bawah); kita akan kembali ke ini, nanti.

Gambar di bawah menunjukkan pilihan Born, di mana arah spin positron dan elektron tersebar dalam distribusi probabilitas dan tidak memiliki arah yang pasti. Jangan terlalu banyak membaca pada bentuk distribusi. Setiap spin sebenarnya bisa memiliki probabilitas non-nol untuk menunjuk ke arah mana pun asalkan berlawanan satu sama lain; kita hanya menggambarkannya sebagai sebagian lingkaran agar kita bisa secara visual membedakannya untuk diskusi. Perhatikan bahwa dalam kasus pilihan Born, masih benar bahwa momentum sudut harus dilestarikan. Jadi jika satu gelombang probabilitas "diruntuhkan" sehingga spin menunjuk sepanjang $+z$, yang lain akan menunjuk sepanjang $-z$ dan dibelokkan ke arah yang berlawanan. Pilihannya tampak identik.

Tapi apa yang terjadi ketika pengamat L dan R bisa mengukur sepanjang salah satu dari tiga sumbu, dengan setiap pasangan berjarak 120 derajat satu sama lain, seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 4 & 5. Setiap pengamat dapat memutuskan secara acak sepanjang sumbu mana mereka akan mengukur spin (a, b, atau c). Keduanya tidak perlu mengukur sepanjang sumbu yang sama. Ketika setiap pengamat mengukur, mereka mungkin menemukan proyeksi positif pada sumbu pilihan mereka, atau mereka mungkin menemukan proyeksi negatif. Misalnya, Lucas dan Rihanna mungkin mengukur +a dan -b atau +b dan +c. Perhatikan bahwa jika mereka kebetulan memilih untuk mengukur sepanjang sumbu yang sama, maka mereka HARUS mendapatkan tanda yang berlawanan dalam proyeksi mereka: +a dan -a, +b dan -b, atau +c dan -c; mereka tidak bisa keduanya menemukan, misalnya +a. Di bagian berikutnya, kita akan menghitung bagaimana menghitung probabilitas Lucas dan Rihanna mendapatkan tanda yang sama pada sumbu yang mereka ukur (++ atau --) dan tanda yang berlawanan (+-) atau (-+).

Dua gambar di atas mengilustrasikan kemungkinan interpretasi variabel tersembunyi dalam skenario pengukuran tiga sumbu baru ini. Artinya, entah spin sudah ditentukan, sebagai vektor, atau ada seperangkat instruksi fisik yang entah bagaimana tertanam dalam sistem sehingga hasil semua pengukuran yang mungkin sudah ditentukan sebelumnya, bahkan jika tidak dapat diketahui oleh para eksperimenter sebelum pengukuran. Alternatifnya diilustrasikan di bawah ini. Ada distribusi probabilitas hasil yang ada, dan distribusi ini dapat memberi tahu kita beberapa hal tentang kemungkinan hasil pengukuran yang berbeda, tetapi hasilnya tidak ditentukan oleh alam sebelum pengukuran.

Kita bisa bertanya pada diri sendiri, "Seberapa sering dua pemain menemukan tanda yang sama dari proyeksi spin?" Artinya, kita bahkan tidak merekam sepanjang sumbu mana mereka memilih untuk mengukur; kita hanya merekam apakah mereka menemukan tanda yang sama atau tanda yang berbeda. Tidak jelas apakah pilihan Einstein dan Born akan menghasilkan hasil yang sama dalam skema pengukuran yang lebih rumit ini. Tapi seharusnya jelas dari Gambar 4 dan 5 bahwa $possible$ ada perbedaan. Untuk kasus yang ditunjukkan dalam pilihan Einstein, pengukuran proyeksi spin $e+$ pada sumbu $a$ pasti akan menghasilkan $+a$, dan proyeksi spin $e-$ pada sumbu $b$ akan menghasilkan $-b$ (hampir). Tapi dalam pilihan Born, kemungkinannya terbuka lebar. Memang benar bahwa momentum sudut masih dilestarikan. Tapi karena dua medan magnet tidak berorientasi sepanjang sumbu yang sama, kita memaksa partikel-partikel ke dalam situasi di mana mereka harus runtuh ke sumbu yang berbeda (melalui interaksi dengan medan). Di bagian berikutnya, kita akan menggunakan mekanika kuantum untuk menentukan berapa probabilitasnya, mengingat pilihan Born, bahwa Lucas dan Rihanna mendapatkan tanda yang sama pada sumbu yang mereka ukur (++ atau --), dan probabilitas bahwa mereka akan mendapatkan tanda yang berlawanan (+- atau -+).

Prediksi

Apa yang diprediksi pilihan Einstein (variabel tersembunyi)?

Jika pilihan Einstein benar, maka setiap pasangan $e+$ dan $e-$ akan memiliki seperangkat komponen vektor spin mereka. Misalnya, elektron mungkin memiliki komponen $(+\hat{a},-\hat{b}, +\hat{c})$, dalam hal ini positron harus memiliki komponen $(-\hat{a},+\hat{b}, -\hat{c})$. Kita hanya menentukan di sini tanda proyeksi pada setiap sumbu, bukan besarnya. Bayangkan kita membiarkan sejumlah besar $N$ peluruhan seperti itu terjadi, dan kita mengumpulkan pengukuran untuk mengisi tabel di bawah ini.

Populasi	Partikel 1	Partikel 2
$N_1$	$(+\hat{a},+\hat{b},+\hat{c})$	$(-\hat{a},-\hat{b},-\hat{c})$
$N_2$	$(+\hat{a},+\hat{b},-\hat{c})$	$(-\hat{a},-\hat{b},+\hat{c})$
$N_3$	$(+\hat{a},-\hat{b},+\hat{c})$	$(-\hat{a},+\hat{b},-\hat{c})$
$N_4$	$(+\hat{a},-\hat{b},-\hat{c})$	$(-\hat{a},+\hat{b},+\hat{c})$
$N_5$	$(-\hat{a},+\hat{b},+\hat{c})$	$(+\hat{a},-\hat{b},-\hat{c})$
$N_6$	$(-\hat{a},+\hat{b},-\hat{c})$	$(+\hat{a},-\hat{b},+\hat{c})$
$N_7$	$(-\hat{a},-\hat{b},+\hat{c})$	$(+\hat{a},+\hat{b},-\hat{c})$
$N_8$	$(-\hat{a},-\hat{b},-\hat{c})$	$(+\hat{a},+\hat{b},+\hat{c})$

Untuk setiap kasus dalam tabel di atas, ada 9 kemungkinan pilihan sumbu Lucas dan Rihanna: $aa$, $ab$, $ac$, $ba$, $bb$, $bc$, $ca$, $cb$, dan $cc$. Membaca dari tabel ini, probabilitas dua pengamat mengukur tanda yang sama untuk baris 1 dan 8 adalah nol. Untuk baris 2-7, ada 4 cara untuk mendapatkan tanda yang sama, yang hanya akan kita tunjukkan untuk baris 2:

Tanda sama: $ac$, $bc$, $ca$, $cb$ Tanda berlawanan: $aa$, $ab$, $ba$, $bb$, $cc$

Jadi jika pilihan Einstein adalah interpretasi yang benar dari keadaan kuantum, total probabilitas yang dijumlahkan atas semua kemungkinan populasi, Lucas dan Rihanna mendapatkan tanda proyeksi spin yang sama pada sumbu yang dipilih secara acak mereka adalah: $P_\text{same}=\frac{1}{\sum_i{N_i}} \frac{4}{9} (N_2+N_3+N_4+N_5+N_6+N_7)\leq \frac{4}{9}$ Di mana kesetaraan berlaku hanya jika $N_1=N_8=0$.

Cek pemahamanmu

Baca pertanyaan di bawah ini, pikirkan jawabanmu, lalu klik segitiga untuk melihat solusinya.

Untuk baris 2 grafik di atas, kita mencantumkan semua cara bagi Lucas dan Rihanna untuk mendapatkan tanda yang sama untuk pengukuran mereka, dan semua cara mereka bisa mendapatkan tanda yang berbeda. Ulangi ini untuk baris ketiga.

Jawaban:

Tanda sama: $ab$, $ba$, $bc$, $cb$

Tanda berlawanan: $aa$, $ac$, $bb$, $ca$, $cc$

Tabel di atas mengacu pada "populasi", artinya kita tidak tahu berapa banyak dari setiap jenis instruksi yang dihasilkan alam, jika perlakuan variabel tersembunyi benar. Tunjukkan bahwa tidak peduli bagaimana distribusi $N_1$ sampai $N_8$, probabilitas mendapatkan tanda yang sama dari pengukuran selalu kurang dari atau sama dengan 4/9.

Jawaban:

Mari kita mulai dengan mengasumsikan jumlah total percobaan pengukuran yang konstan, sehingga $\sum_i{N_i} = N_{tot}$ adalah konstan. Perhatikan bahwa dalam kasus khusus di mana $N_1=N_8=0$, ekspresinya menjadi

$$P_{same}=\frac{1}{N_2+N_3+N_4+N_5+N_6+N_7} \times \frac{4}{9} \times (N_2+N_3+N_4+N_5+N_6+N_7) = \frac{1}{N_{tot}} \times \frac{4}{9} \times N_{tot}= \frac{4}{9}$$

Sekarang misalkan $N_1 \neq 0$ atau $N_8 \neq 0$. Maka

$$P_{same}=\frac{1}{N'_1+N'_2+N'_3+N'_4+N'_5+N'_6+N'_7+N'_8} \times \frac{4}{9} \times (N'_2+N'_3+N'_4+N'_5+N'_6+N'_7) = \frac{4}{9}$$

Jumlah semua percobaan, $N_tot$, masih sama seperti sebelumnya. Tapi karena $N'_1$ atau $N'_8$ telah meningkat dari 0, jumlah $N'_2$ sampai $N'_7$ harus lebih rendah dari sebelumnya. Khususnya, jumlah $N'_2$ sampai $N'_7$ lebih kecil dari $N_{tot}$. Dengan demikian

$$P_{same}=\frac{1}{N_{tot}} \times \frac{4}{9} \times (N'_2+N'_3+N'_4+N'_5+N'_6+N'_7) < \frac{4}{9}$$

Menggabungkan semua kemungkinan kasus, kita memiliki $P_{same} \leq \frac{4}{9}$.

Generalisasi

Dalam perlakuan di atas, kita mempertimbangkan pengukuran sepanjang sumbu tertentu. Tentu saja, seseorang bisa melakukan pengukuran sepanjang sumbu apa pun. Mari kita sebut dua vektor spin dari dua partikel $\vec{a}$ dan $\vec{b}$. Biarkan $\lambda$ menjadi beberapa variabel tersembunyi sehingga keadaan sistem dua partikel sesuai dengan nilai $lambda$ yang terdefinisi dengan baik. Biarkan $\rho(\lambda)$ menjadi densitas probabilitas dalam $\lambda$. Akhirnya, kita pilih simbol $A(\vec{a},\lambda)$ dan $B(\vec{b},\lambda)$ sebagai hasil pengukuran yang sudah ditentukan pada salah satu partikel (A atau B), mengingat vektor spin dan variabel tersembunyi. Yang penting, perhatikan bahwa $A$ tidak bergantung pada $\vec{b}$ dan $B$ tidak bergantung pada $\vec{a}$. Seseorang sekarang bisa mengajukan sejumlah pertanyaan terkait korelasi antara pengukuran pada A dan B. Secara khusus, seseorang bisa bertanya tentang nilai ekspektasi yang diberikan oleh

$$E(\vec{a},\vec{b})\equiv\int{d\lambda \rho(\lambda)A(\vec{a},\lambda)B(\vec{b},\lambda)}$$

Mengingat beberapa asumsi standar pada nilai-nilai ini, seperti $A(\vec{a},\lambda)\leq 1$, $B(\vec{b},\lambda)\leq 1$, dan normalisasi atas $\rho(\lambda)$, seseorang bisa menunjukkan bahwa korelasi antara dua partikel memenuhi relasi

$$|E(\vec{a},\vec{b})-E(\vec{a},\vec{d})|+|E(\vec{c},\vec{d})+E(\vec{c},\vec{b})|\leq 2,$$

di mana $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ adalah keadaan spin sistemmu dan $\vec{c}$ dan $\vec{d}$ adalah keadaan spin referensi (keadaan spin lain yang mungkin dari sistem). Ini adalah salah satu dari seluruh kelas ketidaksetaraan yang sekarang dikenal sebagai "ketidaksetaraan Bell". Kita tidak akan menggunakan bentuk umum ini di sini. Sebagai gantinya, kita akan fokus pada satu pengaturan eksperimental tertentu, sehingga kita bisa memetakan pengaturan itu ke sirkuit kuantum.

Apa yang diprediksi pilihan Born (mekanika kuantum non-deterministik)?

Lucas akan memilih beberapa sumbu dan menemukan spin satu partikel berada di arah positif atau negatif. Apa pun yang dia dapatkan, mari kita orientasikan sumbu kita sehingga sumbu $z$ adalah arah tersebut. Kemudian kita bisa menulis keadaan awal setelah peluruhan meson dan sebelum pengukuran apa pun sebagai

$$|\psi \rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R)$$

Rihanna akan mengukur spin partikelnya sepanjang arah lain pada sudut $\theta$ relatif terhadap Lucas. Operator spin sepanjang arah arbitrari $\hat{n}$ diberikan oleh

$$\hat{S}_{\hat{n}}=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) e^{-i\phi} \\ \sin(\theta) e^{i\phi} & -\cos(\theta) \end{bmatrix}$$

Eigenstate dari operator ini adalah

$$|+\rangle_{\hat{n}}=\cos(\theta/2)|0\rangle+\sin(\theta/2)e^{i\phi}|1\rangle \\ |-\rangle_{\hat{n}}=\sin(\theta/2)|0\rangle-\cos(\theta/2)e^{i\phi}|1\rangle$$

Cek pemahamanmu

Baca pertanyaan di bawah ini, pikirkan jawabanmu, lalu klik segitiga untuk melihat solusinya.

Verifikasi bahwa $|+\rangle_{\hat{n}}$ adalah eigenstate dari operator $\hat{S}_{\hat{n}}$ di atas, dan temukan nilai eigennya.

Jawaban:

$$\hat{S}_{\hat{n}}|+\rangle_{\hat{n}}=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) e^{-i\phi} \\ \sin(\theta) e^{i\phi} & -\cos(\theta) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos(\theta/2) \\ \sin(\theta/2)e^{i\phi}\end{bmatrix}$$$$=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \cos(\theta)\cos(\theta/2) + \sin(\theta)\sin(\theta/2)e^{i\phi} e^{-i\phi} \\ \cos(\theta/2)\sin(\theta) e^{i\phi} -\cos(\theta)\sin(\theta/2)e^{i\phi} \end{bmatrix}$$

Menggunakan $\cos(\theta)=\cos^2(\theta/2)-\sin^2(\theta/2)$ dan $\sin(\theta)=2\cos(\theta/2)\sin(\theta/2)$, kita memiliki

$$=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \left(\cos(\theta) + 2\sin^2(\theta/2)\right) \cos(\theta/2) \\ \left(2\cos^2(\theta/2) -\cos^2(\theta/2)+\sin^2(\theta/2)\right)\sin(\theta/2)e^{i\phi} \end{bmatrix}$$$$=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \left(\cos^2(\theta/2)-\sin^2(\theta/2) + 2\sin^2(\theta/2)\right) \cos(\theta/2) \\ \left(2\cos^2(\theta/2) -\cos^2(\theta/2)+\sin^2(\theta/2)\right)\sin(\theta/2)e^{i\phi} \end{bmatrix}$$$$=\frac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} \cos(\theta/2) \\ \sin(\theta/2)e^{i\phi} \end{bmatrix}$$

Ini menunjukkan bahwa $|+\rangle_{\hat{n}}$ adalah eigenstate dan nilai eigen yang sesuai adalah $\frac{\hbar}{2}$.

Probabilitas Lucas mengukur spin dalam arah positif sepanjang sumbu yang dia pilih $|+\rangle$ $dan$ Rihanna juga mengukur spin positif sepanjang arah yang dia pilih $|+\rangle_{\hat{n}}$ adalah

$$P_{++}=\left|\left(_L\langle+|_{R,\hat{n}}\langle+|\right)|\psi\rangle\right|^2$$ $$P_{++}=\left| \left(_L\langle+|_R\left(\cos(\theta/2)\langle+|+\sin(\theta/2)e^{-i\phi}\langle-|\right)\right) \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R\right) \right|^2$$ $$P_{++}=\frac{1}{2}\left| \left(_L\langle+|_R\left(\cos(\theta/2)\langle+|+\sin(\theta/2)e^{-i\phi}\langle-|\right)\right) \left(|+\rangle_L|-\rangle_R\right) \right|^2$$ $$P_{++}=\frac{1}{2}\left| \left(\sin(\theta/2)e^{-i\phi}\vphantom{p}_R\langle-|\right) |-\rangle_R \right|^2$$ $$P_{++}=\frac{1}{2}\sin^2(\theta/2)$$

Cek pemahamanmu

Baca pertanyaan di bawah ini, pikirkan jawabanmu, lalu klik segitiga untuk melihat solusinya.

Lakukan hal yang sama untuk $P_{--}$. Verifikasi bahwa itu juga sama dengan $\frac{1}{2}\sin^2(\theta).$

Jawaban:

$$P_{--}=\left|\left(_L\langle-|_{R,\hat{-n}}\langle+|\right)|\psi\rangle\right|^2$$$$P_{--}=\left| \left(_L\langle-|_R\left(\sin(\theta/2)\langle+|-\cos(\theta/2)e^{-i\phi}\langle-|\right)\right) \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R\right) \right|^2$$$$P_{--}=\frac{1}{2}\left| \left(_L\langle-|_R\left(\sin(\theta/2)\langle+|-\cos(\theta/2)e^{-i\phi}\langle-|\right)\right) \left(-|-\rangle_L|+\rangle_R\right) \right|^2$$$$P_{--}=\frac{1}{2}\left| \left(\sin(\theta/2) \vphantom{p}_R\langle+|\right) |+\rangle_R \right|^2$$$$P_{--}=\frac{1}{2}\sin^2(\theta/2)$$

Menambahkan hasil-hasil ini, kita menemukan bahwa probabilitas tanda dua sumbu yang diukur sama $P_{\text{same}}=\sin^2(\theta/2)$.

Cek pemahamanmu

Baca pertanyaan di bawah ini, pikirkan jawabanmu, lalu klik segitiga untuk melihat solusinya.

Apa yang bisa kamu lakukan untuk memeriksa matematika dari hasil ini? Jelasnya, kita tidak memintamu untuk memverifikasi bahwa itu sesuai dengan alam, hanya untuk memastikan tidak ada yang salah dalam semua matematika.

Jawaban:

(1) Lakukan perhitungan yang sama untuk $P_{\text{diff}}=\cos^2(\theta/2)$ untuk memverifikasi kekekalan probabilitas.

(2) Periksa kasus yang sudah diketahui. Masukkan $\theta = 0$. Maka $P_{\text{same}}$ sesuai dengan dua pengamat yang masing-masing mengukur spin mereka sepanjang sumbu yang sama, yang akan melanggar kekekalan momentum sudut. Jadi kamu akan mengharapkan probabilitas itu nol, dan memang memasukkan $\theta = 0$ menghasilkan $\sin^2(0/2) = 0$.

(3) Periksa kasus yang berbeda yang sudah diketahui. Coba $\theta = \pi$. Apa yang seharusnya kamu dapatkan. Hati-hati dengan $\frac{1}{2}$ itu.

Kita khususnya membuat sketsa kasus di mana sumbu-sumbunya berada pada $120\deg$ relatif satu sama lain. Ingat, apa pun arah ($\pm a$, $\pm b$, atau $\pm c$) yang diperoleh Lucas, kita sebut itu $z$. Kemudian Rihanna secara acak memilih untuk mengukur sepanjang $\pm a$, $\pm b$, atau $\pm c$. Jika pilihannya sama dengan Lucas (sampai tanda), maka keduanya mengukur sepanjang $z$, dan probabilitas Rihanna juga mengukur $+z$ adalah nol. Ini seharusnya terjadi 1/3 dari waktu, karena pilihan sumbu Rihanna tidak bergantung pada pilihan Lucas. Untuk pilihan lain apa pun, Rihanna akan mengukur sepanjang sumbu $120\deg = 2\pi/3$ radian dari $z$ (1/3 dari waktu) atau $240\deg = 4\pi/3$ radian dari $z$ (1/3 dari waktu). Dan tentu saja, sepanjang salah satu sumbu tersebut, spin bisa diukur dalam arah positif atau negatif. Ini memberi kita total probabilitas Lucas dan Rihanna mendapatkan tanda yang sama:

$$P_{\text{same}} = \frac{1}{3}\left( 0 + \sin^2(\pi/3) + \sin^2(2\pi/3) \right) = \frac{1}{3}\left( 0 + \frac{3}{4} + \frac{3}{4} \right) = \frac{1}{2}$$

Wow

Kita baru saja menunjukkan bahwa

$$(P_\text{same})_\text{max, Einstein}<(P_\text{same})_\text{max, Born}.$$

Mari kita mundur sejenak.

Pilihan Einstein dan Born tampaknya akan selalu menghasilkan hasil yang sama, karena mereka hanya berbeda dalam deskripsi mereka tentang apa yang terjadi sebelum pengukuran. Namun, dengan mengasumsikan ada instruksi yang menentukan sebelumnya tanda pengukuran spin sepanjang sumbu tertentu, kita mendapatkan batasan pada probabilitas pengukuran untuk menghasilkan tanda yang sama $(P_{\text{same}})_\text{Einstein}\leq\frac{4}{9}$. Kemudian kita mengasumsikan distribusi probabilitas seperti dalam mekanika kuantum... dan mendapatkan nilai yang berbeda untuk $(P_{\text{same}})_\text{Born}=\frac{1}{2}$. Prediksi dari mekanika kuantum lebih tinggi dari yang diizinkan oleh perlakuan variabel tersembunyi. Jadi kita sebenarnya bisa melakukan eksperimen dan mengetahui apakah keadaan kuantum ditentukan oleh alam sebelum pengukuran, atau apakah mereka benar-benar berada dalam superposisi probabilistik dari keadaan-keadaan yang mungkin.

Eksperimen ini telah dilakukan berkali-kali menggunakan banyak sistem fisik yang berbeda, sering menggunakan foton. Ada banyak pertimbangan halus, seperti bias dalam pengukuran, waktu (simultanitas) pengukuran, dan banyak lainnya. Selama beberapa dekade, kekhawatiran tentang hal-hal halus ini telah dikikis secara bertahap. Pengujian masih dilaksanakan, seiring kita belajar lebih banyak tentang realitas, tetapi sekarang ada kesepakatan luas bahwa jawaban yang akan kamu dapatkan di sini, menggunakan komputer kuantum IBM®, adalah benar.

Uji menggunakan komputer kuantum nyata!

Sesuai dengan perlakuan kita di atas, mari kita definisikan arah pengukuran Lucas sebagai $+z$. Ini nyaman bahkan dalam pendekatan aljabar, tetapi sangat nyaman untuk komputasi kuantum, karena apa yang biasanya diukur adalah proyeksi Qubit sepanjang $z$. Kita ingin membuat Circuit kuantum yang memberi kita kondisi probabilitas yang sama seperti di atas untuk $P_{++}$. Kita bebas mengorientasikan bidang kita sehingga $\phi=0$, dan kita mendapatkan

$$P_{++}=\left| \left(_L\langle+|_R\left(\cos(\theta/2)\langle+|+\sin(\theta/2)\langle-|\right)\right) \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R\right) \right|^2$$

Kita perlu mengetahui beberapa hal tentang komputer kuantum IBM, untuk memandu diskusi kita. Pertama, Qubit dimulai dengan diinisialisasi dalam keadaan $|0\rangle = |+\rangle_z$. Seperti yang disebutkan sebelumnya, ketika pengukuran dilakukan, itu sepanjang sumbu $z$. Jadi tujuannya adalah menentukan operator apa yang bisa kita sisipkan antara keadaan basis pengukuran $\langle 0|\langle 0|$ dan keadaan awal Qubit $|0\rangle |0\rangle$ untuk mendapatkan ekspresi rumit di atas. Untuk itu, kita perlu meninjau beberapa Gate dasar dalam komputasi kuantum.

Gate $X$: Setara dengan operasi NOT. Gate satu-Qubit.

$$X|0\rangle = |1\rangle,\\X|1\rangle=|0\rangle$$ $$X=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$$

Dalam Qiskit, membuat Circuit dengan Gate $X$ terlihat seperti ini:

from qiskit import QuantumCircuit

qc = QuantumCircuit(1)
qc.x(0)
qc.draw("mpl")

Gate Hadamard $H$: Membuat keadaan superposisi. Gate satu-Qubit.

$$H|0\rangle = \frac{1}{2}\left(|0\rangle+|1\rangle\right),$$ $$H|1\rangle = \frac{1}{2}\left(|0\rangle-|1\rangle\right)$$ $$H=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$$

Circuit dengan Gate Hadamard dibuat sebagai berikut:

qc = QuantumCircuit(1)
qc.h(0)
qc.draw("mpl")

Gate CNOT Controlled-NOT: Gate ini menggunakan dua Qubit: kontrol dan target. Memeriksa keadaan Qubit kontrol yang tidak berubah. Tapi jika Qubit kontrol berada dalam keadaan $|1\rangle$, Gate mengubah keadaan Qubit target; jika keadaan Qubit kontrol adalah $|0\rangle$ tidak ada perubahan yang dilakukan sama sekali. Dalam notasi di bawah ini, asumsikan Qubit pertama adalah kontrol, dan yang kedua adalah target.

$$CNOT|00\rangle = |00\rangle, \\ CNOT|01\rangle = |01\rangle \\ CNOT|10\rangle = |11\rangle \\ CNOT|11\rangle = |10\rangle$$

Gate CNOT terlihat sedikit berbeda dalam Circuit, karena membutuhkan dua Qubit. Begini cara implementasinya:

qc = QuantumCircuit(2)
qc.cx(0, 1)
qc.draw("mpl")

Perhatikan bahwa Qubit pertama yang tercantum dalam qc.cx(0,1) adalah kontrol, dan yang kedua adalah target. Secara diagram, target adalah yang memiliki tanda "+" atau silang di atasnya.

Gate Rotasi Y $R_y(\theta)$: Memutar keadaan terhadap sumbu y. Ini adalah Gate satu-Qubit.

$$R_y(\theta)|0\rangle = \cos(\theta/2)|0\rangle+\sin(\theta/2)|1\rangle,\\R_y(\theta)|0\rangle = -\sin(\theta/2)|0\rangle+\cos(\theta/2)|1\rangle$$ $$R_y(\theta)=\begin{bmatrix} \cos(\theta/2) & -\sin(\theta/2) \\ \sin(\theta/2) & \cos(\theta/2) \end{bmatrix}$$

Akhirnya, Gate rotasi diimplementasikan dengan menentukan jenis Gate, jumlah rotasi, dan Qubit tempat Gate ditempatkan, dalam urutan tersebut:

import numpy as np

pi = np.pi

qc = QuantumCircuit(2)
qc.ry(pi / 2, 0)
qc.draw("mpl")

Nama Gate ry menentukan sumbu tempat rotasi terjadi. Argumen pertama $\pi/2$ mengacu pada jumlah rotasi, dan argumen kedua menentukan Qubit tempat Gate akan ditempatkan.

Cek pemahamanmu

Baca pertanyaan di bawah ini, pikirkan jawabanmu, lalu klik segitiga untuk melihat solusinya.

Menggunakan sintaks yang diperkenalkan atau disegarkan di atas, buat Circuit kuantum apa pun yang melibatkan empat jenis Gate kuantum yang berbeda.

Jawaban:

Tentu saja ada kemungkinan yang tak terbatas. Berikut satu contoh:

qc=QuantumCircuit(2)
qc.ry(pi/2,0)
qc.cx(1,0)
qc.x(1)
qc.h(0)
qc.cx(0,1)
qc.draw("mpl")

Dari eksperimen fisik ke Circuit kuantum

Dari operasi Gate-Gate ini, kita bisa melihat, misalnya, bahwa ket dalam ekspresi untuk $P_{++}$:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R\right)$$

kemungkinan melibatkan Gate Hadamard untuk mendapatkan superposisi, dan Gate CNOT untuk menciptakan entanglement.

Kita sekarang akan menggunakan Gate H, X, dan CNOT untuk mengubah $|0\rangle_L|0\rangle_R$ menjadi $\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|+\rangle_L|-\rangle_R-|-\rangle_L|+\rangle_R\right)$:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle_L|1\rangle_R-|1\rangle_L|0\rangle_R\right)$$ $$\frac{1}{\sqrt{2}}CNOT_{LR}\left(|0\rangle_L|1\rangle_R-|1\rangle_L|1\rangle_R\right)$$

Di sini $CNOT_{LR}$ berarti Gate CNOT menggunakan L sebagai kontrol dan R sebagai target. Kita sekarang bisa menfaktorkan bagian R dari keadaan:

$$\text{CNOT}_{LR}\frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle_L-|1\rangle_L\right)|1\rangle_R$$ $$\text{CNOT}_{LR} H_L|1\rangle_L|1\rangle_R$$ $$\text{CNOT}_{LR} H_L X_L X_R|0\rangle_L|0\rangle_R$$

Sekarang kita telah menuliskan ket seluruhnya sebagai Gate kuantum yang beroperasi pada keadaan awal default Qubit.

Sekarang kita bisa menggunakan $R_y(\theta)$ yang bekerja pada $\vphantom{p}_L\langle 0|_R\langle 1|$ untuk mendapatkan bra dalam ekspresi untuk $P_{++}$.

$$\vphantom{p}_L\langle0|_R\left(\cos(\theta/2)\langle0|+\sin(\theta/2)\langle1|\right)$$ $$\vphantom{p}_L\langle0|_R\left(|0\rangle \cos(\theta/2)+|1\rangle \sin(\theta/2)\right)^{\dagger}$$ $$\vphantom{p}_L\langle0|\left(R_{y,R}(\theta)|0\rangle_R\right)^{\dagger}$$ $$\vphantom{p}_L\langle0|_R\langle0|R_{y,R}(-\theta)$$

Menggabungkan hasil-hasil ini, kita bisa menulis probabilitas $P_{++}$ sebagai

$$p_{++}=\left|\vphantom{p}_L\langle0|_R\langle0|R_{y,R}(-\theta)\text{CNOT}_{LR} H_L X_L X_R|0\rangle_L|0\rangle_R\right|^2$$

Ini memberi kita instruksi eksplisit tentang bagaimana membangun Circuit kuantum kita. Kita akan menerapkan Gate X, H, CNOT dan $R_y$ pada Qubit yang mewakili keadaan kuantum partikel yang diukur oleh Lucas dan Rihanna, dan melakukan pengukuran untuk mendapatkan probabilitas.

IBM Quantum merekomendasikan penanganan masalah komputasi kuantum menggunakan kerangka kerja yang kami sebut pola Qiskit. Ini terdiri dari langkah-langkah berikut.

• Langkah 1: Petakan masalahmu ke Circuit kuantum
• Langkah 2: Optimalkan Circuit-mu untuk dijalankan pada hardware kuantum nyata
• Langkah 3: Jalankan jobmu pada komputer kuantum IBM menggunakan Runtime Primitives
• Langkah 4: Pasca-proses hasilnya

Pada dasarnya semua pekerjaan yang kita lakukan di atas adalah langkah 1. Mari bangun Circuit yang dihasilkan menggunakan Qiskit!

Langkah 1: Memetakan hasil kita ke quantum circuit

# We'll begin by importing qiskit and a visualization module so that we can plot a histogram of our results.

from qiskit.visualization import plot_histogram

Ingat bahwa 1/3 dari waktu pilihan sumbu Rihanna akan berjarak $2\pi/3$ radian dari milik Lucas, 1/3 dari waktu jaraknya $4 \pi/3$ radian dari milik Lucas, dan 1/3 dari waktu mereka memilih sumbu yang sama. Jadi kita sebenarnya perlu membuat 3 quantum circuit untuk 3 kasus ini, lalu menjumlahkan hasilnya. Kita akan menjelaskan yang pertama secara mendetail, dan dua yang terakhir cukup kita sebutkan saja.

# We start by declaring our first quantum circuit, and giving it two qubits (the first "2") and two classical bits for storing outputs (the second "2")
# Define registers
from qiskit import ClassicalRegister, QuantumRegister

qr = QuantumRegister(2, "q")
cr = ClassicalRegister(2, "c")
qc1 = QuantumCircuit(qr, cr)

# We know from our analysis above that we need an X gate acting on each of the qubits (L and R)
qc1.x([0, 1])
# We need a Hadamard gate acting on Lucas's qubit, which we're calling the 0th qubit.
qc1.h(0)
# The controlled-NOT gate uses the 0th qubit (Lucas's) as the control and the 1st qubit (Rihanna's) as the target.
qc1.cx(0, 1)
# The rotation gate acts on the 1st qubit (Rihanna's) and has an argument of -2 pi/3
qc1.ry(-2 * pi / 3, 1)
# Finally, we want to measure all the qubits in the circuit to obtain measurement probabilities, and store the results in the classical bits.
qc1.measure([0, 1], [0, 1])
# Now we can draw the first of the three circuits that will check Bell's inequality for us.
qc1.draw(output="mpl")

Kode di bawah ini membuat ketiga circuit secara lebih ringkas. Perhatikan bahwa satu-satunya perbedaan di antara ketiga circuit tersebut adalah seberapa jauh kita merotasi dua Qubit terhadap sumbu $y$.

qcs = [QuantumCircuit(2, 2), QuantumCircuit(2, 2), QuantumCircuit(2, 2)]
for i in range(0, len(qcs)):
    qcs[i].x([0, 1])
    qcs[i].h(0)
    qcs[i].cx(0, 1)

qcs[0].ry(-2 * pi / 3, 1)
qcs[1].ry(-4 * pi / 3, 1)
qcs[2].ry(-2 * pi / 3, 1)
qcs[2].ry(-4 * pi / 3, 1)

for i in range(0, len(qcs)):
    qcs[i].barrier()
    qcs[i].measure([0, 1], [0, 1])

counts_list = [None] * len(qcs)

qcs[0].draw(output="mpl")

Sekarang kita akan menggunakan primitive Qiskit bernama StatevectorSampler. Sampler adalah primitive yang dirancang untuk mengambil sampel semua kemungkinan state suatu sistem dan mengembalikan probabilitas (atau dalam beberapa kasus, kuasi-probabilitas) untuk mendapatkan setiap state. Kita bisa menentukan jumlah "shots", dan melihat "counts" untuk setiap state.

from qiskit.primitives import StatevectorSampler

sampler = StatevectorSampler()

# Start a job that will return shots for all 100 parameter value sets.
for i in range(0, len(qcs)):
    pub = qcs[i]
    job = sampler.run([pub], shots=10000)
    # Extract the result for the 0th pub (this example only has one pub).
    result = job.result()
    data_pub = result[0].data
    counts = data_pub.c.get_counts()
    counts_list[i] = counts
#    plot_histogram(counts)

Kalau kita lihat counts dari setiap circuit, ternyata dua di antaranya hampir identik, dan yang ketiga cukup berbeda.

plot_histogram(counts_list)

Mari kita buat daftar kemungkinan hasil dan jumlahkan semua counts setiap state dari ketiga circuit untuk mendapatkan probabilitas keseluruhan.

outcomes = ("00", "01", "10", "11")

# Here we convert "None"s into 0's so that we can sum.

for i in range(0, len(qcs)):
    for j in range(0, len(outcomes)):
        if counts_list[i].get(outcomes[j]) is None:
            counts_list[i].update({outcomes[j]: 0})

# Here we create a dictionary that holds all the outcomes and sums over their appearances in each of the circuits.

total_counts = {}
for i in range(0, len(outcomes)):
    total_counts[outcomes[i]] = sum(
        counts_list[j].get(outcomes[i]) for j in range(0, len(qcs))
    )

Sekarang kita bisa mencetak total counts untuk setiap hasil, dan memplot histogram-nya.

print(total_counts)
plot_histogram(total_counts)

{'00': 7493, '01': 7432, '10': 7605, '11': 7470}

Cek pemahamanmu

Baca pertanyaan di bawah ini, pikirkan jawabanmu, lalu klik segitiga untuk melihat solusinya.

Apakah gambar di atas sesuai dengan hasil yang diprediksi oleh variabel tersembunyi dan determinisme? Atau sesuai dengan mekanika kuantum yang probabilistik (dan non-lokal)?

Jawaban:

Ini sesuai dengan mekanika kuantum yang probabilistik dan non-lokal. Pendekatan variabel tersembunyi memprediksi bahwa probabilitas mendapatkan tanda yang sama adalah kurang dari atau sama dengan 4/9. Mekanika kuantum memprediksi probabilitas 50%. Histogram di atas menggambarkan probabilitas 00 atau 11 sebesar 49,97%. Ini sangat dekat dengan prediksi mekanika kuantum probabilistik, tetapi yang terpenting, nilainya lebih besar dari rentang yang diizinkan dalam pendekatan variabel tersembunyi.

Apakah ini membuktikan sesuatu tentang alam?

Jawaban:

Tidak! Kita menggunakan simulator! Itu adalah komputer yang diprogram untuk berperilaku sesuai hukum mekanika kuantum probabilistik. Kalau kita mengusulkan sebuah aturan, lalu memprogram komputer untuk mengikuti aturan itu, kemampuan komputer mengikuti aturan tersebut bukan bukti bahwa aturannya benar! Satu-satunya cara untuk membuktikannya adalah menggunakan komputer kuantum sungguhan!

Langkah 2: Optimalkan quantum circuit untuk dijalankan di hardware nyata

Meskipun kita awalnya menggunakan simulator untuk men-debug kode, kita benar-benar ingin menjalankannya di hardware nyata. Lagipula, simulator hanya berpura-pura menjadi mekanika kuantum, berdasarkan persamaan di atas. Kalau simulator memberi tahu kita bahwa persamaan itu benar, itu tidak terlalu meyakinkan. Kita ingin komputer kuantum sungguhan yang memberi tahu kita apa yang terjadi! Jadi kita akan memilih komputer kuantum yang ingin digunakan. Terkadang penting untuk memilih perangkat tertentu yang memiliki properti yang kamu inginkan, tapi seringkali kita cukup ingin menggunakan perangkat yang paling tidak sibuk.

Ada kode di bawah ini untuk menyimpan kredensialmu saat pertama kali digunakan. Pastikan untuk menghapus informasi ini dari notebook setelah menyimpannya ke environment kamu, agar kredensialmu tidak terbagikan secara tidak sengaja saat kamu berbagi notebook. Lihat Siapkan akun IBM Cloud-mu dan Inisialisasi layanan di environment yang tidak terpercaya untuk panduan lebih lanjut.

from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService

# Syntax for first saving your token. Delete these lines after saving your credentials.
# QiskitRuntimeService.save_account(channel='ibm_quantum_platform', instance = '<YOUR_IBM_INSTANCE_CRN>', token='<YOUR-API_KEY>', overwrite=True, set_as_default=True)
# service = QiskitRuntimeService(channel='ibm_quantum_platform')

# Load saved credentials
service = QiskitRuntimeService()

backend = service.least_busy(
    operational=True, min_num_qubits=qcs[0].num_qubits, simulator=False
)

from qiskit.transpiler.preset_passmanagers import generate_preset_pass_manager

target = backend.target
pm = generate_preset_pass_manager(target=target, optimization_level=3)

qcs_isa = qcs

for i in range(0, len(qcs)):
    qcs_isa[i] = pm.run(qcs[i])
    qcs_isa[i].draw(output="mpl", idle_wires=False, style="iqp")

qcs_isa[2].draw(output="mpl", idle_wires=False, style="iqp")

Langkah 3: Jalankan job-mu di komputer kuantum IBM menggunakan Runtime primitives

Setelah kita mengoptimalkan circuit untuk dijalankan di hardware kuantum nyata, dan men-debug kode menggunakan simulator, kita siap mengumpulkan statistik dari komputer kuantum sungguhan, dan menyelesaikan perselisihan antara Einstein dan Born.

from qiskit_ibm_runtime import SamplerV2 as Sampler
# from qiskit_ibm_runtime import Session
# sampler.options.default_shots = 1000

# Start a job that will return shots for all 100 parameter value sets.
# The best practice is to use a session as shown below. This is available to Premium Plan, Flex Plan, and On-Prem (IBM Quantum Platform API) Plan users.
# result_list = [None] * len(qcs)
# real_counts_list = [None] * len(qcs)
# with Session(backend=backend) as session:
#    sampler = Sampler(mode=session)

#    for i in range(0, len(qcs)):
#        # Define the primitive unified bloc (pub)
#        pub = qcs[i]
#        job = sampler.run([pub], shots=10000)
#        # Extract the result for the 0th pub (this example only has one pub).
#        result_list[i] = job.result()
#        data_pub = result_list[i][0].data
#        counts = data_pub.c.get_counts()
#        real_counts_list[i] = counts
#    #   plot_histogram(counts)

# Open users can still carry out this experiment, but without reserving a session of use, meaning repeated queuing is possible.
from qiskit_ibm_runtime import Batch

batch = Batch(backend=backend)
sampler = Sampler(mode=batch)

result_list = [None] * len(qcs)
real_counts_list = [None] * len(qcs)

for i in range(0, len(qcs)):
    # Define the primitive unified bloc (pub)
    pub = qcs[i]
    job = sampler.run([pub], shots=10000)
    # Extract the result for the 0th pub (this example only has one pub).
    result_list[i] = job.result()
    data_pub = result_list[i][0].data
    counts = data_pub.c.get_counts()
    real_counts_list[i] = counts

# Close the batch because no context manager was used.
batch.close()

outcomes = ("00", "01", "10", "11")

# Here we convert "None"s into 0's so that we can sum.

for i in range(0, len(qcs)):
    for j in range(0, len(outcomes)):
        if real_counts_list[i].get(outcomes[j]) is None:
            real_counts_list[i].update({outcomes[j]: 0})

# Here we create a dictionary that holds all the outcomes and sums over their appearances in each of the circuits.

real_total_counts = {}
for i in range(0, len(outcomes)):
    real_total_counts[outcomes[i]] = sum(
        real_counts_list[j].get(outcomes[i]) for j in range(0, len(qcs))
    )

print(real_total_counts)
plot_histogram(real_total_counts)

{'00': 7542, '01': 7503, '10': 7304, '11': 7651}

# This syntax allows you to run the job on a simulator, in case you have exhausted your allotted time on real IBM quantum computers.
# But we strongly advise running this on real quantum computers, since this is meant to be a check of the behavior of real quantum systems.

# This uses a local simulator
# from qiskit_aer import AerSimulator

# This generates a simulator that mimics the real quantum system
# backend_sim = AerSimulator.from_backend(backend)

# Import an estimator, this time from qiskit (we import from Runtime for real hardware)
# from qiskit.primitives import BackendSamplerV2
# sampler = BackendSamplerV2(backend = backend_sim)

# result_list = [None] * len(qcs)
# counts_list = [None] * len(qcs)
# for i in range(0, len(qcs)):
# Define the primitive unified bloc (pub)
#    pub = qcs[i]
#    job = sampler.run([pub], shots=10000)
# Extract the result for the 0th pub (this example only has one pub).
#    result_list[i] = job.result()
#    data_pub = result_list[i][0].data
#    counts = data_pub.c.get_counts()
#    counts_list[i] = counts

# data_pubs = (result_list[0][0].data,result_list[1][0].data,result_list[2][0].data)
# outcomes = ("00", "01", "10", "11")

# Here we convert "None"s into 0's so that we can sum.

# for i in range(0, len(qcs)):
#    for j in range(0, len(outcomes)):
#        if counts_list[i].get(outcomes[j]) is None:
#            counts_list[i].update({outcomes[j]: 0})

# Here we create a dictionary that holds all the outcomes and sums over their appearances in each of the circuits.

# total_counts = {}
# for i in range(0, len(outcomes)):
#    total_counts[outcomes[i]] = sum(
#        counts_list[j].get(outcomes[i]) for j in range(0, len(qcs))
#    )

# print(total_counts)
# plot_histogram(total_counts)

counts_list

[None, None, None]

Langkah 4: Post-process dan analisis

Mari kita mundur sejenak dan merangkum: Menggunakan pendekatan variabel tersembunyi, dan 3 sumbu yang saling bergeser, kita mendapatkan batasan pada probabilitas pengukuran yang menghasilkan tanda yang sama $P_{same,hv} =4/9$. Kemudian kita mengasumsikan distribusi probabilitas seperti dalam mekanika kuantum dan mendapatkan nilai yang berbeda untuk probabilitas itu: $P_{same,gm} = 1/2$. Prediksi dari mekanika kuantum lebih tinggi dari yang diizinkan oleh pendekatan variabel tersembunyi. Jadi secara eksperimental bisa diketahui apakah state kuantum ditentukan oleh alam sebelum pengukuran, atau apakah mereka benar-benar berada dalam superposisi probabilistik dari kemungkinan state.

Kita merancang quantum circuit kita sehingga ada empat kemungkinan hasil yang sesuai dengan Lucas dan Rihanna mengukur salah satu tanda proyeksi spin: 00, 01, 10, dan 11. Dalam kasus 00 dan 11, Lucas dan Rihanna mengukur tanda yang sama, dan dalam kasus 01 dan 10, mereka mengukur tanda yang berlawanan. Kita melihat bahwa dengan sangat baik, peluang Lucas dan Rihanna mendapatkan tanda yang sama sekitar 50%, pasti lebih besar dari $4/9$. Ini berarti tidak ada set variabel tersembunyi yang bisa menjelaskan distribusi probabilitas tersebut, dan pendekatan variabel tersembunyi tidak kompatibel dengan eksperimen.

Ada berbagai interpretasi hasil eksperimen mekanika kuantum, dan banyak detail halus dalam setup eksperimen yang ditinjau kembali dari waktu ke waktu. Tapi sejauh ini prinsip-prinsip mekanika kuantum dan interpretasi probabilistik state kuantum telah menggambarkan hasilnya dengan akurat. Max Born tampaknya benar.

Mari kita luangkan satu momen lagi untuk merenungkan arti penting hal ini. Dua partikel muncul dari sebuah peristiwa peluruhan, dan keduanya bergerak ke arah berbeda, mungkin untuk waktu yang lama. Spin mereka tidak berada dalam state yang terdefinisi dengan baik, dan mereka tidak membawa instruksi variabel tersembunyi untuk menentukan hasil pengukuran di masa depan. Tapi pengukuran pada satu partikel (misalnya, sepanjang $+z$) pasti menentukan hasil eksperimen pada spin partikel lainnya sepanjang arah $z$ (harus $-z$). Ini berarti sesuatu tentang fisika satu partikel ditentukan oleh apa yang dilakukan pada partikel lain, mungkin dari jauh. Inilah salah satu situasi yang membuat orang menyebut realitas sebagai "non-lokal".

Dua partikel seperti yang kita gambarkan entah bagaimana "terhubung" dalam arti bahwa pengukuran pada satu partikel bisa memengaruhi partikel lainnya. Kita menyebut partikel-partikel seperti itu sebagai "terjerat" (entangled). Entanglement lebih dari sekadar korelasi. Misalnya, kita bisa membangun mesin klasik yang melemparkan magnet ke satu sisi dengan ujung utara ke atas dan magnet ke sisi lain dengan ujung utara ke bawah. Magnet-magnet seperti itu bisa benar-benar anti-berkorelasi. Tapi pengukuran pada satu magnet tidak akan melakukan apapun pada yang lain. Dalam entanglement mekanika kuantum, partikel A bisa berada dalam state yang tidak terdefinisi (atau campuran dari banyak state), dan kita bisa menetapkannya ke state yang terdefinisi melalui pengukuran pada partikel yang sama sekali berbeda (misalnya, B). Tidak ada yang seperti itu di dunia klasik.

Hal ini sering memunculkan dunia pertanyaan dan kemungkinan yang baru. Beberapa ide yang dimunculkannya adalah nyata, seperti menggunakan entanglement untuk komputasi, seperti dalam komputer kuantum! Beberapa tampak menarik tetapi ternyata gagal, seperti mencoba menggunakan entanglement untuk mengirim informasi lebih cepat dari cahaya. Kami mendorong kamu untuk menanyakan semua pertanyaan yang muncul di benakmu, dan membaca bagaimana orang lain telah menyelidiki fenomena ini. Ada dunia mekanika kuantum yang luas untuk dieksplorasi, berikut beberapa sumber yang bisa kamu lihat:

Kursus IBM Quantum:

• Quantum computing in practice
• Basics of quantum information

Makalah mekanika kuantum yang menarik:

• Paradoks Einstein Podolsky dan Rosen
• Makalah asli John Bell dari tahun 1964
• Makalah 2019 tentang menangkap dan membalikkan "lompatan kuantum" di tengah transisi

Beberapa sumber pembelajaran mekanika kuantum:

• Materi kursus Quantum I dari University of Colorado.

Beberapa penelitian pendidikan mekanika kuantum:

• Tinjauan kesulitan mahasiswa dalam mekanika kuantum tingkat lanjut oleh C. Singh dan E. Marshman

Pertanyaan

Instruktur bisa meminta versi notebook ini dengan kunci jawaban dan panduan penempatan dalam kurikulum umum dengan mengisi survei singkat ini tentang bagaimana notebook digunakan.

Konsep kritis:

• Ada perselisihan historis tentang apakah state kuantum hanya tidak diketahui atau belum ditentukan oleh alam sebelum pengukuran, apakah mekanika kuantum bersifat deterministik atau probabilistik.
• Variabel tersembunyi dan karenanya realisme lokal tidak konsisten dengan pengamatan mekanika kuantum. Artinya, korelasi yang diamati dalam mekanika kuantum tidak bisa dijelaskan oleh variabel-variabel yang terdefinisi dengan baik yang hanya tidak diketahui oleh kita.
• Mekanika kuantum bersifat probabilistik.
• Entanglement nyata dan bisa diamati.
• Entanglement bukan sekadar korelasi.
• Kita bisa memetakan skenario dunia nyata ke komputer kuantum.
• Variabel tersembunyi merujuk pada kuantitas yang ditentukan oleh alam, tetapi tidak diketahui manusia; mereka tidak ada dalam konteks ini.

Pertanyaan B/S:

1. B/S Albert Einstein berpendapat bahwa mekanika kuantum tidak lengkap sebagai teori, karena hanya menggambarkan probabilitas hasil, dan bukan mekanisme dasar yang menentukan hasil tersebut.
2. B/S "Variabel tersembunyi" merujuk pada gagasan bahwa dua partikel mekanika kuantum bisa terjerat.
3. B/S Dua sistem yang berkorelasi pasti terjerat secara kuantum mekanik.
4. B/S Entanglement mekanika kuantum penting untuk mendapatkan matematika yang benar, tetapi tidak bisa diamati dalam eksperimen.
5. B/S Dalam kebanyakan kasus, mekanika kuantum tidak bisa memberi tahu kamu hasil pasti dari suatu eksperimen, hanya probabilitas bahwa hasil tertentu akan diukur.
6. B/S Dalam mekanika kuantum, dalam kondisi tertentu, state partikel A bisa dipengaruhi oleh state partikel B, meskipun partikel A dan B tidak bersentuhan dan tidak bertukar partikel apapun.
7. B/S Kita bisa memetakan eksperimen dunia nyata ke quantum circuit.

Pertanyaan pilihan ganda:

1. Misalkan sebuah partikel spin-0 meluruh menjadi dua partikel spin-1/2 A dan B. Sebuah pengukuran dilakukan pada partikel A yang mengungkapkan bahwa spinnya memiliki proyeksi sepanjang $+z$. Partikel B sekarang

   • a. pasti memiliki proyeksi spin sepanjang $-z$
   • b. pasti memiliki proyeksi spin sepanjang $-x$
   • c. pasti memiliki proyeksi spin sepanjang $-y$
   • d. pasti memiliki proyeksi spin negatif sepanjang sumbu apapun yang diukur.

2. Sebuah partikel spin-0 meluruh menjadi dua partikel spin-1/2 A dan B. Jika partikel A diukur memiliki proyeksi sepanjang $+z$, mana dari proyeksi berikut yang mungkin untuk pengukuran partikel B? Lingkari semua yang berlaku.

   • a. $+x$
   • b. $-x$
   • c. $+y$
   • d. $-y$
   • e. $+z$
   • f. $-z$

3. Misalkan sebuah partikel spin-0 meluruh menjadi dua partikel spin-1/2 A dan B. Apa yang paling baik menggambarkan state partikel A sebelum pengukuran apapun.

   • a. Spin partikel A sepanjang $+z$.
   • b. Spin partikel A sepanjang $-z$.
   • c. Spin partikel A sepanjang $+x$.
   • d. Spin partikel A terdefinisi sepanjang beberapa arah, tetapi tidak yang lain.
   • e. Orientasi spin partikel A tidak ditentukan oleh alam sebelum pengukuran apapun.

4. Mana dari berikut ini yang benar tentang Hadamard Gate? Pilih semua yang berlaku.

   • a. $H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)$
   • b. $H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)$
   • c. $H \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)=|0\rangle$
   • d. $H \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)=|0\rangle$

5. Mana dari berikut ini yang benar tentang X Gate? Pilih semua yang berlaku.

   • a. $X|0\rangle = |1\rangle$
   • b. $X|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)$
   • c. $X|0\rangle = -|0\rangle$
   • d. $X|1\rangle = |0\rangle$
   • e. $X\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)=X\frac{1}{\sqrt{2}}(|1\rangle-|0\rangle)$

6. Mana dari berikut ini yang merupakan two-qubit gate?

   • a. X
   • b. $R_y(\theta)$
   • c. H
   • d. CNOT

7. Misalkan sebuah Qubit berada dalam state $|0\rangle$. Berapa probabilitas mengukurnya berada dalam state $1\rangle$?

   • a. Tepat 100% pada simulator bebas noise, mendekati 100% pada komputer kuantum sungguhan
   • b. Mendekati 100% pada simulator bebas noise, tepat 100% pada komputer kuantum sungguhan
   • c. Tepat 0% pada simulator bebas noise, mendekati 0% pada komputer kuantum sungguhan
   • d. Mendekati 0% pada simulator bebas noise, tepat 0% pada komputer kuantum sungguhan

Pertanyaan diskusi:

1. Teman A, B, dan C sedang mendiskusikan hasil dari lab ini, terkait Ketidaksetaraan Bell. Secara khusus, mereka melihat gambar yang menunjukkan bahwa probabilitas mekanika kuantum untuk mengukur tanda yang sama sepanjang sumbu lebih besar dari yang diizinkan oleh pendekatan variabel tersembunyi: $(P_\text{same})_\text{max,QM}>(P_\text{same})_\text{max,HV}$. Teman A berkata, "Ini berarti kita tidak mengetahui state spin sebelum pengukuran." Teman B berkata, "Tidak, lebih dari itu. Ini berarti spin tidak sudah menunjuk ke arah tertentu sebelum pengukuran. Walaupun, state spin mungkin entah bagaimana ditentukan atau disimpan." Teman C berkata, "Tidak, bahkan lebih dari itu. Ini berarti state spin di masa depan bahkan belum diputuskan oleh alam sebelum pengukuran." Dengan siapa kamu setuju, dan mengapa?

2. Jelaskan bagaimana fenomena mekanika kuantum seperti entanglement menunjukkan bahwa realitas bersifat non-lokal.

3. Eksperimen tambahan apa yang ingin kamu lakukan untuk meyakinkan dirimu tentang hasil yang diperoleh di sini?

4. Bisakah Ketidaksetaraan Bell hanya dieksplorasi dengan 3 sumbu yang berjarak sama $a$, $b$, dan $c$? Bisakah dilakukan dengan jumlah sumbu lain? Seperti apa tampilannya? Apakah masih menghasilkan perbedaan probabilitas yang diprediksi oleh variabel tersembunyi vs. mekanika kuantum probabilistik?